Carlo Veronesi | Università di Verona (original) (raw)

Papers by Carlo Veronesi

scienzaefilosofia.it, Dec 21, 2016

In a BBC radio programme Popper acknowledged his debt to Einstein saying that Einstein’s influe... more In a BBC radio programme Popper acknowledged his debt to Einstein saying that Einstein’s influence on his thinking was immense and that he mainly made explicit certain points that were implicit in the work of Einstein. In fact, in various writings Einstein presents his critical attitude toward any scientific theory: of particular interest is Einstein’s article «Induktion und Deduktion in der Physik» (1919) that can be considered a concentrate of Popper’s views of science. In the second part of the paper are presented the views of Popper on quantum mechanics and his defense of objectivity and realism. Popper opposes the idea, which he associates with the Copenhagen interpretation, that the theories describing quantum phenomena are about the subjective states of the human observers. Following the lead of Einstein, Popper emphasizes that scientific theories should be interpreted as attempts to describe a mind-independent reality.

Spazio e tempo sono grandezze fondamentali della fisica e anche concetti da sempre al centro di r... more Spazio e tempo sono grandezze fondamentali della fisica e anche concetti da sempre al centro di riflessioni scientifiche e filosofiche. "Cos'è il tempo? -scriveva Sant'Agostino -Se nessuno me lo chiede lo so; se voglio spiegarlo a uno che me lo chiede non lo so più". Anche il concetto di spazio appare problematico e su di esso scienziati, matematici e filosofi hanno sostenuto punti di vista diversi e talvolta contrapposti.

Lettera Matematica International Edition, 2014

A scientific theory must be falsifiable, and scientific knowledge is always tentative, or conject... more A scientific theory must be falsifiable, and scientific knowledge is always tentative, or conjectural. These are the main ideas of Popper’s Logic of Scientific Discovery. Since 1960 his writings contain some essential developments of these views and make some steps towards epistemological optimism. Although we cannot justify any claim that a scientific theory is true, the aim of science is the search of truth and we have no reason to be sceptical about the notion of getting nearer to the truth. Our knowledge can grow, and science can progress. Nevertheless, Popper’s theory of approximation to the truth is problematic and is still the subject of studies and discussions.

La metafora del libro della natura è molto antica, ma oggi viene soprattutto ricordata per l'uso ... more La metafora del libro della natura è molto antica, ma oggi viene soprattutto ricordata per l'uso ripetuto che ne fece Galileo:

Lettera matematica Pristem, 2011

lettera matematica

Lettera matematica Pristem, 2013

PRISMA. Matematica, giochi, idee sul mondo, 2024

Il disco cifrante di Leon Battista Alberti. Viaggio nella storia della crittografia, 2023

Leon Battista Alberti ha lasciato la sua impronta quasi in ogni campo del sapere; fu architetto ... more Leon Battista Alberti ha lasciato la sua impronta quasi in ogni campo del sapere; fu architetto e teorico delle arti, latinista e filosofo, cultore di musica e di matematica. Ma si deve ricordare anche il suo fondamentale contributo in un campo meno noto, quello della crittografia, cioè dell'arte di nascondere i messaggi. L'Alberti inventò un metodo per generare messaggi criptati, con l'aiuto di un disco cifrante, che ha segnato una svolta rispetto ai metodi di cifratura in uso ai suoi tempi e che è stato un punto di riferimento per la crittografia dei secoli a venire, fino quasi ai nostri giorni.

volte si dice che la matematica è la regina delle scienze: lo ha affermato per primo Carl Friedri... more volte si dice che la matematica è la regina delle scienze: lo ha affermato per primo Carl Friedrich Gauss, matematico tedesco di qualche secolo fa, e ancora oggi lo si sente ripetere. Ma la matematica dev'essere una regina piuttosto singolare, perché il suo dominio si estende su oggetti assolutamente inosservabili. Le altre scienze, la cosmologia, la fisica, la biologia… hanno tutte oggetti di studio concretamente identificabili (studiano l'Universo, i fenomeni naturali, gli organismi viventi…). Invece la matematica, che di queste scienze dovrebbe essere la regina, si occupa di numeri, insiemi e funzioni, cioè di oggetti che non sapremmo trovare da nessuna parte e che sono materialmente inafferrabili. Eppure siamo abituati a pensare che la matematica sia fonte di indubitabili certezze. Saremmo portati a dubitare più delle impressioni dei nostri sensi o delle leggi della fisica che dei teoremi della matematica. La storia della scienza ci insegna che le leggi fisiche sono provvisorie, che possono essere confutate e sostituite da teorie nuove e migliori. Le verità matematiche invece ci sembrano eterne. Il teorema sull'infinità dei numeri primi, dimostrato da Euclide più di duemila anni fa, resta ancora immutabile davanti a noi. Da dove deriva questa permanente certezza? Come possiamo pensare di conoscere la verità delle teorie matematiche, se non sappiamo nemmeno specificare la natura degli oggetti su cui vertono? A questo rompicapo filosofico c'è una risposta antichissima data da Platone, ma che nessuno oggi si sentirebbe di condividere in toto. Secondo Platone gli oggetti dell'aritmetica e della geometria avrebbero una loro esistenza autonoma, in un mondo di forme e idee astratte, situate al di fuori dello spazio, del tempo e anche dell'influenza umana. L'uomo può comunque riconoscere le proprietà degli enti matematici perché la sua anima, ancora prima della nascita, era stata nell'Iperuranio a contatto con queste forme ideali. Nel Menone, un dialogo platonico di confine fra il periodo giovanile e la maturità, Socrate interroga un servo incolto su un problema di geometria. Supponiamo di avere un quadrato con un certo lato e una certa area e di voler disegnare un secondo quadrato che abbia area doppia del precedente: come dovrò prendere il suo lato? La prima idea del servo è di rispondere che anche il lato deve diventare doppio; ma poi, opportunamente guidato dalle domande di Socrate, riesce a riconoscere il proprio errore (se il lato raddoppia, l'area del quadrato non diventa doppia ma quadrupla) e pervenire poi alla risposta corretta: il quadrato di area doppia è quello costruito sulla diagonale del quadrato di partenza (Figura 1). Da dove proviene -argomenta il filosofo -questa capacita del servo, del tutto privo di preparazione matematica, di individuare la giusta soluzione? dal fatto che nella sua mente riaffiora quanto appreso in una esistenza precedente e perché tutto il nostro sapere è ricordare. È abbastanza ovvio che oggi risulta difficile condividere questa antica teoria della reminiscenza, ma anche ora molti studiosi continuano a pensare, come Platone, che gli enti matematici abbiano una loro esistenza autonoma e indipendente dalla mente umana che indaga su di essi. I matematici di professione, e talvolta anche gli studenti, sono accomunati dall'impressione, palese o inconscia, di avere a che fare, studiando la matematica, con qualcosa che ci trascende e che non dipende dalla nostra volontà e dalle nostre capacità di indagine. Secondo Bertrand Russell, matematico, filosofo e premio Nobel per la letteratura nel 1950, l'attività matematica assomiglia a un viaggio di scoperta e di esplorazione di un continente sconosciuto: "L'aritmetica va scoperta -scrivevaproprio nello stesso senso in cui Colombo scoprì le Indie occidentali e noi non creiamo i numeri più di quanto egli abbia creato gli Indiani". E tuttavia i numeri, a differenza degli Indiani d'America, sono sicuramente inosservabili; perciò il platonismo moderno, se non vuole più ricorrere alla teoria della reminiscenza, ha bisogno di specificare quale sia la facoltà che ci permette di riconoscere le loro proprietà. Se la matematica forma un universo indipendente e parallelo, che però non è un universo fisico, deve esserci qualche facoltà speciale che ci permette di accedere a questo mondo e di studiarlo. Per Russell la fonte della verità matematica è dello stesso tipo di quella che ci assicura la conoscenza delle leggi della logica. Altri matematici invece ritengono che la loro attività non sia di natura esclusivamente logica ma che ci sia un'intuizione previlegiata in grado di rivelarci le verità matematiche. Tuttavia questa intuizione matematica sembra qualcosa di soggettivo, indefinibile e anche abbastanza inaffidabile. A volte, quelle che ci sembrano le intuizioni più sicure si rivelano ingannevoli e scopriamo che quello che sembrava ovvio è falso, mentre quello che sembra incredibile è vero. Dunque la concezione platonista degli enti matematici appare poco soddisfacente, soprattutto perché non riesce a specificare il modo in cui possiamo interagire con essi. Sembrerebbe più ragionevole pensare che i numeri e gli altri enti matematici siano una nostra costruzione, che non rinvia ad un mondo astratto diverso dal nostro. Da questo punto di vista la matematica è qualcosa che non si scopre ma si crea e che esiste solo perché esistono i matematici. Quest'idea sembra più vicina al buon senso di quanto non lo sia la posizione platonista e anche presentare meno problemi conoscitivi: se siamo noi a creare gli enti matematici, diventa più naturale pensare di riconoscerne le proprietà. Ma anche la concezione costruttivista va incontro a molte difficoltà e non sembra in grado di risolvere il puzzle della conoscenza matematica. In primo luogo si può osservare che i matematici di qualsiasi latitudine, di qualsiasi cultura e tradizione, pervengono tutti agli stessi risultati. Se la matematica fosse interamente un'invenzione umana, ci potremmo aspettare significative differenze nel suo ambito. La letteratura e l'arte recano l'impronta della società e della cultura in cui sono immerse. Invece la matematica è universale e non sembra dipendere dalle culture particolari. Ma soprattutto la concezione costruttivista deve fare i conti con l'efficacia della matematica nella descrizione della natura: la matematica, infatti, non è solo pensiero puro ma viene anche impiegata nella nostra rappresentazione del mondo fisico. Lo studente di liceo che ha studiato la legge di caduta dei gravi riesce a calcolare, in due passaggi, il tempo impiegato da un oggetto a cadere da una certa altezza e la velocità con cui arriva al suolo. Siamo talmente abituati al fatto che possiamo predire il corso dei fenomeni naturali con qualche calcolo a penna che lo diamo per scontato e non ne siamo più stupiti. Ma è un fatto straordinario che le formule matematiche riescano a descrivere con una tale efficacia la realtà del mondo. Galileo aveva affermato che questo è possibile perché il gran libro dell'Universo è scritto in lingua matematica e anche dopo Galileo molti scienziati hanno continuato a pensarla allo stesso modo. James Jeans, astronomo britannico del secolo scorso, osservava che "il grande Architetto dell'Universo ci appare ormai come un matematico puro". Anche Joseph Ratzinger, in un discorso tenuto a Verona nell'ottobre 2006, è intervenuto sull'argomento: "La matematica come tale -disse alloraè una creazione della nostra intelligenza: la corrispondenza tra le sue strutture e le strutture reali dell'universo, che è il presupposto di tutti i moderni sviluppi scientifici e tecnologici, suscita la nostra ammirazione e pone una grande domanda. Implica infatti che l'universo stesso sia strutturato in maniera intelligente, in modo che esista una corrispondenza profonda tra la nostra ragione soggettiva e la ragione oggettivata nella natura. Diventa allora inevitabile chiedersi se non debba esservi un'unica intelligenza originaria, che sia la comune fonte dell'una e dell'altra". Sono argomentazioni che anche molti uomini di scienza potrebbero condividere. Altri invece sarebbero in disaccordo ritenendo che il ruolo della matematica non debba essere enfatizzato. Dal loro punto di vista non dobbiamo pensare che la matematica sia un attributo della mente divina e nemmeno che sia il fondamento della struttura del mondo. Infatti le teorie matematiche, quando si applicano alla realtà, non hanno lo stesso grado di certezza che avevano allo stato puro e riescono a riflettere la struttura del mondo fisico solo in modo approssimato (tanto è vero che a volte vengono sostituite da teorie migliori, più generali o più precise). Inoltre questa applicabilità dei modelli matematici alla realtà fisica non ha nulla di miracoloso; dipende semplicemente dal fatto che noi li creiamo proprio a questo scopo. Si tratta di argomentazioni certamente molto ragionevoli. E tuttavia questa concezione minimalista non sembra cogliere del tutto il ruolo della matematica nel processo della conoscenza. Nella storia della scienza ci sono stati diversi casi di teorie matematiche elaborate molto prima delle loro applicazioni al mondo fisico, da matematici puri il cui scopo non era quello di applicarle al mondo. Gli stessi scienziati rimangono stupiti di fronte al fatto sorprendente che a volte certe teorie matematiche, create indipendentemente, riescono ad anticipare la scoperta fisica. Einstein formulò la teoria della relatività trovando già pronta la geometria di Riemann, una teoria creata assai prima e che dallo stesso Riemann era stata considerata come una pura possibilità logica. Dunque le teorie matematiche hanno possibilità di applicazione impreviste, che vanno oltre le intenzioni per cui sono create, e spesso sono proprie queste applicazioni inattese che si rivelano cruciali. Questa inesauribile applicabilità al mondo fisico, se non vogliamo ricorrere ad argomentazioni di tipo teologico né credere ai miracoli, può...

scienzaefilosofia.it, Dec 21, 2016

In a BBC radio programme Popper acknowledged his debt to Einstein saying that Einstein’s influe... more In a BBC radio programme Popper acknowledged his debt to Einstein saying that Einstein’s influence on his thinking was immense and that he mainly made explicit certain points that were implicit in the work of Einstein. In fact, in various writings Einstein presents his critical attitude toward any scientific theory: of particular interest is Einstein’s article «Induktion und Deduktion in der Physik» (1919) that can be considered a concentrate of Popper’s views of science. In the second part of the paper are presented the views of Popper on quantum mechanics and his defense of objectivity and realism. Popper opposes the idea, which he associates with the Copenhagen interpretation, that the theories describing quantum phenomena are about the subjective states of the human observers. Following the lead of Einstein, Popper emphasizes that scientific theories should be interpreted as attempts to describe a mind-independent reality.

Spazio e tempo sono grandezze fondamentali della fisica e anche concetti da sempre al centro di r... more Spazio e tempo sono grandezze fondamentali della fisica e anche concetti da sempre al centro di riflessioni scientifiche e filosofiche. "Cos'è il tempo? -scriveva Sant'Agostino -Se nessuno me lo chiede lo so; se voglio spiegarlo a uno che me lo chiede non lo so più". Anche il concetto di spazio appare problematico e su di esso scienziati, matematici e filosofi hanno sostenuto punti di vista diversi e talvolta contrapposti.

Lettera Matematica International Edition, 2014

A scientific theory must be falsifiable, and scientific knowledge is always tentative, or conject... more A scientific theory must be falsifiable, and scientific knowledge is always tentative, or conjectural. These are the main ideas of Popper’s Logic of Scientific Discovery. Since 1960 his writings contain some essential developments of these views and make some steps towards epistemological optimism. Although we cannot justify any claim that a scientific theory is true, the aim of science is the search of truth and we have no reason to be sceptical about the notion of getting nearer to the truth. Our knowledge can grow, and science can progress. Nevertheless, Popper’s theory of approximation to the truth is problematic and is still the subject of studies and discussions.

La metafora del libro della natura è molto antica, ma oggi viene soprattutto ricordata per l'uso ... more La metafora del libro della natura è molto antica, ma oggi viene soprattutto ricordata per l'uso ripetuto che ne fece Galileo:

Lettera matematica Pristem, 2011

lettera matematica

Lettera matematica Pristem, 2013

PRISMA. Matematica, giochi, idee sul mondo, 2024

Il disco cifrante di Leon Battista Alberti. Viaggio nella storia della crittografia, 2023

Leon Battista Alberti ha lasciato la sua impronta quasi in ogni campo del sapere; fu architetto ... more Leon Battista Alberti ha lasciato la sua impronta quasi in ogni campo del sapere; fu architetto e teorico delle arti, latinista e filosofo, cultore di musica e di matematica. Ma si deve ricordare anche il suo fondamentale contributo in un campo meno noto, quello della crittografia, cioè dell'arte di nascondere i messaggi. L'Alberti inventò un metodo per generare messaggi criptati, con l'aiuto di un disco cifrante, che ha segnato una svolta rispetto ai metodi di cifratura in uso ai suoi tempi e che è stato un punto di riferimento per la crittografia dei secoli a venire, fino quasi ai nostri giorni.

volte si dice che la matematica è la regina delle scienze: lo ha affermato per primo Carl Friedri... more volte si dice che la matematica è la regina delle scienze: lo ha affermato per primo Carl Friedrich Gauss, matematico tedesco di qualche secolo fa, e ancora oggi lo si sente ripetere. Ma la matematica dev'essere una regina piuttosto singolare, perché il suo dominio si estende su oggetti assolutamente inosservabili. Le altre scienze, la cosmologia, la fisica, la biologia… hanno tutte oggetti di studio concretamente identificabili (studiano l'Universo, i fenomeni naturali, gli organismi viventi…). Invece la matematica, che di queste scienze dovrebbe essere la regina, si occupa di numeri, insiemi e funzioni, cioè di oggetti che non sapremmo trovare da nessuna parte e che sono materialmente inafferrabili. Eppure siamo abituati a pensare che la matematica sia fonte di indubitabili certezze. Saremmo portati a dubitare più delle impressioni dei nostri sensi o delle leggi della fisica che dei teoremi della matematica. La storia della scienza ci insegna che le leggi fisiche sono provvisorie, che possono essere confutate e sostituite da teorie nuove e migliori. Le verità matematiche invece ci sembrano eterne. Il teorema sull'infinità dei numeri primi, dimostrato da Euclide più di duemila anni fa, resta ancora immutabile davanti a noi. Da dove deriva questa permanente certezza? Come possiamo pensare di conoscere la verità delle teorie matematiche, se non sappiamo nemmeno specificare la natura degli oggetti su cui vertono? A questo rompicapo filosofico c'è una risposta antichissima data da Platone, ma che nessuno oggi si sentirebbe di condividere in toto. Secondo Platone gli oggetti dell'aritmetica e della geometria avrebbero una loro esistenza autonoma, in un mondo di forme e idee astratte, situate al di fuori dello spazio, del tempo e anche dell'influenza umana. L'uomo può comunque riconoscere le proprietà degli enti matematici perché la sua anima, ancora prima della nascita, era stata nell'Iperuranio a contatto con queste forme ideali. Nel Menone, un dialogo platonico di confine fra il periodo giovanile e la maturità, Socrate interroga un servo incolto su un problema di geometria. Supponiamo di avere un quadrato con un certo lato e una certa area e di voler disegnare un secondo quadrato che abbia area doppia del precedente: come dovrò prendere il suo lato? La prima idea del servo è di rispondere che anche il lato deve diventare doppio; ma poi, opportunamente guidato dalle domande di Socrate, riesce a riconoscere il proprio errore (se il lato raddoppia, l'area del quadrato non diventa doppia ma quadrupla) e pervenire poi alla risposta corretta: il quadrato di area doppia è quello costruito sulla diagonale del quadrato di partenza (Figura 1). Da dove proviene -argomenta il filosofo -questa capacita del servo, del tutto privo di preparazione matematica, di individuare la giusta soluzione? dal fatto che nella sua mente riaffiora quanto appreso in una esistenza precedente e perché tutto il nostro sapere è ricordare. È abbastanza ovvio che oggi risulta difficile condividere questa antica teoria della reminiscenza, ma anche ora molti studiosi continuano a pensare, come Platone, che gli enti matematici abbiano una loro esistenza autonoma e indipendente dalla mente umana che indaga su di essi. I matematici di professione, e talvolta anche gli studenti, sono accomunati dall'impressione, palese o inconscia, di avere a che fare, studiando la matematica, con qualcosa che ci trascende e che non dipende dalla nostra volontà e dalle nostre capacità di indagine. Secondo Bertrand Russell, matematico, filosofo e premio Nobel per la letteratura nel 1950, l'attività matematica assomiglia a un viaggio di scoperta e di esplorazione di un continente sconosciuto: "L'aritmetica va scoperta -scrivevaproprio nello stesso senso in cui Colombo scoprì le Indie occidentali e noi non creiamo i numeri più di quanto egli abbia creato gli Indiani". E tuttavia i numeri, a differenza degli Indiani d'America, sono sicuramente inosservabili; perciò il platonismo moderno, se non vuole più ricorrere alla teoria della reminiscenza, ha bisogno di specificare quale sia la facoltà che ci permette di riconoscere le loro proprietà. Se la matematica forma un universo indipendente e parallelo, che però non è un universo fisico, deve esserci qualche facoltà speciale che ci permette di accedere a questo mondo e di studiarlo. Per Russell la fonte della verità matematica è dello stesso tipo di quella che ci assicura la conoscenza delle leggi della logica. Altri matematici invece ritengono che la loro attività non sia di natura esclusivamente logica ma che ci sia un'intuizione previlegiata in grado di rivelarci le verità matematiche. Tuttavia questa intuizione matematica sembra qualcosa di soggettivo, indefinibile e anche abbastanza inaffidabile. A volte, quelle che ci sembrano le intuizioni più sicure si rivelano ingannevoli e scopriamo che quello che sembrava ovvio è falso, mentre quello che sembra incredibile è vero. Dunque la concezione platonista degli enti matematici appare poco soddisfacente, soprattutto perché non riesce a specificare il modo in cui possiamo interagire con essi. Sembrerebbe più ragionevole pensare che i numeri e gli altri enti matematici siano una nostra costruzione, che non rinvia ad un mondo astratto diverso dal nostro. Da questo punto di vista la matematica è qualcosa che non si scopre ma si crea e che esiste solo perché esistono i matematici. Quest'idea sembra più vicina al buon senso di quanto non lo sia la posizione platonista e anche presentare meno problemi conoscitivi: se siamo noi a creare gli enti matematici, diventa più naturale pensare di riconoscerne le proprietà. Ma anche la concezione costruttivista va incontro a molte difficoltà e non sembra in grado di risolvere il puzzle della conoscenza matematica. In primo luogo si può osservare che i matematici di qualsiasi latitudine, di qualsiasi cultura e tradizione, pervengono tutti agli stessi risultati. Se la matematica fosse interamente un'invenzione umana, ci potremmo aspettare significative differenze nel suo ambito. La letteratura e l'arte recano l'impronta della società e della cultura in cui sono immerse. Invece la matematica è universale e non sembra dipendere dalle culture particolari. Ma soprattutto la concezione costruttivista deve fare i conti con l'efficacia della matematica nella descrizione della natura: la matematica, infatti, non è solo pensiero puro ma viene anche impiegata nella nostra rappresentazione del mondo fisico. Lo studente di liceo che ha studiato la legge di caduta dei gravi riesce a calcolare, in due passaggi, il tempo impiegato da un oggetto a cadere da una certa altezza e la velocità con cui arriva al suolo. Siamo talmente abituati al fatto che possiamo predire il corso dei fenomeni naturali con qualche calcolo a penna che lo diamo per scontato e non ne siamo più stupiti. Ma è un fatto straordinario che le formule matematiche riescano a descrivere con una tale efficacia la realtà del mondo. Galileo aveva affermato che questo è possibile perché il gran libro dell'Universo è scritto in lingua matematica e anche dopo Galileo molti scienziati hanno continuato a pensarla allo stesso modo. James Jeans, astronomo britannico del secolo scorso, osservava che "il grande Architetto dell'Universo ci appare ormai come un matematico puro". Anche Joseph Ratzinger, in un discorso tenuto a Verona nell'ottobre 2006, è intervenuto sull'argomento: "La matematica come tale -disse alloraè una creazione della nostra intelligenza: la corrispondenza tra le sue strutture e le strutture reali dell'universo, che è il presupposto di tutti i moderni sviluppi scientifici e tecnologici, suscita la nostra ammirazione e pone una grande domanda. Implica infatti che l'universo stesso sia strutturato in maniera intelligente, in modo che esista una corrispondenza profonda tra la nostra ragione soggettiva e la ragione oggettivata nella natura. Diventa allora inevitabile chiedersi se non debba esservi un'unica intelligenza originaria, che sia la comune fonte dell'una e dell'altra". Sono argomentazioni che anche molti uomini di scienza potrebbero condividere. Altri invece sarebbero in disaccordo ritenendo che il ruolo della matematica non debba essere enfatizzato. Dal loro punto di vista non dobbiamo pensare che la matematica sia un attributo della mente divina e nemmeno che sia il fondamento della struttura del mondo. Infatti le teorie matematiche, quando si applicano alla realtà, non hanno lo stesso grado di certezza che avevano allo stato puro e riescono a riflettere la struttura del mondo fisico solo in modo approssimato (tanto è vero che a volte vengono sostituite da teorie migliori, più generali o più precise). Inoltre questa applicabilità dei modelli matematici alla realtà fisica non ha nulla di miracoloso; dipende semplicemente dal fatto che noi li creiamo proprio a questo scopo. Si tratta di argomentazioni certamente molto ragionevoli. E tuttavia questa concezione minimalista non sembra cogliere del tutto il ruolo della matematica nel processo della conoscenza. Nella storia della scienza ci sono stati diversi casi di teorie matematiche elaborate molto prima delle loro applicazioni al mondo fisico, da matematici puri il cui scopo non era quello di applicarle al mondo. Gli stessi scienziati rimangono stupiti di fronte al fatto sorprendente che a volte certe teorie matematiche, create indipendentemente, riescono ad anticipare la scoperta fisica. Einstein formulò la teoria della relatività trovando già pronta la geometria di Riemann, una teoria creata assai prima e che dallo stesso Riemann era stata considerata come una pura possibilità logica. Dunque le teorie matematiche hanno possibilità di applicazione impreviste, che vanno oltre le intenzioni per cui sono create, e spesso sono proprie queste applicazioni inattese che si rivelano cruciali. Questa inesauribile applicabilità al mondo fisico, se non vogliamo ricorrere ad argomentazioni di tipo teologico né credere ai miracoli, può...

Centro Eleusi, Università Bocconi Milano, 2007

Il principio di scelta, formulato per la prima volta come assioma da Zermelo, costituisce un pres... more Il principio di scelta, formulato per la prima volta come assioma da Zermelo, costituisce un presupposto essenziale per molti ragionamenti sugli insiemi infiniti. Secondo l'Assioma di scelta, per ogni famiglia  di insiemi A i non vuoti e a due a due disgiunti, esiste almeno un insieme S che ha un solo elemento in comune con ognuno degli insiemi A i della famiglia . Il contenuto di questo assioma riguarda l'ammissibilità di compiere, per estrarre un elemento da ogni insieme, infinite scelte arbitrarie, cioè senza una regola precisa. Secondo un esempio famoso, per selezionare da un insieme infinito di scarpe l'insieme di tutte le scarpe destre non è necessario presupporre il principio di scelta (infatti la scelta delle singole scarpe obbedisce alla semplice regola di scegliere sempre la destra). Se invece si viene posti di fronte a una infinità di paia dei calzini, l'estrazione di un calzino da ogni paio non è riconducibile così facilmente ad una regola di scelta e perciò presuppone l'assioma della scelta.

Nuova Civiltà delle Macchine, 2002

According to Popper, mathematical objets are human creations: once created, they have properties ... more According to Popper, mathematical objets are human creations: once created, they have properties which we have great difficulty in discovering and which are possessed indipendently of our knowledge of them. In this way, Popper overcomes the traditional dichotomy betweeen discovery and creation in mathematical experience. Mereover, Popper answers another question: how mathematics, which is our creation, so often turns out to be useful in describing aspects of the physical world.

Cmss, Università Luiss, 2001

In this paper we analyse the philosophy of mathematics developed by Imre Lakatos. In his view mat... more In this paper we analyse the philosophy of mathematics developed by Imre Lakatos. In his view mathematics is fallible and its products, including concepts and proofs, can never be considered final or perfect, but may require adjustments when standards of rigour change, or new meanings emerge. The logic of mathematical discovery involves the method of conjectures, proofs and refutations. Moreover, final attempts of refutations may be starting points of mathematical research programmes. At the end of the paper we present Lakatos' view that the most interesting analysis of Greek geometry were pre-Euclidean and their role was to generate Euclid's axiomatic system.

L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 2002

1. Introduzione: gli interessi giovanili di Popper per la matematica e per la didattica; 2) Le cr... more 1) Introduzione: gli interessi giovanili di Popper per la matematica e per la didattica; 2) Le critiche all'induzione e il problema della demarcazione tra scienza e metafisica; 3) Il progresso scientifico attraverso congetture, corroborazioni e confutazioni; 4) Il ruolo della matematica fra scienza e metafisica; 5) La teoria dei tre mondi e la natura degli oggetti matematici; 6) Perchè i calcoli della matematica si applicano alla realtà?

in V. Fano, M. Stanzione, G. Barozzi (eds.), Prospettive della logica e della filosofia della scienza, Rubbettino, Catanzaro 2001

Sul numero 19 di MatematicaMente il direttore Luciano Corso solleva il problema della divulgazion... more Sul numero 19 di MatematicaMente il direttore Luciano Corso solleva il problema della divulgazione, richiamando la necessità di una più larga diffusione della cultura scientifica nella società e nella scuola. Il problema della divulgazione si intreccia naturalmente con l'annosa questione delle «due culture», umanistica e scientifica, e della loro difficile interazione. Usualmente si dice che la cultura scientifica è cosi poco diffusa nel nostro paese per il retaggio della filosofia neoidealistica (secondo cui la scienza sarebbe un produzione umana priva di autentico valore conoscitivo) e anche per la riforma gentiliana della scuola, che ancor oggi fa sentire i suoi effetti. Alla matematica, in particolare, viene attribuita la palma dell'impopolarità proprio a causa dei cattivi ricordi di scuola. Perciò si rivolgono raccomandazioni agli insegnanti perché non insistano troppo nel proporre ai propri allievi catene di esercizi meccanici, ma invece si sforzino di presentare i concetti matematici nella loro evoluzione storica e nel loro significato filosofico, mettendone anche in luce le possibili connessioni interdisciplinari. Perché cambi l'immagine della matematica presso il grande pubblico, si suggerisce intanto di cambiare lo stile con cui si insegna nelle scuole.

La Fisica nella Scuola, 1999

In this paper the author describes Enriques' ideas on the concept of space and on the relations b... more In this paper the author describes Enriques' ideas on the concept of space and on the relations between geometry and physics. Enriques criticized the views of Kant and Poincaré, considered geometry as an empirical science and anticipated some aspects of recent epistemology

La matematica e la sua didattica, 1999

An interesting article by Gila Hanna summarizes the recent debate on the value of proof. The aut... more An interesting article by Gila Hanna summarizes the recent debate on the value of proof. The author of this paper remarks that an analogous discussion arose in Italy after the pubblication of Morris Kline's work: "Mathematics. The Loss of Certianty". In the second part of the paper are considered the views of Popper and Lakatos on the explanatory power of mathematical proofs and are presented some reflections about the teaching in the classroom.

Lettera matematica Pristem, 1999

Sul numero 10 di questo foglio mensile il direttore Luciano Corso (facendo seguito ad altre note ... more Sul numero 10 di questo foglio mensile il direttore Luciano Corso (facendo seguito ad altre note pubblicate in numeri precedenti) accennava alla non modernità di alcune concezioni di Galileo. Infatti, secondo certe correnti epistemologiche attuali, le teorie scientifiche sono solo strumenti provvisori e confutabili. Galileo invece credeva nell'esistenza di leggi di natura e nella capacità della mente umana di comprenderle e di ricostruirle. La scienza galileiana, frutto di "dimostrazioni" e di "sensate esperienze", faceva riferimento all'esistenza di una struttura matematica dell'universo e alla certezza della conoscenza matematica. Famosissima, a questo proposito, è la frase del Saggiatore secondo cui "Il grandissimo libro che ci sta aperto dinanzi agli occhi, l'universo, (...) è scritto in lingua matematica". Ma famosa è anche la distinzione galileiana fra conoscenza estensiva ed intensiva. Secondo questa distinzione la mente umana non può eguagliare "estensivamente" la mente divina che conosce tutte le infinite verità aritmetiche e geometriche, ma "intensivamente", per quelle poche che l'intelletto umano può intendere, la certezza che possiamo raggiungere eguaglia la divina (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo).

Supponiamo di trovarci in una sala per conferenze e di notare che non vi sono né persone in piedi... more Supponiamo di trovarci in una sala per conferenze e di notare che non vi sono né persone in piedi né posti vuoti. Se ognuno dei presenti occupa un posto e uno solo, possiamo concludere che il numero delle persone è uguale a quello delle sedie, anche senza contare separatamente le persone e le sedie. Risulta dunque abbastanza naturale, nella vita di tutti i giorni, collegare il concetto di numero a quello di corrispondenza biunivoca. Questa è anche la via percorsa da Cantor nell'elaborazione della sua teoria dei numeri cardinali.

Nello studio di un qualsiasi linguaggio (formale o naturale) si distinguono usualmente tre livell... more Nello studio di un qualsiasi linguaggio (formale o naturale) si distinguono usualmente tre livelli: grammaticale, sintattico e semantico.

Nelle note di commento ai programmi del Piano Nazionale Informatica per i Licei si sottolinea che... more Nelle note di commento ai programmi del Piano Nazionale Informatica per i Licei si sottolinea che i concetti fondamentali della teoria della relatività sono stati spesso oggetto di riflessione in campo filosofico: se ne raccomanda perciò una introduzione multidisciplinare.

La matematica e la sua didattica, n. 3, 1992

La matematica e la sua didattica, 1991

La Fisica nella Scuola, 2000

La solitudine dei numeri primi è un romanzo scritto da Paolo Giordano ed edito da Mondadori nel 2... more La solitudine dei numeri primi è un romanzo scritto da Paolo Giordano ed edito da Mondadori nel 2008. Ha avuto un grande successo di vendite, è stato tradotto in varie lingue ed ha ricevuto il Premio Strega e il Premio Campiello Opera prima. Ne è stato ricavato anche un film che ha avuto una buona accoglienza nelle sale cinematografiche. Il titolo che aveva dato l'autore era diverso, Dentro e fuori dall'acqua, ed è stato cambiato nel titolo attuale da un editor della Mondadori. E' presumibile che proprio questo titolo, che fa riferimento alla matematica, abbia aiutato il successo del libro e questo è un fatto singolare, perché di solito la matematica è poco attraente per il pubblico dei lettori. Il grande scienziato Stephen Hawking scriveva che, per far leggere le proprie opere divulgative, doveva fare il minor uso possibile della matematica ed evitare di scrivere formule, perché ogni formula avrebbe dimezzato il numero delle vendite. Invece nel caso del libro di Paolo Giordano il titolo, inconsueto e a prima vista un po' misterioso, ha sortito un effetto favorevole.

Il prof. Francesco Speranza mentre tiene la dissertazione, che sarebbe purtroppo divenuta l'ultim... more Il prof. Francesco Speranza mentre tiene la dissertazione, che sarebbe purtroppo divenuta l'ultimo atto pubblico, in occasione del Convegno organizzato all'Università di Bologna per i suoi 65 anni di età Sono trascorsi più di quindici anni dalla scomparsa di Francesco Speranza, morto a Parma il 19 dicembre 1998, ma il ricordo della sua attività di ricerca, di divulgazione e di insegnamento è ancora vivo tra le persone che lo conobbero. Il professor Speranza è stato anche un assiduo amico del Centro PRISTEM. Fin dal primo numero, uscito in forma sperimentale nel marzo 1991, Lettera matematica Pristem aveva ospitato un suo intervento e successivamente altri contributi sulle questioni che più gli stavano a cuore. In occasione del quinto anniversario della morte, la Lettera ha pubblicato un articolo ("Ricordando Francesco Speranza. Perché la Matematica ha bisogno della Filosofia" ancora reperibile sul sito MATEpristem) in cui si cercava di fare luce su un suo ultimo progetto culturale rimasto purtroppo incompiuto. Nelle scorse settimane, cioè a distanza di altri dieci anni, è comparso, sempre su questo sito, l'annuncio di un convegno in memoria di Alba Rossi Dell'Acqua, prestigiosa figura di docente milanese che ha saputo accompagnare la passione civile all'impegno per un rinnovato insegnamento della matematica. Ci sembra di dover cogliere l'occasione per ricordare che Alba Rossi Dell'Acqua e Francesco Speranza sono stati coautori, nei primi anni Settanta, di un impegnativo libro di testo in cinque volumi: Matematica per il biennio delle Scuole Medie Superiori e poi Matematica per il triennio, (editore Zanichelli). Il testo,

Quando ero studente di matematica all'inizio degli anni Settanta, il professor Speranza era arriv... more Quando ero studente di matematica all'inizio degli anni Settanta, il professor Speranza era arrivato da poco alla Università di Parma. Vi fu un periodo in cui avevo occasione di incontrarlo spesso, per esempio in ascensore, senza tuttavia aver mai assistito a una sua lezione. La prima volta che lo sentii parlare di matematica fu in occasione di una trasmissione televisiva su quella che, a quei tempi, era definita la "matematica moderna". (Erano tempi in cui le trasmissioni erano in bianco e nero e i matematici potevano parlare in televisione). Francesco Speranza era il più giovane fra i partecipanti, tutti cattedratici di chiara fama e piuttosto anziani. Ricordo che intervenne un paio di volte per sottolineare alcuni punti: 1) che la matematica moderna poteva essere per tutti e non solo per le persone nate con il "bernoccolo" della matematica; 2) che la matematica occupa una posizione strategica, al confine fra le discipline scientifiche e quelle umanistiche.