Eulerian path (original) (raw)
V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě jednou. Zavedl jej Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém sedmi mostů města Královce. Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazýváme tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“.
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| dbo:abstract | Un camí o cicle eulerià és aquell camí que recorre tots els vèrtexs (nodes) d'un graf passant una i només una vegada per cada arc (aresta) del graf, i és condició necessària que torni al vèrtex inicial de sortida (camí = camí en un graf on coincideixen vèrtex inicial o de sortida i vèrtex final o meta). Una definició més formal el defineix com: " aquell camí que conté totes les arestes d'un graf només una vegada ". En relació amb els camins eulerians va publicar la primera caracterització completa dels grafs eulerians el 1873, provant matemàticament que de fet els grafs eulerians són exactament aquells grafs que estan connectats amb tots i on cada un els vèrtexs tenen grau parell. (ca) V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě jednou. Zavedl jej Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém sedmi mostů města Královce. Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazýváme tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“. (cs) Ein Eulerkreis (auch geschlossener Eulerzug, Eulertour) ist in der Graphentheorie ein Zyklus, der alle Kanten eines Graphen genau einmal enthält. Ein offener Eulerzug (auch Eulerpfad oder Eulerweg) ist gegeben, wenn Start- und Endknoten nicht gleich sein müssen, wenn also statt eines Zyklus lediglich eine Kantenfolge verlangt wird, welche jede Kante des Graphen genau einmal enthält. Ein bekanntes Beispiel ist das „“. Ein zusammenhängender Graph, der einen Eulerkreis besitzt, heißt eulerscher Graph. Enthält ein Graph lediglich einen Eulerweg und keinen Eulerkreis, so heißt er semi-eulerscher Graph. Die Aufgabe, zu einem gegebenen Graph zu bestimmen, ob dieser eulersch ist oder nicht, wird als Eulerkreisproblem bezeichnet. Es geht auf das 1736 von Leonhard Euler gelöste Königsberger Brückenproblem zurück. Das Problem existiert auch für gerichtete Graphen und Graphen mit Mehrfachkanten. Entgegen seinem Namen ist der Eulerkreis kein Kreis, zumindest wenn der häufigen Definition gefolgt wird, nach der sich in einem Kreis kein Knoten wiederholen darf. (de) In graph theory, an Eulerian trail (or Eulerian path) is a trail in a finite graph that visits every edge exactly once (allowing for revisiting vertices). Similarly, an Eulerian circuit or Eulerian cycle is an Eulerian trail that starts and ends on the same vertex. They were first discussed by Leonhard Euler while solving the famous Seven Bridges of Königsberg problem in 1736. The problem can be stated mathematically like this: Given the graph in the image, is it possible to construct a path (or a cycle; i.e., a path starting and ending on the same vertex) that visits each edge exactly once? Euler proved that a necessary condition for the existence of Eulerian circuits is that all vertices in the graph have an even degree, and stated without proof that connected graphs with all vertices of even degree have an Eulerian circuit. The first complete proof of this latter claim was published posthumously in 1873 by Carl Hierholzer. This is known as Euler's Theorem: A connected graph has an Euler cycle if and only if every vertex has even degree. The term Eulerian graph has two common meanings in graph theory. One meaning is a graph with an Eulerian circuit, and the other is a graph with every vertex of even degree. These definitions coincide for connected graphs. For the existence of Eulerian trails it is necessary that zero or two vertices have an odd degree; this means the Königsberg graph is not Eulerian. If there are no vertices of odd degree, all Eulerian trails are circuits. If there are exactly two vertices of odd degree, all Eulerian trails start at one of them and end at the other. A graph that has an Eulerian trail but not an Eulerian circuit is called semi-Eulerian. (en) 그래프 이론에서 한붓그리기 또는 오일러 트레일(영어: Eulerian trail)은 그래프의 모든 변을 단 한 번씩만 통과하는 트레일이다. (ko) Łańcuch Eulera (droga Eulera, ścieżka Eulera, szlak Eulera) to taka ścieżka w grafie, która przechodzi przez każdą jego krawędź dokładnie raz. Jeżeli w danym grafie możliwe jest utworzenie takiej drogi, to jest on nazywany grafem półeulerowskim. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, który jako pierwszy, zajmował się problematyką związaną z drogami w grafach. Aby spójny graf nieskierowany był półeulerowski może posiadać maksymalnie 2 wierzchołki nieparzystego stopnia. Analogicznie, aby spójny graf skierowany był półeulerowski może posiadać maksymalnie 2 wierzchołki, w których liczba krawędzi wchodzących i wychodzących różni się o 1. (pl) オイラー路（オイラーろ、英: Eulerian trail）とは、グラフの全ての辺を通る路のこと。また全ての辺をちょうど1度だけ通る閉路は、オイラー閉路（オイラーへいろ、英: Euler circuit）という。これらの名称は1736年にこれらを含むグラフの特徴づけを与えたレオンハルト・オイラーにちなむ。 グラフの辺をすべて通るようなオイラー閉路を持つグラフのことをオイラーグラフ（英: Eulerian graph）という。またグラフの辺をすべて通るような、閉路でないオイラー路を持つグラフのことを準オイラーグラフという。 (ja) In teoria dei grafi la nozione di cammino euleriano si può definire per varie strutture relazionali. Un cammino euleriano sopra un multigrafo è un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola. Questa definizione si applica anche ai grafi non orientati, strutture che possono considerarsi casi particolari dei multigrafi. Similmente per cammino euleriano sopra un multidigrafo si intende un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola. Questa definizione si applica anche ai digrafi, strutture che possono considerarsi casi particolari dei multidigrafi. Queste definizioni si estendono poi a tutti i generi di arricchimenti dei multigrafi (ad esempio alle reti di trasporto) e dei multidigrafi (ad esempio ai vari generi di automi e di ). L'ambito naturale per studiare queste nozioni rimane però quello dei multigrafi e dei multidigrafi. Più precisamente si trascurano anche le possibilità di avere dei cappi. Non tutti i multigrafi e non tutti i multidigrafi posseggono cammini euleriani. Si distinguono quindi i multigrafi euleriani e i multidigrafi euleriani, strutture dotate di cammini euleriani. Si osserva anche che la presenza di cappi non influisce sulla possibilità di individuare cammini euleriani; lo stesso accade per gli arricchimenti di multigrafi e di multidigrafi. Si pone allora il problema di stabilire se un multigrafo o un multidigrafo privo di cappi sia euleriano o no. Questo problema è stato risolto sostanzialmente in modo completo da Eulero nel 1736 con un lavoro che ha segnato la nascita della teoria dei grafi e della topologia. Da questo lavoro pionieristico deriva a questi grafi e ai cammini che li caratterizzano la qualifica di euleriani. Si segnala che come sinonimo di cammino euleriano su un multigrafo si usa anche il termine cammino biiettivo sugli spigoli, mentre come sinonimo di cammino euleriano su un multidigrafo si usa anche il termine cammino biiettivo sugli archi. In effetti questi cammini si possono considerare funzioni iniettive e suriettive sull'insieme degli spigoli o sull'insieme degli archi. Casi particolari di cammini euleriani sono i cammini chiusi, cioè i cammini euleriani aventi vertice iniziale e vertice finale coincidenti. Questi sono detti circuiti euleriani. (it) Um Caminho Euleriano é um caminho em um grafo que visita toda aresta exatamente uma vez. Com caso especial, um Circuito Euleriano é um caminho Euleriano que começa e termina no mesmo vértice. O conceito foi introduzido por Leonard Euler para a resolução do famoso problema das sete pontes de Königsberg em 1736. Grafos que possuem um circuito Euleriano são chamados Grafos Eulerianos. Uma das principais condições para um grafo ser Euleriano é que todos os vértices precisam ser de grau par. Entretanto, essa condição não é suficiente, pois também é necessário que o grafo seja conexo. Euler provou que uma condição necessária para a existência de circuitos eulerianos é de que todos os vértices tenham grau par, e afirmou, sem prova de que grafos conexos com todos os vértices pares tem um circuito Euleriano. A primeira prova completa desta última afirmação foi publicada em 1873 por Carl Hierholzer. Há, ainda, grafos com caminhos Eulerianos se houver 2 vértices de grau ímpar. Nesse caso, ao se acrescentar uma aresta ligando estes dois vértices, o novo grafo passa a ser um circuito Euleriano. Pode-se assim enunciar um corolário do Teorema de Euler para Grafos* como sendo: Um grafo G conexo possui caminho euleriano se e somente se ele tem exatamente zero ou dois vértices de grau impar. Não confundir com caminho hamiltoniano em que o caminho deve passar uma vez em cada vértice. (pt) 一笔画问题（Eulerian graph）是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。 与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿路径问题。 能夠在不重複折返的前提下一笔画寫出或一次走完該路徑的條件，是文字、圖形、路徑的奇顶点的數目正好是0個或2個時，而如果奇顶点的數目兩個時，必須正好為起點或終點，奇顶点是指該點延展出奇數數目的方向，例如T字路口延展出三條道路方向，而線段的端點也是只有一個方向的奇顶点 (zh) У теорії графів, ланцюг Ейлера (англ. Eulerian path) — ланцюг у графі, який проходить кожне ребро рівно один раз. Схожим чином, цикл Ейлера — ланцюг Ейлера, який розпочинається та завершується в одній вершині. Вперше розглянуті Леонардом Ейлером під час розв'язання відомої задачі кенігсберзьких мостів в 1736. Математично задача звучить так: Чи можливо для графу на малюнку праворуч побудувати ланцюг (або цикл), який проходить кожне ребро рівно один раз? Ейлер довів, що необхідна умова існування циклу — парність степеня кожної вершини графу, і ствердив без доведення, що зв'язний граф з усіма вершинами з парними степенями має цикл Ейлера. Перше повне доведення цього твердження в 1873 оприлюднив Карл Гіргольцер. (uk) |
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