Functional calculus (original) (raw)
En mathématiques, un calcul fonctionnel est une théorie permettant d'étendre à des opérateurs une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes. Ces théories font désormais partie du domaine de l'analyse fonctionnelle, et sont également liées à la théorie spectrale.
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| dbo:abstract | Funktionalkalküle sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Banachalgebren. Im Rahmen der Operatortheorie ist hier insbesondere die Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren von Interesse. Zur Behandlung von unbeschränkten linearen Operatoren werden verallgemeinerte Funktionalkalküle betrachtet, bei denen zwar grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen, die aber dennoch ein effektives Werkzeug zum Rechnen mit unbeschränkten Operatoren zur Verfügung stellen. Ist ein komplexes Polynom und ein Element einer -Banachalgebra mit Einselement , so kann man in das Polynom einsetzen, indem man setzt.Die Grundidee der Funktionalkalküle besteht darin, dieses Einsetzen in Polynome auf größere Klassen von Funktionen auszudehnen.Für beliebige -Banachalgebren mit Einselement kann ein Element in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums von definiert sind, eingesetzt werden.Für noch größere Funktionsklassen, etwa stetige oder messbare Funktionen, die auf dem Spektrum von erklärt sind, muss man sich auf spezielle Klassen von Banachalgebren beschränken, und zwar auf C*-Algebren bzw. Von-Neumann-Algebren.Dazu muss natürlich erklärt werden, was dieses Einsetzen in Funktionen überhaupt bedeuten soll. (de) In mathematics, a functional calculus is a theory allowing one to apply mathematical functions to mathematical operators. It is now a branch (more accurately, several related areas) of the field of functional analysis, connected with spectral theory. (Historically, the term was also used synonymously with calculus of variations; this usage is obsolete, except for functional derivative. Sometimes it is used in relation to types of functional equations, or in logic for systems of predicate calculus.) If is a function, say a numerical function of a real number, and is an operator, there is no particular reason why the expression should make sense. If it does, then we are no longer using on its original function domain. In the tradition of operational calculus, algebraic expressions in operators are handled irrespective of their meaning. This passes nearly unnoticed if we talk about 'squaring a matrix', though, which is the case of and an matrix. The idea of a functional calculus is to create a principled approach to this kind of overloading of the notation. The most immediate case is to apply polynomial functions to a square matrix, extending what has just been discussed. In the finite-dimensional case, the polynomial functional calculus yields quite a bit of information about the operator. For example, consider the family of polynomials which annihilates an operator . This family is an ideal in the ring of polynomials. Furthermore, it is a nontrivial ideal: let be the finite dimension of the algebra of matrices, then is linearly dependent. So for some scalars , not all equal to 0. This implies that the polynomial lies in the ideal. Since the ring of polynomials is a principal ideal domain, this ideal is generated by some polynomial . Multiplying by a unit if necessary, we can choose to be monic. When this is done, the polynomial is precisely the minimal polynomial of . This polynomial gives deep information about . For instance, a scalar is an eigenvalue of if and only if is a root of . Also, sometimes can be used to calculate the exponential of efficiently. The polynomial calculus is not as informative in the infinite-dimensional case. Consider the unilateral shift with the polynomials calculus; the ideal defined above is now trivial. Thus one is interested in functional calculi more general than polynomials. The subject is closely linked to spectral theory, since for a diagonal matrix or multiplication operator, it is rather clear what the definitions should be. (en) En mathématiques, un calcul fonctionnel est une théorie permettant d'étendre à des opérateurs une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes. Ces théories font désormais partie du domaine de l'analyse fonctionnelle, et sont également liées à la théorie spectrale. (fr) 数学における汎函数計算（はんかんすうけいさん、英: functional calculus）は、作用素に函数を適用する（函数の引数に作用素をとる）方法を与える理論である。現在のところ、函数解析学（あるいはその周辺の）の分野での理論と見做されており、スペクトル論との関連が深い。 (ja) Functionele calculus (synoniemen: symbolische calculus, symbolisch rekenen met operatoren) is een verzameling technieken uit de wiskunde, vooral uit de wiskundige analyse, om gewone functies toe te passen op ingewikkeldere objecten, vooral lineaire transformaties. Als een functie gedefinieerd is in termen van (reële of complexe) getallen, dan is het niet a priori gegarandeerd dat er een zinvolle betekenis kan gegeven worden aan als iets anders is dan een getal, bijvoorbeeld een matrix of een lineaire transformatie. (nl) |
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