Coset (original) (raw)
La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, si G és un grup, H és un subgrup de G, i g és un element de G, llavors gH = {gh : h un elements de H } és una classe lateral per l'esquerra de H en G, iHg = {hg : h un elements de H } és una classe lateral per la dreta de H en G. Només quan H és normal coincideixen les classes laterals per la dreta i per l'esquerra, de fet, aquesta és una definició de subgrup normal. Una classe lateral és una classe lateral per l'esquerra o per la dreta d'algun subgrup de G.Com que Hg = g ( g−1Hg ), les classes laterals per la dreta Hg (d'H ) i les classes laterals per l'esquerra g ( g−1Hg ) (del subgrup g−1Hg ) són el mateix. Per això no és significatiu parlar d'una classe lateral com a classe lateral per la dreta o per l'esquerra llevat que primer s'especifiqui el subgrup subjacent. Si l'operació de grup s'escriu additivament, la notació emprada canvia a g+H i H+g respectivament. (ca) في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الزمر، لأي زمرة جزئية من الزمرة وأي عنصر من ، تتحدد بكونها المجموعة ويُقال عنها مجموعة مشاركة يسرى لـ ووتتحدد بكونها المجموعة ويُقال عنها مجموعة مشاركة يمنى لـ . لأي زمرة جزئية ، نستطيع تحديد علاقة التكافؤ من خلال إذا كان لأي في . وتكون صنف التكافؤ لعلاقة التكافؤ تلك هي بالضبط المجموعات المشاركة اليسرى لـ ، والعنصر من يكون في صف التكافؤ . وبالتالي تشكل المجموعات المشاركة اليسرى لـ تجزئة من . من الصحيح أيضًا أن أي مجموعتين مشاركتين يسريين لـ تمتلك نفس العدد الأصلي، وبتعبير أخص فإن كل مجموعة مشاركة لـ تمتلك نفس العدد الأصلي مثل ، حيث هو العنصر المحايد. وبالتالي يكون العدد الأصلي لأي مجموعة مشاركة يسرى لـ مساويًا رتبة . ويُحصل على نفس النتائج بالنسبة للمجموعات المشاركة اليمنى، وفي الواقع نستطيع إثبات أن مجموعة المجموعات المشاركة اليسرى لـ تمتلك نفس العدد الأصلي لمجموعة المجموعات المشاركة اليمنى لـ . (ar) In mathematics, specifically group theory, a subgroup H of a group G may be used to decompose the underlying set of G into disjoint, equal-size subsets called cosets. There are left cosets and right cosets. Cosets (both left and right) have the same number of elements (cardinality) as does H. Furthermore, H itself is both a left coset and a right coset. The number of left cosets of H in G is equal to the number of right cosets of H in G. This common value is called the index of H in G and is usually denoted by [G : H]. Cosets are a basic tool in the study of groups; for example, they play a central role in Lagrange's theorem that states that for any finite group G, the number of elements of every subgroup H of G divides the number of elements of G. Cosets of a particular type of subgroup (a normal subgroup) can be used as the elements of another group called a quotient group or factor group. Cosets also appear in other areas of mathematics such as vector spaces and error-correcting codes. (en) En matemáticas, sea G un grupo, H un subgrupo de G y g es un elemento cualquiera de G, entonces: gH = {gh : h un elemento de H } es una clase lateral izquierda de H en G yHg = {hg : h un elemento de H } es una clase lateral derecha de H en G. Solo en el caso de que H sea un subgrupo normal coincidirán las clases laterales derecha e izquierda de H, lo cual constituye precisamente una de las definiciones de la condición de normalidad de un subgrupo. Una clase lateral es una clase lateral izquierda o derecha de algún subgrupo de G. Puesto que Hg = g ( g−1Hg ), las clases laterales derechas Hg (de H ) y las clases laterales izquierdas g ( g−1Hg ) (del subgrupo g−1Hg ) coinciden. Por tanto, no tiene ningún sentido afirmar que una clase lateral es izquierda o derecha sin antes especificar el subgrupo al que corresponden. En otras palabras: la clase lateral derecha de un subgrupo es igual a la clase lateral izquierda de otro subgrupo (conjugado) diferente. El que una cierta clase lateral sea una clase lateral derecha o izquierda dependerá de qué subgrupo se utilice. Si estamos trabajando con un grupo abeliano, o con un grupo que se exprese con notación aditiva, la notación utilizada para las clases laterales cambia, empleándose g+H y H+g, respectivamente. (es) En théorie des groupes, les classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H sont les parties de G de la forme gH avec g élément de G, où gH désigne l'ensemble des éléments gh quand h parcourt H. Elles constituent les classes d'une relation d'équivalence sur G, donc forment une partition de G. On peut les voir aussi comme les orbites de l'action à droite de H sur G, par translations par les symétriques des éléments de H. L'ensemble des classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté G/H. Il est naturellement muni d'une action à gauche de G, qui est transitive. L'ensemble des classes à droite d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté H\G. Il est défini de façon analogue et vérifie des propriétés semblables. Si le sous-groupe H est normal, alors G/H et H\G coïncident et forment le groupe quotient de G par H. Ces deux ensembles servent de modèles pour les espaces homogènes, car toute orbite d'une action de G s'identifie naturellement à un tel ensemble. L'utilisation des classes intervient notamment dans l'étude des groupes finis, par exemple à travers le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow. (fr) Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup H dari grup G dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari G menjadi sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya H. Lebih lanjut, H itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri H di G sama dengan jumlah koset kanan dari H di G. Nilai yang sama disebut dari H dalam bahasa G dan biasanya dilambangkan dengan [G : H]. Kohimpunan adalah alat dasar dalam mempelajari grup; misalnya, mereka memainkan peran sentral dalam Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa untuk grup hingga G, jumlah elemen dari setiap subgrup H dari G membagi jumlah elemen G. Koset dari jenis subgrup tertentu (subgrup normal) dapat digunakan sebagai elemen dari grup lain yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor. Kohimpunan juga muncul di bidang matematika lain seperti ruang vektor dan . (in) La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente. (it) 数学、特に群論における剰余類（じょうよるい、英: residue class）あるいは傍系（ぼうけい、英: coset; コセット）とは、とある同値類であって次の定義を満たすものである。 (ja) In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep een deelverzameling of van , die bestaat uit de producten van een element en de elementen van een ondergroep van . De nevenklasse van ten opzichte van heet linkernevenklasse en de nevenklasse rechternevenklasse. Nevenklassen zijn equivalentieklassen, of anders gezegd, ze vormen een partitie van de groep. Het aantal elementen in een nevenklasse of is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep zelf. (nl) 군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다. (ko) Em teoria dos grupos, se é um subgrupo de um grupo e , o subconjunto de , definido por é chamado de uma coclasse (à direita) de em , ou de classe lateral (à direita) de em . Analogamente, chamamos de coclasse (à esquerda) de em , ou de classe lateral (à esquerda) de em , o subconjunto de , definido por . As terminologias vem do fato de as coclasses serem classes de equivalência das seguintes relações de equivalência: , para as coclasses à direita e , para as coclasses à esquerda. Dada uma partição de um conjunto, um sistema de representantes é um conjunto que tem exatamente um elemento em cada subconjunto da partição. Ou seja, se for um representante da coclasse , é claro que para um para certo , então , e, portanto é outro representante da mesma coclasse . Quando o conjunto das coclasses (à direita ou à esquerda) de em é finito, dizemos que é um subgrupo de índice finito em , e a cardinalidade do conjunto das coclasses é chamado índice de em , e denotado por , ou também por . A definição de índice é independente de ter sido tomado uma coclasse à direita ou à esquerda, pois a aplicação dada por estabelece uma bijeção bem definida entre os dois conjuntos, o que não faz, por não ser bem definida (e, portanto não é função!), pois a imagem depende do representante da coclasse. As coclasses são ferramentas básicas para o estudo de grupos; por exemplo, elas cumprem um papel fundamental no teorema de Lagrange. (pt) Warstwa – podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupę. Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupy; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. i ). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną. Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. ). (pl) En sidoklass, biklass eller bimängd är inom gruppteori en mängd element som utmärks av att de kan skrivas som en produkt mellan ett element och en delgrupp. Eftersom de flesta grupper inte är abelska, så gäller att ordningen i vilken man multiplicerar spelar roll, och varje delgrupp har därmed i allmänhet två olika sidoklasser, kallade vänster- respektive högersidoklass. (sv) В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи. (uk) 数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则 gH = {gh : h为H中元素 }为H在G中的左陪集，而Hg = {hg : h为H中元素 }为H在G中的右陪集。 仅当H为正规子群时，左右陪集相同，这也是子群正规性的一个定义。 陪集指某个G中子群的左或右陪集。因为Hg = g ( g−1Hg )，（H的）右陪集Hg和（共轭子群 g−1Hg 的）左陪集g ( g−1Hg )是相等的。因此不规定所使用的子群而讨论一个陪集是左陪集或右陪集是没有意义的。 对于交换群或者记为加法形式的群，陪集可以分别用g+H和H+g表示。 (zh) |
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(ko) En sidoklass, biklass eller bimängd är inom gruppteori en mängd element som utmärks av att de kan skrivas som en produkt mellan ett element och en delgrupp. Eftersom de flesta grupper inte är abelska, så gäller att ordningen i vilken man multiplicerar spelar roll, och varje delgrupp har därmed i allmänhet två olika sidoklasser, kallade vänster- respektive högersidoklass. (sv) В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи. (uk) 数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则 gH = {gh : h为H中元素 }为H在G中的左陪集，而Hg = {hg : h为H中元素 }为H在G中的右陪集。 仅当H为正规子群时，左右陪集相同，这也是子群正规性的一个定义。 陪集指某个G中子群的左或右陪集。因为Hg = g ( g−1Hg )，（H的）右陪集Hg和（共轭子群 g−1Hg 的）左陪集g ( g−1Hg )是相等的。因此不规定所使用的子群而讨论一个陪集是左陪集或右陪集是没有意义的。 对于交换群或者记为加法形式的群，陪集可以分别用g+H和H+g表示。 (zh) في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الزمر، لأي زمرة جزئية من الزمرة وأي عنصر من ، تتحدد بكونها المجموعة ويُقال عنها مجموعة مشاركة يسرى لـ ووتتحدد بكونها المجموعة ويُقال عنها مجموعة مشاركة يمنى لـ . لأي زمرة جزئية ، نستطيع تحديد علاقة التكافؤ من خلال إذا كان لأي في . وتكون صنف التكافؤ لعلاقة التكافؤ تلك هي بالضبط المجموعات المشاركة اليسرى لـ ، والعنصر من يكون في صف التكافؤ . وبالتالي تشكل المجموعات المشاركة اليسرى لـ تجزئة من . (ar) En matemàtiques, si G és un grup, H és un subgrup de G, i g és un element de G, llavors gH = {gh : h un elements de H } és una classe lateral per l'esquerra de H en G, iHg = {hg : h un elements de H } és una classe lateral per la dreta de H en G. Només quan H és normal coincideixen les classes laterals per la dreta i per l'esquerra, de fet, aquesta és una definició de subgrup normal. Si l'operació de grup s'escriu additivament, la notació emprada canvia a g+H i H+g respectivament. (ca) In mathematics, specifically group theory, a subgroup H of a group G may be used to decompose the underlying set of G into disjoint, equal-size subsets called cosets. There are left cosets and right cosets. Cosets (both left and right) have the same number of elements (cardinality) as does H. Furthermore, H itself is both a left coset and a right coset. The number of left cosets of H in G is equal to the number of right cosets of H in G. This common value is called the index of H in G and is usually denoted by [G : H]. (en) En matemáticas, sea G un grupo, H un subgrupo de G y g es un elemento cualquiera de G, entonces: gH = {gh : h un elemento de H } es una clase lateral izquierda de H en G yHg = {hg : h un elemento de H } es una clase lateral derecha de H en G. Solo en el caso de que H sea un subgrupo normal coincidirán las clases laterales derecha e izquierda de H, lo cual constituye precisamente una de las definiciones de la condición de normalidad de un subgrupo. (es) Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup H dari grup G dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari G menjadi sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya H. Lebih lanjut, H itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri H di G sama dengan jumlah koset kanan dari H di G. Nilai yang sama disebut dari H dalam bahasa G dan biasanya dilambangkan dengan [G : H]. (in) En théorie des groupes, les classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H sont les parties de G de la forme gH avec g élément de G, où gH désigne l'ensemble des éléments gh quand h parcourt H. Elles constituent les classes d'une relation d'équivalence sur G, donc forment une partition de G. On peut les voir aussi comme les orbites de l'action à droite de H sur G, par translations par les symétriques des éléments de H. L'ensemble des classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté G/H. Il est naturellement muni d'une action à gauche de G, qui est transitive. (fr) Warstwa – podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupę. (pl) Em teoria dos grupos, se é um subgrupo de um grupo e , o subconjunto de , definido por é chamado de uma coclasse (à direita) de em , ou de classe lateral (à direita) de em . Analogamente, chamamos de coclasse (à esquerda) de em , ou de classe lateral (à esquerda) de em , o subconjunto de , definido por . As terminologias vem do fato de as coclasses serem classes de equivalência das seguintes relações de equivalência: , para as coclasses à direita e , para as coclasses à esquerda. (pt) |
| rdfs:label | Coset (en) مجموعة مشاركة (ar) Classe lateral (ca) Clase lateral (es) Kohimpunan (in) Classe laterale (it) Classe suivant un sous-groupe (fr) 잉여류 (ko) 剰余類 (ja) Nevenklasse (nl) Warstwa (teoria grup) (pl) Coclasse (pt) Класс смежности (ru) Sidoklass (sv) Клас суміжності групи (uk) 陪集 (zh) |
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