Hyperbolic metric space (original) (raw)
In der Mathematik ist ein Gromov-hyperbolischer Raum ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen.
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| dbo:abstract | In der Mathematik ist ein Gromov-hyperbolischer Raum ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen. (de) In mathematics, a hyperbolic metric space is a metric space satisfying certain metric relations (depending quantitatively on a nonnegative real number δ) between points. The definition, introduced by Mikhael Gromov, generalizes the metric properties of classical hyperbolic geometry and of trees. Hyperbolicity is a large-scale property, and is very useful to the study of certain infinite groups called Gromov-hyperbolic groups. (en) En mathématiques, un espace métrique hyperbolique est un espace métrique satisfaisant des relations supplémentaires sur les distances ; cette notion, introduite par Mikhaïl Gromov, généralise les propriétés métriques de l'espace hyperbolique usuel, mais aussi celles de certains arbres. L'hyperbolicité est une propriété globale, qui intervient dans l'étude de certains groupes infinis, les groupes hyperboliques. (fr) Гиперболичность в смысле Громова или -гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова. Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп.Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для . (ru) 數學上，設為一常數，則一個度量空間是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果中任意四點都符合不等式 其中是對基點的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。 一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。 以上的δ-瘦條件由(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。 (zh) |
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