Elliptic function (original) (raw)
En anàlisi complexa, una funció el·líptica és, parlant toscament, una funció definida sobre el i en ambdues direccions. Les funcions el·líptiques poden ser vistes com les anàlogues a les funcions trigonomètriques (les quals únicament tenen la periodicitat en una dimensió). Històricament, les funcions el·líptiques van ser descobertes com les funcions inverses de les ; aquestes van ser estudiades en relació amb el problema de la longitud d'arc en una el·lipse, d'on el nom es deriva.
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| dbo:abstract | En anàlisi complexa, una funció el·líptica és, parlant toscament, una funció definida sobre el i en ambdues direccions. Les funcions el·líptiques poden ser vistes com les anàlogues a les funcions trigonomètriques (les quals únicament tenen la periodicitat en una dimensió). Històricament, les funcions el·líptiques van ser descobertes com les funcions inverses de les ; aquestes van ser estudiades en relació amb el problema de la longitud d'arc en una el·lipse, d'on el nom es deriva. (ca) في التحليل العقدي, دالة إهليلجية (بالإنجليزية: Elliptic function) هي دالة جزئية الشكل ودورية في اتجاهين. تماما كما تُعرف دالة دورية ذات متغير حقيقي في مجال ما، فإن دالة إهليلجية تُعرف في ، والذي يتكرر في مشبك. تاريخياً، اكتشف نيلز هنريك أبيل تلك الدوال كدوال عكسية للتكاملات الإهليلجية، وتم تحسين نظريتها من قبل كارل غوستاف جاكوبي. (ar) Eliptické funkce jsou v matematické oblasti komplexní analýzy speciálním druhem meromorfních funkcí, které splňují dvě podmínky periodicity. Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám. (cs) Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen spezielle meromorphe Funktionen, die zwei Periodizitätsbedingungen erfüllen. Elliptische Funktionen heißen sie, weil sie ursprünglich von elliptischen Integralen abstammen. Diese wiederum treten bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auf. Wichtige elliptische Funktionen sind die Jacobischen elliptischen Funktionen und die Weierstraßsche ℘-Funktion. Weitere Entwicklungen haben zu den modularen Funktionen und den geführt. (de) In the mathematical field of complex analysis, elliptic functions are a special kind of meromorphic functions, that satisfy two periodicity conditions. They are named elliptic functions because they come from elliptic integrals. Originally those integrals occurred at the calculation of the arc length of an ellipse. Important elliptic functions are Jacobi elliptic functions and the Weierstrass -function. Further development of this theory led to hyperelliptic functions and modular forms. (en) En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période). (fr) In matematica, e in particolare in analisi complessa, per funzione ellittica, si intende una funzione definita sul piano complesso che risulta periodica secondo due direzioni. Le funzioni ellittiche si possono considerare come una generalizzazione delle funzioni trigonometriche in quanto funzioni periodiche con un solo periodo. Storicamente le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici i quali a loro volta sono stati studiati in connessione con il problema della lunghezza dell'arco dell'ellisse (da questo deriva il loro nome). (it) 복소해석학에서 타원함수(楕圓函數, 영어: elliptic function)는 복소 타원 곡선 위에 정의된 유리형 함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수인 유리형 함수다. (ko) 数学の一分野、複素解析における楕円函数（だえんかんすう、英: elliptic function）は、二方向に周期を持つ有理型のことをいう。歴史的には、楕円函数は楕円積分の逆函数として、ニールス・アーベルによって発見された（楕円積分は楕円の周長を求める問題に関連して研究されていたものである）。 (ja) In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een elliptische functie ruwweg een complexe transformatie die periodiek is in twee richtingen. Elliptische functies kunnen vergeleken worden met de goniometrische functies, die slechts één periode hebben. De elliptische functies werden ontdekt als de inverse functies van de zogenaamde elliptische integralen. (nl) Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych, jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy. Funkcja eliptyczna jest to funkcja meromorficzna określona na zbiorze liczb zespolonych dla której istnieją dwie niezerowe liczby zespolone i spełniające równanie: dla wszystkich w zbiorze oraz takie, aby stosunek nie był liczbą rzeczywistą. Wtedy: dla wszystkich w zbiorze oraz i będących liczbami naturalnymi. Rozwój teorii funkcji eliptycznych opiera się na -funkcji wprowadzonej przez Karla Weierstrassa. Każda funkcja eliptyczna może być przedstawiona za pomocą -funkcji. Definicja funkcji eliptycznych, wprowadzona przez Carla Jacobiego przy użyciu (niedwuokresowej), jest bardziej złożona, lecz również stosowana. (pl) Elliptiska funktioner är matematiska funktioner, definierade på det komplexa talplanet, som är periodiska i två riktningar. Det kan jämföras med vanliga trigonometriska funktioner som sinus och cosinus, vilka är periodiska i en riktning med perioden 2π radianer. Elliptiska funktioner är inverser till elliptiska integraler, som kommer ur problemet att beräkna båglängden på ellipser. En funktion som är dubbelperiodisk och analytisk utom i sina poler är en elliptisk funktion. Formellt sett är en dubbel-periodisk funktion en funktion som uppfyller följande ekvation: där a och b då är funktionens perioder. Teorin för de elliptiska funktionerna är till sin väsentligaste del utvecklad av Niels Henrik Abel, Karl Weierstrass och Carl Gustav Jakob Jacobi. (sv) Na análise complexa, uma função elíptica é, rigorosamente falando, uma função definida no plano complexo que é periódica em duas direções. As funções elípticas podem ser vistas como análogas às funções trigonométricas (que têm somente um período). Historicamente, funções elípticas foram descobertas como funções inversas da integral elíptica; esta por sua vez foi estudada em conexão com o problema do comprimento do arco de uma elipse, donde seu nome deriva. (pt) Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам. (ru) У комплексному аналізі еліптична функція — мероморфна періодична в двох напрямах функція, задана на комплексній площині. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги тригонометричних (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, обернені до еліптичних інтегралів. (uk) 在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。 更明確地說，固定中的格（），亞純函數是的橢圓函數，若且唯若對每個皆有（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是有理型复函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数在单位平行四边形内的留数之和为零，因此可以进一步得知椭圆函数的阶数至少为二，否则，该函数在单位胞腔内将只有一个一阶极点，在该点上的函数展开式的无限部分将不为零，导致矛盾。標準的橢圓函數有兩種，分別是只有留数之和为零的两个一阶极点的雅可比橢圓函數及只有一个留数为零的二阶极点的魏爾斯特拉斯橢圓函數。雖然雅可比橢圓函數較為古老，且與實際應用的關係更為直接，大多數現代作者在介紹基本理論時多採用魏爾斯特拉斯橢圓函數，因其函數形式更為簡單。是准周期函数的Θ函數雖非雙週期函數，但也能用來構造橢圓函數。 出于周期性，椭圆函数还具有一系列好的性质。比如，单位胞腔内椭圆函数零点的数目等同于极点的数目，而取得任何有限或无限值的次数相同。进一步地，对于两个拥有相同周期的椭圆函数，存在代数关系：如果它们具有相同的的零点和极点及其阶数，那么它们之比是非零的常数；如果它们具有相同的极点和极点的无限部分，那么它们之差为一常数。所以，任意椭圆函数都可以用魏爾斯特拉斯橢圓函數和雅可比橢圓函數来描述。 (zh) |
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Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám. (cs) Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen spezielle meromorphe Funktionen, die zwei Periodizitätsbedingungen erfüllen. Elliptische Funktionen heißen sie, weil sie ursprünglich von elliptischen Integralen abstammen. Diese wiederum treten bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auf. Wichtige elliptische Funktionen sind die Jacobischen elliptischen Funktionen und die Weierstraßsche ℘-Funktion. Weitere Entwicklungen haben zu den modularen Funktionen und den geführt. (de) In the mathematical field of complex analysis, elliptic functions are a special kind of meromorphic functions, that satisfy two periodicity conditions. They are named elliptic functions because they come from elliptic integrals. Originally those integrals occurred at the calculation of the arc length of an ellipse. Important elliptic functions are Jacobi elliptic functions and the Weierstrass -function. Further development of this theory led to hyperelliptic functions and modular forms. (en) En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période). (fr) In matematica, e in particolare in analisi complessa, per funzione ellittica, si intende una funzione definita sul piano complesso che risulta periodica secondo due direzioni. Le funzioni ellittiche si possono considerare come una generalizzazione delle funzioni trigonometriche in quanto funzioni periodiche con un solo periodo. Storicamente le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici i quali a loro volta sono stati studiati in connessione con il problema della lunghezza dell'arco dell'ellisse (da questo deriva il loro nome). (it) 복소해석학에서 타원함수(楕圓函數, 영어: elliptic function)는 복소 타원 곡선 위에 정의된 유리형 함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수인 유리형 함수다. (ko) 数学の一分野、複素解析における楕円函数（だえんかんすう、英: elliptic function）は、二方向に周期を持つ有理型のことをいう。歴史的には、楕円函数は楕円積分の逆函数として、ニールス・アーベルによって発見された（楕円積分は楕円の周長を求める問題に関連して研究されていたものである）。 (ja) In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een elliptische functie ruwweg een complexe transformatie die periodiek is in twee richtingen. Elliptische functies kunnen vergeleken worden met de goniometrische functies, die slechts één periode hebben. De elliptische functies werden ontdekt als de inverse functies van de zogenaamde elliptische integralen. (nl) Na análise complexa, uma função elíptica é, rigorosamente falando, uma função definida no plano complexo que é periódica em duas direções. As funções elípticas podem ser vistas como análogas às funções trigonométricas (que têm somente um período). Historicamente, funções elípticas foram descobertas como funções inversas da integral elíptica; esta por sua vez foi estudada em conexão com o problema do comprimento do arco de uma elipse, donde seu nome deriva. (pt) Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам. (ru) У комплексному аналізі еліптична функція — мероморфна періодична в двох напрямах функція, задана на комплексній площині. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги тригонометричних (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, обернені до еліптичних інтегралів. (uk) Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych, jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy. dla wszystkich w zbiorze (pl) Elliptiska funktioner är matematiska funktioner, definierade på det komplexa talplanet, som är periodiska i två riktningar. Det kan jämföras med vanliga trigonometriska funktioner som sinus och cosinus, vilka är periodiska i en riktning med perioden 2π radianer. Elliptiska funktioner är inverser till elliptiska integraler, som kommer ur problemet att beräkna båglängden på ellipser. En funktion som är dubbelperiodisk och analytisk utom i sina poler är en elliptisk funktion. Formellt sett är en dubbel-periodisk funktion en funktion som uppfyller följande ekvation: (sv) 在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。 更明確地說，固定中的格（），亞純函數是的橢圓函數，若且唯若對每個皆有（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是有理型复函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数在单位平行四边形内的留数之和为零，因此可以进一步得知椭圆函数的阶数至少为二，否则，该函数在单位胞腔内将只有一个一阶极点，在该点上的函数展开式的无限部分将不为零，导致矛盾。標準的橢圓函數有兩種，分別是只有留数之和为零的两个一阶极点的雅可比橢圓函數及只有一个留数为零的二阶极点的魏爾斯特拉斯橢圓函數。雖然雅可比橢圓函數較為古老，且與實際應用的關係更為直接，大多數現代作者在介紹基本理論時多採用魏爾斯特拉斯橢圓函數，因其函數形式更為簡單。是准周期函数的Θ函數雖非雙週期函數，但也能用來構造橢圓函數。 (zh) |
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