Discontinuous linear map (original) (raw)
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation). If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous. It turns out that for maps defined on infinite-dimensional topological vector spaces (e.g., infinite-dimensional normed spaces), the answer is generally no: there exist discontinuous linear maps. If the domain of definition is complete, it is trickier; such maps can be proven to exist, but the proof relies on the axiom of choice and does not provide an explicit example.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation). If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous. It turns out that for maps defined on infinite-dimensional topological vector spaces (e.g., infinite-dimensional normed spaces), the answer is generally no: there exist discontinuous linear maps. If the domain of definition is complete, it is trickier; such maps can be proven to exist, but the proof relies on the axiom of choice and does not provide an explicit example. (en) 数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function）が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。 (ja) Operator liniowy nieciągły – operator liniowy (przekształcenie liniowe), który nie jest ciągły. Odwzorowania tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż operatory liniowe stanowią klasę funkcji w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta), to mimo wszystko należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej. * Jeśli są skończeniewymiarowymi przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym ciałem), to każdy operator liniowy jest ciągły. Dowód:Każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana (ogólniej, przestrzeń liniowo-topologiczna) nad lub jest liniowo homeomorficzna odpowiednio z lub gdzie to wymiar przestrzeni Dowód wystarczy zatem przeprowadzić dla przypadku, gdy lub – w obydwu wypadkach jest on identyczny.Niech będzie bazą przestrzeni złożoną z wektorów jednostkowych. Z algebry liniowej wiadomo, że jeżeli to wartość można przedstawić w postaciNierówność trójkąta dla normy pociąga, iżNiech Z faktudla pewnego wynika, że wszystkie normy określone w przestrzeni skończeniewymiarowej są równoważne. Ostatecznie:Powyższe oszacowanie pokazuje, że jest operatorem ograniczonym, a zatem jest ciągły. * Jeżeli jest przestrzenią nieskończeniewymiarową, to powyższy dowód załamie się, gdyż nie ma gwarancji istnienia supremum Jeżeli jest przestrzenią zerową to jedynym przekształceniem między a jest przekształcenie zerowe, które jest ciągłe w trywialny sposób. We wszystkich innych przypadkach, gdy jest nieskończeniewymiarowa, a nie jest zerowa, można znaleźć przekształcenie nieciągłe z w (pl) |
| dbo:wikiPageID | 3531066 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15499 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119699098 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Axiom_of_choice dbr:Robert_M._Solovay dbr:Dependent_choice dbr:Derivative dbr:Uniform_norm dbr:Nowhere_continuous_function dbr:Complete_space dbr:Continuous_map dbr:Mathematics dbr:Norm_(mathematics) dbr:Closed_graph_theorem dbr:Closed_operator dbr:Function_(mathematics) dbr:Linear_approximation dbr:Lp_space dbr:Smooth_function dbr:Stone–Weierstrass_theorem dbr:Commensurability_(mathematics) dbr:Densely_defined_operator dbr:Measurable_function dbr:Banach_space dbr:Topological_vector_space dbr:Triangle_inequality dbr:Lebesgue_measure dbr:Linear_map dbr:Additive_map dbc:Functions_and_mappings dbr:Dual_space dbr:F-space dbr:Finite-dimensional dbr:Normed_space dbr:Linear_functional dbr:Group_(mathematics) dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Hamel_basis dbr:Quasinorm dbc:Functional_analysis dbr:Supremum dbr:ZFC dbr:Axiom_of_choice dbr:Constructivism_(mathematics) dbr:Rationals dbr:Real_number dbr:Sequence dbr:Set_theory dbr:Linearly_independent dbr:Polynomial_function dbr:Topological_space dbr:Vitali_set dbr:Linear_space dbr:Basis_(vector_space) dbr:Minkowski_gauge dbr:Baire_property dbr:Model_(model_theory) dbr:Bounded_linear_operator dbr:Dimension_(linear_algebra) dbr:Ceitin's_theorem dbr:Garnir–Wright_closed_graph_theorem |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Reflist dbt:Isbn dbt:Functional_analysis dbt:Topological_vector_spaces |
| dcterms:subject | dbc:Axiom_of_choice dbc:Functions_and_mappings dbc:Functional_analysis |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInFunctionalAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Relation100031921 yago:WikicatFunctionsAndMappings yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation). If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous. It turns out that for maps defined on infinite-dimensional topological vector spaces (e.g., infinite-dimensional normed spaces), the answer is generally no: there exist discontinuous linear maps. If the domain of definition is complete, it is trickier; such maps can be proven to exist, but the proof relies on the axiom of choice and does not provide an explicit example. (en) 数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function）が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。 (ja) Operator liniowy nieciągły – operator liniowy (przekształcenie liniowe), który nie jest ciągły. Odwzorowania tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż operatory liniowe stanowią klasę funkcji w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta), to mimo wszystko należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej. (pl) |
| rdfs:label | Discontinuous linear map (en) 不連続線型写像 (ja) Operator liniowy nieciągły (pl) |
| owl:sameAs | freebase:Discontinuous linear map yago-res:Discontinuous linear map wikidata:Discontinuous linear map dbpedia-ja:Discontinuous linear map dbpedia-pl:Discontinuous linear map https://global.dbpedia.org/id/44Uvo |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Discontinuous_linear_map?oldid=1119699098&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Discontinuous_linear_map |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Non-continuous_linear_functional dbr:General_existence_theorem_of_discontinuous_maps dbr:Linear_discontinuous_map dbr:Linear_operator_which_is_not_continuous dbr:Discontinuous_linear_function dbr:Discontinuous_linear_functional dbr:Discontinuous_linear_operator dbr:A_linear_functional_which_is_not_continuous dbr:A_linear_map_which_is_not_continuous |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Non-continuous_linear_functional dbr:Unbounded_operator dbr:List_of_mathematical_examples dbr:General_existence_theorem_of_discontinuous_maps dbr:Computable_analysis dbr:Linear_function dbr:Dual_space dbr:Axiom_of_choice dbr:Linear_discontinuous_map dbr:Linear_operator_which_is_not_continuous dbr:Discontinuous_linear_function dbr:Discontinuous_linear_functional dbr:Discontinuous_linear_operator dbr:A_linear_functional_which_is_not_continuous dbr:A_linear_map_which_is_not_continuous |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Discontinuous_linear_map |