Derivation (differential algebra) (original) (raw)
In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie eine bestimmte Funktionalgleichung erfüllen. Diese Gleichung wird als Leibniz-Regel bezeichnet und erinnert an die Produktregel aus der Differentialrechnung. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der Ableitung in den Kontext der Algebra. Eine Algebra über einem kommutativen Ring zusammen mit einer Derivation wird auch Differentialalgebra genannt.
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| dbo:abstract | In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie eine bestimmte Funktionalgleichung erfüllen. Diese Gleichung wird als Leibniz-Regel bezeichnet und erinnert an die Produktregel aus der Differentialrechnung. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der Ableitung in den Kontext der Algebra. Eine Algebra über einem kommutativen Ring zusammen mit einer Derivation wird auch Differentialalgebra genannt. (de) In mathematics, a derivation is a function on an algebra which generalizes certain features of the derivative operator. Specifically, given an algebra A over a ring or a field K, a K-derivation is a K-linear map D : A → A that satisfies Leibniz's law: More generally, if M is an A-bimodule, a K-linear map D : A → M that satisfies the Leibniz law is also called a derivation. The collection of all K-derivations of A to itself is denoted by DerK(A). The collection of K-derivations of A into an A-module M is denoted by DerK(A, M). Derivations occur in many different contexts in diverse areas of mathematics. The partial derivative with respect to a variable is an R-derivation on the algebra of real-valued differentiable functions on Rn. The Lie derivative with respect to a vector field is an R-derivation on the algebra of differentiable functions on a differentiable manifold; more generally it is a derivation on the tensor algebra of a manifold. It follows that the adjoint representation of a Lie algebra is a derivation on that algebra. The Pincherle derivative is an example of a derivation in abstract algebra. If the algebra A is noncommutative, then the commutator with respect to an element of the algebra A defines a linear endomorphism of A to itself, which is a derivation over K. That is, where is the commutator with respect to . An algebra A equipped with a distinguished derivation d forms a differential algebra, and is itself a significant object of study in areas such as differential Galois theory. (en) Dada un álgebra, una derivación es una aplicación lineal D del álgebra en sí misma que para cualesquiera satisface la regla de Leibniz: (es) En algèbre, le terme dérivation est employé dans divers contextes pour désigner une application vérifiant l'identité de Leibniz. Selon le contexte, il peut s'agir, entre autres, d'une application additive définie sur un anneau A à valeurs dans un -module, ou bien d'un endomorphisme d'une algèbre unitaire sur un anneau unitaire. Cette notion est en particulier vérifiée par l'opérateur de dérivation d'une fonction (de variable réelle, par exemple); elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz : * Portail de l’algèbre (fr) ( 이 문서는 어떤 이항 연산에 대하여 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 구성된 리 대수에 관한 것입니다. 사슬 복합체 구조를 갖는 리 초대수에 대해서는 미분 등급 리 대수 문서를 참고하십시오.) 리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2:383, Chapter 16:190, §25 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다. (ko) Inom algebran, är en derivation en typ av avbildning som abstraherar deriveringsavbilningen i analysen. (sv) Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами. Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй, соответственно. (ru) 导子（英語：derivation）在抽象代数中是指代数上的一个函数，推广了导数算子的某些特征。明确地，给定一个环或域 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足莱布尼兹法则： 更一般地，从 A 映到 A-模 M 的一个 k-线性映射 D，满足莱布尼兹法则也称为一个导子。A 所有到自身的 k-导子集合记为 Derk(A)。从 A 到 A-模 M 的所有 k-导子集合记为 Derk(A,M)。 导子在不同的数学领域以许多不同的面貌出现。关于一个变量的偏导数是 Rn 上实值可微函数组成的代数上的一个 R-导子。关于一个向量场的李导数是可微流形上可微函数代数上的 R-导子；更一般地，它是流形上张量代数的导子。是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数 A ，则关于 A 中一个元素的交换子定义了 A 到自身的线性映射，这是 A 的一个 k-导子。一个代数 A 装备一个特定的导子 d 组成了一个微分代数，这自身便是一些研究领域的一个重要对象，比如微分伽罗瓦理论。 (zh) В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами. (uk) |
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