Cup product (original) (raw)
Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht. Für topologische Räume und natürliche Zahlen definiert das Cup-Produkt ein Produkt mit den Eigenschaften (graduierte Kommutativität) für alle stetigen Abbildungen (Natürlichkeit) (Distributivität) (Assoziativität).
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| dbo:abstract | Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht. Für topologische Räume und natürliche Zahlen definiert das Cup-Produkt ein Produkt mit den Eigenschaften (graduierte Kommutativität) für alle stetigen Abbildungen (Natürlichkeit) (Distributivität) (Assoziativität). (de) In mathematics, specifically in algebraic topology, the cup product is a method of adjoining two cocycles of degree p and q to form a composite cocycle of degree p + q. This defines an associative (and distributive) graded commutative product operation in cohomology, turning the cohomology of a space X into a graded ring, H∗(X), called the cohomology ring. The cup product was introduced in work of J. W. Alexander, Eduard Čech and Hassler Whitney from 1935–1938, and, in full generality, by Samuel Eilenberg in 1944. (en) En topologie algébrique (une branche des mathématiques), le cup-produit est une opération binaire définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles. Cette opération est graduée, associative et distributive, ce qui permet de définir l' (en). Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructionsanalogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du (en). Il n'existe pas de cup-produit en homologie, mais on peut définir un cap-produit ou invoquer la dualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient. (fr) 数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積（英: cup product）は次数 p, q の2つのから次数 p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H∗(X) となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年に、、の研究によって導入され、1944年に Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。 (ja) 대수적 위상수학에서 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. (ko) -добуток (кап-добуток, cup product, добуток Колмогорова — Александера) — в алгебраїчній топології операція, що двом групам сингулярних когомологій порядків p і q ставить у відповідність групу порядку p + q. З цим добутком когомології на просторі X утворюють градуйоване кільце, що позначається H∗(X). (uk) |
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| rdfs:comment | Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht. Für topologische Räume und natürliche Zahlen definiert das Cup-Produkt ein Produkt mit den Eigenschaften (graduierte Kommutativität) für alle stetigen Abbildungen (Natürlichkeit) (Distributivität) (Assoziativität). (de) In mathematics, specifically in algebraic topology, the cup product is a method of adjoining two cocycles of degree p and q to form a composite cocycle of degree p + q. This defines an associative (and distributive) graded commutative product operation in cohomology, turning the cohomology of a space X into a graded ring, H∗(X), called the cohomology ring. The cup product was introduced in work of J. W. Alexander, Eduard Čech and Hassler Whitney from 1935–1938, and, in full generality, by Samuel Eilenberg in 1944. (en) En topologie algébrique (une branche des mathématiques), le cup-produit est une opération binaire définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles. Cette opération est graduée, associative et distributive, ce qui permet de définir l' (en). Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructionsanalogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du (en). Il n'existe pas de cup-produit en homologie, mais on peut définir un cap-produit ou invoquer la dualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient. (fr) 数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積（英: cup product）は次数 p, q の2つのから次数 p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H∗(X) となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年に、、の研究によって導入され、1944年に Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。 (ja) 대수적 위상수학에서 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. (ko) -добуток (кап-добуток, cup product, добуток Колмогорова — Александера) — в алгебраїчній топології операція, що двом групам сингулярних когомологій порядків p і q ставить у відповідність групу порядку p + q. З цим добутком когомології на просторі X утворюють градуйоване кільце, що позначається H∗(X). (uk) |
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