Hyperbolic group (original) (raw)
Hyperbolische Gruppen (auch: wort-hyperbolische Gruppen, Gromov-hyperbolische Gruppen, negativ gekrümmte Gruppen) sind eines der zentralen Themen der geometrischen Gruppentheorie. Der Begriff wurde in den 1980er Jahren von Michail Leonidowitsch Gromow eingeführt, die Verwendung geometrischer Methoden in der Gruppentheorie hat aber eine lange bis zu Max Dehns Verwendung hyperbolischer Geometrie zur Lösung des Wortproblems für Fundamentalgruppen kompakter Flächen zurückreichende Tradition. In gewissem Sinne sind fast alle Gruppen hyperbolisch. Zahlreiche Methoden aus der Geometrie negativ gekrümmter Räume lassen sich auf hyperbolische Gruppen übertragen und so für die Gruppentheorie nutzbar machen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Hyperbolische Gruppen (auch: wort-hyperbolische Gruppen, Gromov-hyperbolische Gruppen, negativ gekrümmte Gruppen) sind eines der zentralen Themen der geometrischen Gruppentheorie. Der Begriff wurde in den 1980er Jahren von Michail Leonidowitsch Gromow eingeführt, die Verwendung geometrischer Methoden in der Gruppentheorie hat aber eine lange bis zu Max Dehns Verwendung hyperbolischer Geometrie zur Lösung des Wortproblems für Fundamentalgruppen kompakter Flächen zurückreichende Tradition. In gewissem Sinne sind fast alle Gruppen hyperbolisch. Zahlreiche Methoden aus der Geometrie negativ gekrümmter Räume lassen sich auf hyperbolische Gruppen übertragen und so für die Gruppentheorie nutzbar machen. (de) In group theory, more precisely in geometric group theory, a hyperbolic group, also known as a word hyperbolic group or Gromov hyperbolic group, is a finitely generated group equipped with a word metric satisfying certain properties abstracted from classical hyperbolic geometry. The notion of a hyperbolic group was introduced and developed by Mikhail Gromov. The inspiration came from various existing mathematical theories: hyperbolic geometry but also low-dimensional topology (in particular the results of Max Dehn concerning the fundamental group of a hyperbolic Riemann surface, and more complex phenomena in three-dimensional topology), and combinatorial group theory. In a very influential (over 1000 citations ) chapter from 1987, Gromov proposed a wide-ranging research program. Ideas and foundational material in the theory of hyperbolic groups also stem from the work of George Mostow, William Thurston, James W. Cannon, Eliyahu Rips, and many others. (en) En théorie géométrique des groupes — une branche des mathématiques — un groupe hyperbolique, ou groupe à courbure négative, est un groupe de type fini muni d'une métrique des mots vérifiant certaines propriétés caractéristiques de la géométrie hyperbolique. Cette notion a été introduite et développée par Mikhaïl Gromov au début des années 1980. Il avait remarqué que beaucoup de résultats de Max Dehn concernant le groupe fondamental d'une surface de Riemann hyperbolique ne reposaient pas sur le fait qu'elle soit de dimension 2 ni même que ce soit une variété, mais restaient vrais dans un contexte beaucoup plus général. Dans un article de 1987 qui eut beaucoup de répercussions, Gromov proposa un vaste programme de recherche. Les idées et les ingrédients de base de la théorie viennent aussi du travail de George Mostow, William Thurston, (en), Eliyahu Rips et bien d'autres. (fr) In teoria dei gruppi, più precisamente in , un gruppo iperbolico, detto anche gruppo Gromov-iperbolico, è un gruppo finitamente generato munito di una distanza che soddisfa certe proprietà astratte tipiche della geometria iperbolica classica. La nozione di gruppo iperbolico fu introdotta e sviluppata da Gromov. (it) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een hyperbolische groep (ook woord-hyperbolische groep, Gromov-hyperbolische groep of negatief gekromde groep) een eindig voortgebrachte groep, die is uitgerust met een , die voldoet aan bepaalde eigenschappen, die karakteristiek zijn voor de hyperbolische meetkunde. Het bewgrip hyperbolische groep werd in de vroege jaren 1980 geïntroduceerd en ontwikkeld door Michail Gromov. Hij merkte op dat veel resultaten van Max Dehn over de fundamentaalgroep van een hyperbolisch riemann-oppervlak niet afhankelijk waren van het feit dat dit riemann-oppervlak dimensie twee had of zelfs maar een variëteit was. De resultaten golden ook in een algemenere context. In een zeer invloedrijke artikel formuleerde Gromov in 1987 een voorstel voor een breed onderzoeksprogramma. Ideeën en fundamenteel materiaal voor de theorie van de hyperbolische groepen komen ook voort uit het werk van , William Thurston, , en vele anderen. (nl) У теорії груп, точніше в геометричній теорії груп, гіперболічна група, також відома як словникова гіперболічна група або гіперболічна група Громова, — скінченнопороджена група зі словниковою метрикою, що задовольняє певним властивостям, абстрагованим від класичної гіперболічної геометрії. Поняття гіперболічної групи було введено та досліджено Михайлом Громовим. Дослідження Громова опиралися на безліч існуючих математичних теорій: гіперболічну геометрію, а також низькорозмірну топологію (зокрема на результати Макса Дена щодо фундаментальної групи гіперболічної поверхні Рімана і набагато складніші поняття топології) і . У визначній (близько 1000 цитувань) роботі 1987 року Громов запропонував далекосяжну дослідницьку програму. Ідеї та фундаментальні поняття у теорії гіперболічних груп також беруть свій початок із робіт , Вільяма Терстона, , Еліяха Ріпса та багатьох інших. (uk) Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову. (ru) 數學的上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Delta_thin_triangle_condition.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.warwick.ac.uk/~masgak/papers/bhb-ggtcourse.pdf http://homepages.warwick.ac.uk/~masgak/papers/rhg.pdf |
| dbo:wikiPageID | 3172817 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 21075 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1020385457 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Presentation_of_a_group dbr:CAT(0)_space dbr:Baumslag–Solitar_group dbr:Biautomatic_group dbc:Combinatorics_on_words dbr:Homothetic_transformation dbr:Bianchi_group dbr:Riemann_surface dbr:Curve_complex dbr:Virtually_cyclic_group dbr:Decidability_(logic) dbr:International_Journal_of_Algebra_and_Computation dbr:Quasi-isometry dbc:Geometric_group_theory dbr:Max_Dehn dbr:Geometric_and_Functional_Analysis dbr:Geometric_group_theory dbr:Orthogonal dbr:Simple_group dbr:Eliyahu_Rips dbr:George_Mostow dbr:Modular_group dbr:Contractible_space dbr:Combinatorial_group_theory dbr:Commensurability_(group_theory) dbc:Hyperbolic_metric_space dbr:Fuchsian_group dbr:Fundamental_group dbr:Mathematische_Annalen dbr:Subgroup dbr:Surface_(topology) dbr:Mathematical_Society_of_Japan dbc:Properties_of_groups dbr:Building_(mathematics) dbr:CAT(k)_space dbr:Tree_(graph_theory) dbr:William_Thurston dbr:Lattice_(discrete_subgroup) dbr:3-manifold dbc:Hyperbolic_geometry dbr:Cayley_graph dbr:Isoperimetric_inequality dbr:Knot_group dbr:Quarterly_Journal_of_Mathematics dbr:Residually_finite_group dbr:Riemannian_manifold dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Group_cohomology dbr:Isogeny dbr:James_W._Cannon dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_link dbr:Finite_groups dbr:Relatively_hyperbolic_group dbr:Triangle_group dbc:Metric_geometry dbr:Cohomological_dimension dbr:Tits_alternative dbr:Word_problem_for_groups dbr:Distance_(graph_theory) dbr:Automatic_group dbr:Mapping_class_group dbr:Space_group dbr:Free_abelian_group dbr:Free_group dbr:Group_theory dbr:Growth_rate_(group_theory) dbr:Infinite_dihedral_group dbr:Knot_(mathematics) dbr:Cannon's_conjecture dbr:Semisimple_Lie_group dbr:Rips_complex dbr:Unitary_group dbr:Švarc–Milnor_lemma dbr:Euclidean_plane dbr:Euler_characteristic dbr:Word_metric dbr:Finite_subdivision_rule dbr:Finiteness_properties_of_groups dbr:Small_cancellation_theory dbr:Random_group dbr:Δ-hyperbolic_space dbr:Sectional_curvature dbr:Transactions_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Hyperbolic_plane dbr:Length_space dbr:Uniformisation_theorem dbr:Bounded_cohomology |
| dbp:authorLink | Mikhail Gromov (en) |
| dbp:caption | The δ-thin triangle condition (en) |
| dbp:first | Mikhail (en) |
| dbp:height | 155 (xsd:integer) |
| dbp:id | p/g110240 (en) |
| dbp:imageLeft | 30 (xsd:integer) |
| dbp:imageWidth | 200 (xsd:integer) |
| dbp:last | Gromov (en) |
| dbp:title | Gromov hyperbolic space (en) |
| dbp:txt | yes (en) |
| dbp:width | 230 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Main_article dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Annotated_image dbt:Annotation dbt:Harvs dbt:Group_theory_sidebar |
| dbp:year | 1987 (xsd:integer) |
| dcterms:subject | dbc:Combinatorics_on_words dbc:Geometric_group_theory dbc:Hyperbolic_metric_space dbc:Properties_of_groups dbc:Hyperbolic_geometry dbc:Metric_geometry |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Possession100032613 yago:Property113244109 yago:Relation100031921 yago:WikicatPropertiesOfGroups |
| rdfs:comment | Hyperbolische Gruppen (auch: wort-hyperbolische Gruppen, Gromov-hyperbolische Gruppen, negativ gekrümmte Gruppen) sind eines der zentralen Themen der geometrischen Gruppentheorie. Der Begriff wurde in den 1980er Jahren von Michail Leonidowitsch Gromow eingeführt, die Verwendung geometrischer Methoden in der Gruppentheorie hat aber eine lange bis zu Max Dehns Verwendung hyperbolischer Geometrie zur Lösung des Wortproblems für Fundamentalgruppen kompakter Flächen zurückreichende Tradition. In gewissem Sinne sind fast alle Gruppen hyperbolisch. Zahlreiche Methoden aus der Geometrie negativ gekrümmter Räume lassen sich auf hyperbolische Gruppen übertragen und so für die Gruppentheorie nutzbar machen. (de) In teoria dei gruppi, più precisamente in , un gruppo iperbolico, detto anche gruppo Gromov-iperbolico, è un gruppo finitamente generato munito di una distanza che soddisfa certe proprietà astratte tipiche della geometria iperbolica classica. La nozione di gruppo iperbolico fu introdotta e sviluppata da Gromov. (it) Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову. (ru) 數學的上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 (zh) In group theory, more precisely in geometric group theory, a hyperbolic group, also known as a word hyperbolic group or Gromov hyperbolic group, is a finitely generated group equipped with a word metric satisfying certain properties abstracted from classical hyperbolic geometry. The notion of a hyperbolic group was introduced and developed by Mikhail Gromov. The inspiration came from various existing mathematical theories: hyperbolic geometry but also low-dimensional topology (in particular the results of Max Dehn concerning the fundamental group of a hyperbolic Riemann surface, and more complex phenomena in three-dimensional topology), and combinatorial group theory. In a very influential (over 1000 citations ) chapter from 1987, Gromov proposed a wide-ranging research program. Ideas a (en) En théorie géométrique des groupes — une branche des mathématiques — un groupe hyperbolique, ou groupe à courbure négative, est un groupe de type fini muni d'une métrique des mots vérifiant certaines propriétés caractéristiques de la géométrie hyperbolique. Cette notion a été introduite et développée par Mikhaïl Gromov au début des années 1980. Il avait remarqué que beaucoup de résultats de Max Dehn concernant le groupe fondamental d'une surface de Riemann hyperbolique ne reposaient pas sur le fait qu'elle soit de dimension 2 ni même que ce soit une variété, mais restaient vrais dans un contexte beaucoup plus général. Dans un article de 1987 qui eut beaucoup de répercussions, Gromov proposa un vaste programme de recherche. Les idées et les ingrédients de base de la théorie viennent aussi d (fr) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een hyperbolische groep (ook woord-hyperbolische groep, Gromov-hyperbolische groep of negatief gekromde groep) een eindig voortgebrachte groep, die is uitgerust met een , die voldoet aan bepaalde eigenschappen, die karakteristiek zijn voor de hyperbolische meetkunde. Het bewgrip hyperbolische groep werd in de vroege jaren 1980 geïntroduceerd en ontwikkeld door Michail Gromov. Hij merkte op dat veel resultaten van Max Dehn over de fundamentaalgroep van een hyperbolisch riemann-oppervlak niet afhankelijk waren van het feit dat dit riemann-oppervlak dimensie twee had of zelfs maar een variëteit was. De resultaten golden ook in een algemenere context. In een zeer invloedrijke artikel formuleerde Gromov in 1987 een voorstel voor een breed (nl) У теорії груп, точніше в геометричній теорії груп, гіперболічна група, також відома як словникова гіперболічна група або гіперболічна група Громова, — скінченнопороджена група зі словниковою метрикою, що задовольняє певним властивостям, абстрагованим від класичної гіперболічної геометрії. Поняття гіперболічної групи було введено та досліджено Михайлом Громовим. У визначній (близько 1000 цитувань) роботі 1987 року Громов запропонував далекосяжну дослідницьку програму. (uk) |
| rdfs:label | Hyperbolische Gruppe (de) Hyperbolic group (en) Gruppo iperbolico (it) Groupe hyperbolique (fr) Hyperbolische groep (nl) Гиперболическая группа (ru) Гіперболічна група (uk) 雙曲群 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Hyperbolic group yago-res:Hyperbolic group wikidata:Hyperbolic group dbpedia-de:Hyperbolic group dbpedia-fr:Hyperbolic group dbpedia-he:Hyperbolic group dbpedia-it:Hyperbolic group dbpedia-nl:Hyperbolic group dbpedia-ru:Hyperbolic group dbpedia-uk:Hyperbolic group dbpedia-zh:Hyperbolic group https://global.dbpedia.org/id/4yDcT |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hyperbolic_group?oldid=1020385457&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Delta_thin_triangle_condition.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hyperbolic_group |
| is dbo:knownFor of | dbr:Mikhael_Gromov_(mathematician) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Hyperbolic |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Word-hyperbolic_group dbr:Word_hyperbolic_group dbr:Gromov-hyperbolic_group dbr:Negatively_curved_group |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Mostow_rigidity_theorem dbr:Hyperbolic_metric_space dbr:Curve_complex dbr:Von_Neumann_algebra dbr:List_of_group_theory_topics dbr:Timeline_of_algebra dbr:Cornelia_Druțu dbr:Geometric_group_action dbr:Geometric_group_theory dbr:Timeline_of_geometry dbr:Eliyahu_Rips dbr:N-sphere dbr:Conjugacy_problem dbr:Stable_group dbr:Baum–Connes_conjecture dbr:Harry_Wiener dbr:Building_(mathematics) dbr:Acylindrically_hyperbolic_group dbr:G._Peter_Scott dbr:Linear_group dbr:Abstract_simplicial_complex dbr:Cyclic_group dbr:History_of_group_theory dbr:Kaplansky's_conjectures dbr:Kazhdan's_property_(T) dbr:Riemannian_geometry dbr:Group_(mathematics) dbr:Relatively_hyperbolic_group dbr:Tree-graded_space dbr:Triangle_group dbr:Surgery_theory dbr:Tits_alternative dbr:Arthur_Bartels dbr:Automatic_group dbr:Mapping_class_group dbr:Borel_subgroup dbr:Burnside_problem dbr:Free-by-cyclic_group dbr:Gromov_boundary dbr:Howson_property dbr:Mikhael_Gromov_(mathematician) dbr:Hyperbolic dbr:Poisson_boundary dbr:Finite_subdivision_rule dbr:Finiteness_properties_of_groups dbr:Stable_theory dbr:Non-positive_curvature dbr:Random_group dbr:SQ-universal_group dbr:The_Symmetries_of_Things dbr:Vietoris–Rips_complex dbr:Word-hyperbolic_group dbr:Word_hyperbolic_group dbr:Gromov-hyperbolic_group dbr:Negatively_curved_group |
| is dbp:knownFor of | dbr:Mikhael_Gromov_(mathematician) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hyperbolic_group |
