Gauss map (original) (raw)
In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum auf die Einheitssphäre ab. Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum auf die Einheitssphäre ab. Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827. (de) In differential geometry, the Gauss map (named after Carl F. Gauss) maps a surface in Euclidean space R3 to the unit sphere S2. Namely, given a surface X lying in R3, the Gauss map is a continuous map N: X → S2 such that N(p) is a unit vector orthogonal to X at p, namely a normal vector to X at p. The Gauss map can be defined (globally) if and only if the surface is orientable, in which case its degree is half the Euler characteristic. The Gauss map can always be defined locally (i.e. on a small piece of the surface). The Jacobian determinant of the Gauss map is equal to Gaussian curvature, and the differential of the Gauss map is called the shape operator. Gauss first wrote a draft on the topic in 1825 and published in 1827. There is also a Gauss map for a link, which computes linking number. (en) En géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de , à valeurs dans la sphère unité , et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. (fr) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, beeldt de Gauss-afbeelding (vernoemd naar Carl Friedrich Gauss) een oppervlak in de Euclidische ruimte R3 af op de eenheidssfeer S2. Namelijk, gegeven een oppervlak X dat in R3 ligt, is de Gauss-afbeelding een continue afbeelding N: X → S2 dusdanig dat N(p) een eenheidsvector loodrecht op X in p is, namelijk de normaalvector naar X op p. (nl) ガウス写像（ガウスしゃぞう、英: Gauss map）は、微分幾何学における概念であり、向き付けられた滑らかな曲面Mで各点に於ける単位法線ベクトルを滑らかに定めることができる写像のこと。ガウス写像は、ある曲面上の領域を球面上の領域に投影し、この曲面上の全ての点から単位球上の対応する点にマッピングする。与えられた点での主曲率であるガウス曲率は、ある点でのとの積と定義される。 (ja) Em geometria diferencial, a aplicação de Gauss (também grafado aplicação de Gauß), mapa de Gauss, mapa gaussiano ou aplicação gaussiana (nomeado devido a Carl Friedrich Gauss) relaciona uma superfície no espaço euclidiano para a esfera unitária . Dada uma superfície em , a aplicação de Gauss é uma aplicação contínua tal que é um vetor ortogonal a X em p. A aplicação de Gauss pode ser definida globalmente se e somente se a superfície é orientável, no caso em que seu grau é metade da respectiva característica de Euler. A aplicação de Gauss pode ser sempre definida localmente. O determinante Jacobiano da aplicação de Gauss é igual à curvatura de Gauss. Gauss foi o primeiro a escrever algo sobre o tópico em 1825, publicando-o em 1827. (pt) Отображение Гаусса (гауссово отображение, сферическое отображение) — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве в единичную сферу, при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке. Названо в честь Карла Фридриха Гаусса. (ru) 在微分幾何裡，高斯映射是從歐氏空間R3中的一個曲面到單位球面S2的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里希·高斯命名。 給出R3中的曲面X，高斯映射是一個連續映射N: X → S2，使得N(p)是在點p上正交於X的單位向量，就是曲面X在點p處的法向量。 高斯映射可以在曲面的整體上定義，當且僅當曲面是可定向的，此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率，而高斯映射的微分稱為。 高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，並在1827年發表。 (zh) Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності. Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена. Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними, відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p. Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Gauss_map.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.emis.de/monographs/CGM/index.html%7Caccessdate=4 http://www.math.brown.edu/~dan/cgm/index.html |
| dbo:wikiPageID | 378881 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 5502 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1100363570 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Catastrophe_theory dbc:Surfaces dbr:Cusp_(singularity) dbr:Degree_of_a_continuous_mapping dbc:Carl_Friedrich_Gauss dbc:Differential_geometry dbr:Tangent_bundle dbr:Gaussian_curvature dbr:Gauss–Bonnet_theorem dbr:Grassmannian dbr:Submanifold dbr:Parabolic_line dbr:Surface_(topology) dbr:Surface_integral dbr:Unit_sphere dbr:Topology dbr:Link_(knot_theory) dbr:Linking_number dbr:Euclidean_space dbc:Differential_geometry_of_surfaces dbr:Grassmann_bundle dbr:Ridge_(differential_geometry) dbr:Riemannian_manifold dbr:Asymptotic_curve dbr:Jacobian_matrix_and_determinant dbr:Terence_Gaffney dbr:Hypersurface dbc:Riemannian_geometry dbr:Differential_geometry dbr:Euler_characteristic dbr:Thomas_Banchoff dbr:Orientable dbr:Differential_(calculus) dbr:Shape_operator dbr:Clint_McCrory dbr:File:Cusp_of_the_Gauss_map.png dbr:File:Gauss_map.svg |
| dbp:title | Gauss Map (en) |
| dbp:urlname | GaussMap (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Cite_book dbt:MathWorld dbt:No_footnotes dbt:Unreferenced_section dbt:Carl_Friedrich_Gauss |
| dcterms:subject | dbc:Surfaces dbc:Carl_Friedrich_Gauss dbc:Differential_geometry dbc:Differential_geometry_of_surfaces dbc:Riemannian_geometry |
| rdf:type | yago:Artifact100021939 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Surface104362025 yago:Whole100003553 yago:WikicatSurfaces |
| rdfs:comment | In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum auf die Einheitssphäre ab. Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827. (de) En géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de , à valeurs dans la sphère unité , et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. (fr) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, beeldt de Gauss-afbeelding (vernoemd naar Carl Friedrich Gauss) een oppervlak in de Euclidische ruimte R3 af op de eenheidssfeer S2. Namelijk, gegeven een oppervlak X dat in R3 ligt, is de Gauss-afbeelding een continue afbeelding N: X → S2 dusdanig dat N(p) een eenheidsvector loodrecht op X in p is, namelijk de normaalvector naar X op p. (nl) ガウス写像（ガウスしゃぞう、英: Gauss map）は、微分幾何学における概念であり、向き付けられた滑らかな曲面Mで各点に於ける単位法線ベクトルを滑らかに定めることができる写像のこと。ガウス写像は、ある曲面上の領域を球面上の領域に投影し、この曲面上の全ての点から単位球上の対応する点にマッピングする。与えられた点での主曲率であるガウス曲率は、ある点でのとの積と定義される。 (ja) Отображение Гаусса (гауссово отображение, сферическое отображение) — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве в единичную сферу, при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке. Названо в честь Карла Фридриха Гаусса. (ru) 在微分幾何裡，高斯映射是從歐氏空間R3中的一個曲面到單位球面S2的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里希·高斯命名。 給出R3中的曲面X，高斯映射是一個連續映射N: X → S2，使得N(p)是在點p上正交於X的單位向量，就是曲面X在點p處的法向量。 高斯映射可以在曲面的整體上定義，當且僅當曲面是可定向的，此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率，而高斯映射的微分稱為。 高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，並在1827年發表。 (zh) In differential geometry, the Gauss map (named after Carl F. Gauss) maps a surface in Euclidean space R3 to the unit sphere S2. Namely, given a surface X lying in R3, the Gauss map is a continuous map N: X → S2 such that N(p) is a unit vector orthogonal to X at p, namely a normal vector to X at p. Gauss first wrote a draft on the topic in 1825 and published in 1827. There is also a Gauss map for a link, which computes linking number. (en) Em geometria diferencial, a aplicação de Gauss (também grafado aplicação de Gauß), mapa de Gauss, mapa gaussiano ou aplicação gaussiana (nomeado devido a Carl Friedrich Gauss) relaciona uma superfície no espaço euclidiano para a esfera unitária . Dada uma superfície em , a aplicação de Gauss é uma aplicação contínua tal que é um vetor ortogonal a X em p. Gauss foi o primeiro a escrever algo sobre o tópico em 1825, publicando-o em 1827. (pt) Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності. Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці. (uk) |
| rdfs:label | Gauß-Abbildung (de) Gauss map (en) Application de Gauss (fr) ガウス写像 (ja) Gauss-afbeelding (nl) Aplicação de Gauss (pt) Отображение Гаусса (ru) Відображення Гауса (uk) 高斯映射 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Gauss map yago-res:Gauss map wikidata:Gauss map dbpedia-de:Gauss map dbpedia-fr:Gauss map dbpedia-he:Gauss map dbpedia-ja:Gauss map dbpedia-nl:Gauss map dbpedia-pt:Gauss map dbpedia-ru:Gauss map dbpedia-uk:Gauss map dbpedia-zh:Gauss map https://global.dbpedia.org/id/4ma2n |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Gauss_map?oldid=1100363570&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Cusp_of_the_Gauss_map.png wiki-commons:Special:FilePath/Gauss_map.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Gauss_map |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Gauss_map_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Gauss_Map |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Peano_surface dbr:Chern–Gauss–Bonnet_theorem dbr:Gauss–Kuzmin–Wirsing_operator dbr:Geometric_phase dbr:Gauss_Map dbr:Gaussian_curvature dbr:Gerhard_Huisken dbr:Grassmannian dbr:Constant-mean-curvature_surface dbr:Lagrangian_Grassmannian dbr:Louis_Nirenberg dbr:Shiu-Yuen_Cheng dbr:Parabolic_line dbr:Mean_curvature_flow dbr:Trope_(mathematics) dbr:Minimal_surface dbr:Minkowski_problem dbr:Nirenberg's_conjecture dbr:Curvature dbr:Dual_curve dbr:Foundations_of_Differential_Geometry dbr:List_of_German_inventions_and_discoveries dbr:Sphere_eversion dbr:Gauss_map_(disambiguation) dbr:List_of_things_named_after_Carl_Friedrich_Gauss dbr:Regular_homotopy dbr:Blaschke_sum dbr:Homotopy_principle dbr:Winding_number dbr:Differential_geometry dbr:Differential_geometry_of_surfaces dbr:Sphere dbr:Second_fundamental_form dbr:Immersion_(mathematics) dbr:Norman_Levitt dbr:Poincaré–Hopf_theorem dbr:Zonohedron dbr:Total_curvature |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Gauss_map |
