Kronecker–Weber theorem (original) (raw)
في النظرية الجبرية للأعداد، يمكن أن يُبرهن على أن كل هو لحقل الأعداد الجذرية. مبرهنة كرونكر-فيبر (بالإنجليزية: Kronecker–Weber theorem) تأتي في هذا السياق. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات ليوبلد كرونكر وهاينريش مارتين فيبر.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في النظرية الجبرية للأعداد، يمكن أن يُبرهن على أن كل هو لحقل الأعداد الجذرية. مبرهنة كرونكر-فيبر (بالإنجليزية: Kronecker–Weber theorem) تأتي في هذا السياق. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات ليوبلد كرونكر وهاينريش مارتين فيبر. (ar) In algebraic number theory, it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q, having Galois group of the form . The Kronecker–Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field. In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients. For example, and The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber. (en) Le théorème de Kronecker-Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : toute extension abélienne finie du corps ℚ des rationnels, c'est-à-dire tout corps de nombres dont le groupe de Galois sur ℚ est abélien, est un sous-corps d'une extension cyclotomique, i.e. d'un corps obtenu en adjoignant une racine de l'unité aux nombres rationnels. Ce théorème a été énoncé par Kronecker en 1853. Sa proposition de preuve était incomplète. Weber en 1886 proposa une nouvelle preuve, qui présentait encore une lacune. Hilbert le montra en 1896 en utilisant des méthodes différentes de celles de ses prédécesseurs, et posa le problème de sa généralisation (voir l'article Kronecker Jugendtraum, qui concerne le douzième problème de Hilbert). Le théorème est aujourd'hui habituellement démontré comme une conséquence de la théorie des corps de classes. Cependant, il peut aussi être déduit de l'assertion analogue sur les corps de nombres p-adiques : si p est un nombre premier, et K/ℚp est une extension abélienne finie, alors K est inclus dans une extension cyclotomique de ℚp. Déduction du théorème global depuis le théorème local Pour déduire le théorème global du théorème local, on considère pour chaque nombre premier p ramifié dans l'extension K/ℚ, un entier np tel que K soit inclus dans ℚp(ζnp), où ζnp est une racine primitive np-ième de l'unité. Considérant alors, p(ep) la plus grande puissance de p divisant np, on montre alors que K est inclus dans ℚ(ζn), pour n le produit des p(ep), et ζn une racine primitive n-ième de l'unité. En effet, l'extension K(ζn)/ℚ n'est ramifiée qu'en les nombres premiers ramifiés dans K, et n'admet aucune sous-extension partout non ramifiée (ce résultat est classiquement démontré comme conséquence d'une estimation du discriminant par le théorème de Minkowski en géométrie des nombres), donc son groupe de Galois est engendré par ses sous-groupes d'inertie en les nombres premiers p. Le cardinal de ce groupe est donc majoré par le produit des cardinaux des groupes d'inertie locaux correspondants, qu'on trouve être égal au degré de l'extension ℚ(ζn)/ℚ, ce qui conclut la démonstration. La démonstration du cas local du théorème demande de bien connaître les propriétés de ramification des extensions cyclotomiques locales, puis de se ramener au cas d'extensions cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier q, et de discuter suivant que q = p ou non, le cas p = 2 devant être traité encore à part. Pour une extension abélienne donnée K de ℚ, il existe en fait un corps cyclotomique minimal qui la contient. Le théorème permet de définir le conducteur de K, comme le plus petit entier naturel n tel que K soit inclus dans le corps engendré par les racines n-ièmes de l'unité. Par exemple, les corps quadratiques ont comme conducteur la valeur absolue de leurs discriminants, un fait généralisé en théorie des corps de classes. (fr) En la teoría algebraica de números, el Teorema de Kronecker-Weber establece que cada extensión abeliana finita del cuerpo de los números racionales , o en otras palabras cada cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois sobre sea abeliano, es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico, es decir un cuerpo obtenido al añadir una raíz de la unidad a los números racionales. El matemático alemán Leopold Kronecker proporcionó la mayoría de la prueba en 1853, cuyos huecos rellenaron Weber en 1886 y Hilbert en 1896. Se puede probar mediante una construcción algebraica directa, aunque también es una consecuencia sencilla de la teoría de cuerpos de clases y se puede probar juntando datos locales sobre el cuerpo p-ádico de cada primo p. Para una extensión abeliana K de Q existe de hecho un campo ciclotómico mínimo que la contiene. El teorema le permite a uno definir el fde K, como el entero n más pequeño tal que K resida en el cuerpo generado por las raíces enésimas de la unidad. Por ejemplo, los tienen como conductor el valor absoluto de su , un hecho generalizado ampliamente en la teoría de cuerpos de clases. * Datos: Q1369453 (es) 크로네커-베버 정리(영어: Kronecker–Weber theorem, 중국어: 定理)는 대수적 수론의 정리로, 유리수체 위의 갈루아 군이 아벨 군인 모든 대수적 수체, 즉 유리수체의 임의 유한 아벨 확대는 원분체의 부분체라는 내용이다. (ko) In teoria algebrica dei numeri, il teorema di Kronecker–Weber afferma che ogni estensione abeliana finita del campo dei numeri razionali , cioè ogni campo di numeri il cui gruppo di Galois su è abeliano, è un sottocampo di un campo ciclotomico, cioè di un campo ottenuto aggiungendo delle radici dell'unità ai numeri razionali. Il teorema fu enunciato per la prima volta da Leopold Kronecker nel 1853, sebbene la sua dimostrazione fosse incompleta nel caso di estensioni di grado una potenza di 2. Heinrich Martin Weber ha pubblicato un'altra dimostrazione nel 1886, con alcune lacune ed errori corretti da nel 1981. La prima dimostrazione completa è dovuta a David Hilbert e risale al 1896. Il teorema di Kronecker–Weber può anche essere riformulato senza fare riferimento a campi di numeri. Se un intero algebrico ha gruppo di Galois abeliano, allora può essere scritto come somma finita di radici dell'unità con coefficienti razionali. Ad esempio Tra i campi ciclotomici contenenti un'estensione abeliana di ne esiste una minimale. Il minimo intero tale che è contenuto nell'estensione dei razionali con le radici -esime dell'unità è detto il di . Ad esempio il conduttore di un campo quadratico è il valore assoluto del . Questo risultato può essere generalizzato grazie alla . (it) 代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のはある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、 である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) と (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。 (ja) Na teoria algébrica dos números, o teorema de Kronecker-Weber estabelece que cada extensão abeliana finita do corpo dos números racionais , ou em outras palavras cada corpo numérico algébrico cujo grupo de Galois sobre seja abeliano, é um subcorpo de um corpo ciclotômico, ou seja, um corpo obtido ao adicionar-se uma raiz da unidade aos números racionais. Kronecker proporcionou a maior parte da prova em 1853, enquanto Weber (em 1886) e Hilbert (em 1896), preencheram as lacunas existentes. Se pôde provar mediante uma construção algébrica direta, embora também seja uma consequência simples da teoria de corpos de classes e se pode provar juntando dados locais sobre o campo p-ádico de cada primo p. Para uma extensão abeliana K de Q existe de fato um campo ciclotômico mínimo que a contêm. O teorema permite definir o condutor de K, como o menor inteiro n tal que K resida no corpo gerado pelas raízes enésimas da unidade. Por exemplo, os corpos quadráticos têm como condutor o valor absoluto de seu discriminante, um feito amplamente generalizado na teoria de corpos de classes. (pt) У алгебраїчній теорії чисел, теорема Кронекера — Вебера, названа на честь Леопольда Кронекера і , стверджує що кожне скінченне абелеве розширення поля раціональних чисел , або іншими словами кожне алгебраїчне числове поле, чия група Галуа над є абелевою, — є підполем деякого кругового поля, тобто поля, одержаного приєднанням кореня з одиниці до раціональних чисел. Кронекер здійснив основну частину доведення у 1853 році, Вебер в 1886 році і Гільберт в 1896 заповнили деякі логічні пробіли. Теорема може бути доведена прямими алгебраїчними побудовами, але вона також є легким наслідком теорії полів класів. Для заданого абелевого розширення K поля можна визначити мінімальне кругове поле, що містить K. Для заданого K можна визначити найменше ціле число n, що K є підполем, поля породженого коренем з одиниці n-го степеня. Наприклад для квадратичних полів таким числом є абсолютна величина їх дискримінанта. (uk) Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам. Названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера, Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году, в 1886 году Вебер и Гильберт заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но также является простым следствием результатов теории полей классов. Для заданного абелевого расширения поля можно определить минимальное круговое поле, содержащее . Для заданного можно определить такое наименьшее целое число , что является подполем поля, порождённого корнем из единицы -й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта. Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта (12-я), по состоянию на 2022 год проблема остаётся нерешённой. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.emis.de/journals/SC/1998/3/html/smf_sem-cong_3_243-273.html https://books.google.com/books%3Fid=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA3 https://books.google.com/books%3Fid=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA65%7C http://www.numdam.org/item%3Fid=BSMF_1966__94__49_0 https://ir.cwi.nl/pub/9964/9964A.pdf http://mi.mathnet.ru/eng/tm/v38/p382 http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl%3FGDZPPN002198282 http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl%3FGDZPPN002497263 http://www.math.tifr.res.in/~eghate/kw.pdf |
| dbo:wikiPageID | 1082550 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8427 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1068387485 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Quadratic_field dbr:Root_of_unity dbr:Algebraic_number_field dbr:Annals_of_Mathematics dbr:Modular_arithmetic dbr:Leopold_Kronecker dbc:Cyclotomic_fields dbr:Acta_Mathematica dbr:Galois_group dbr:Local_field dbr:Absolute_value dbr:Algebraic_integer dbr:Algebraic_number_theory dbr:Cyclotomic_field dbr:Field_(mathematics) dbr:Discriminant_of_an_algebraic_number_field dbr:Hilbert's_twelfth_problem dbr:Heinrich_Martin_Weber dbr:Abelian_extension dbr:Abelian_group dbc:Class_field_theory dbr:Advances_in_Mathematics dbc:Theorems_in_algebraic_number_theory dbr:Class_field_theory dbr:Field_extension dbr:Société_Mathématique_de_France dbr:Lubin–Tate_extension dbr:Transactions_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Journal_für_die_reine_und_angewandte_Mathematik dbr:Rational_number_field dbr:Conductor_(algebraic_number_theory) dbr:Journal_de_théorie_des_nombres_de_Bordeaux |
| dbp:last | Tate (en) Lubin (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_journal dbt:Harvtxt dbt:Short_description dbt:Wikisource dbt:Harvs |
| dbp:year | 1965 (xsd:integer) 1966 (xsd:integer) |
| dcterms:subject | dbc:Cyclotomic_fields dbc:Class_field_theory dbc:Theorems_in_algebraic_number_theory |
| rdf:type | yago:WikicatTheoremsInAlgebra yago:WikicatTheoremsInAlgebraicNumberTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | في النظرية الجبرية للأعداد، يمكن أن يُبرهن على أن كل هو لحقل الأعداد الجذرية. مبرهنة كرونكر-فيبر (بالإنجليزية: Kronecker–Weber theorem) تأتي في هذا السياق. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات ليوبلد كرونكر وهاينريش مارتين فيبر. (ar) In algebraic number theory, it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q, having Galois group of the form . The Kronecker–Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field. In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients. For example, and The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber. (en) 크로네커-베버 정리(영어: Kronecker–Weber theorem, 중국어: 定理)는 대수적 수론의 정리로, 유리수체 위의 갈루아 군이 아벨 군인 모든 대수적 수체, 즉 유리수체의 임의 유한 아벨 확대는 원분체의 부분체라는 내용이다. (ko) 代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のはある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、 である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) と (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。 (ja) En la teoría algebraica de números, el Teorema de Kronecker-Weber establece que cada extensión abeliana finita del cuerpo de los números racionales , o en otras palabras cada cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois sobre sea abeliano, es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico, es decir un cuerpo obtenido al añadir una raíz de la unidad a los números racionales. * Datos: Q1369453 (es) Le théorème de Kronecker-Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : toute extension abélienne finie du corps ℚ des rationnels, c'est-à-dire tout corps de nombres dont le groupe de Galois sur ℚ est abélien, est un sous-corps d'une extension cyclotomique, i.e. d'un corps obtenu en adjoignant une racine de l'unité aux nombres rationnels. Déduction du théorème global depuis le théorème local (fr) In teoria algebrica dei numeri, il teorema di Kronecker–Weber afferma che ogni estensione abeliana finita del campo dei numeri razionali , cioè ogni campo di numeri il cui gruppo di Galois su è abeliano, è un sottocampo di un campo ciclotomico, cioè di un campo ottenuto aggiungendo delle radici dell'unità ai numeri razionali. Il teorema fu enunciato per la prima volta da Leopold Kronecker nel 1853, sebbene la sua dimostrazione fosse incompleta nel caso di estensioni di grado una potenza di 2. Heinrich Martin Weber ha pubblicato un'altra dimostrazione nel 1886, con alcune lacune ed errori corretti da nel 1981. La prima dimostrazione completa è dovuta a David Hilbert e risale al 1896. (it) Na teoria algébrica dos números, o teorema de Kronecker-Weber estabelece que cada extensão abeliana finita do corpo dos números racionais , ou em outras palavras cada corpo numérico algébrico cujo grupo de Galois sobre seja abeliano, é um subcorpo de um corpo ciclotômico, ou seja, um corpo obtido ao adicionar-se uma raiz da unidade aos números racionais. (pt) Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам. Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта (12-я), по состоянию на 2022 год проблема остаётся нерешённой. (ru) У алгебраїчній теорії чисел, теорема Кронекера — Вебера, названа на честь Леопольда Кронекера і , стверджує що кожне скінченне абелеве розширення поля раціональних чисел , або іншими словами кожне алгебраїчне числове поле, чия група Галуа над є абелевою, — є підполем деякого кругового поля, тобто поля, одержаного приєднанням кореня з одиниці до раціональних чисел. (uk) |
| rdfs:label | مبرهنة كرونكر-فيبر (ar) Satz von Kronecker-Weber (de) Teorema de Kronecker-Weber (es) Théorème de Kronecker-Weber (fr) Teorema di Kronecker-Weber (it) Kronecker–Weber theorem (en) クロネッカー・ウェーバーの定理 (ja) 크로네커-베버 정리 (ko) Теорема Кронекера — Вебера (ru) Teorema de Kronecker-Weber (pt) Теорема Кронекера — Вебера (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Kronecker–Weber theorem wikidata:Kronecker–Weber theorem dbpedia-ar:Kronecker–Weber theorem dbpedia-de:Kronecker–Weber theorem dbpedia-es:Kronecker–Weber theorem dbpedia-fr:Kronecker–Weber theorem dbpedia-he:Kronecker–Weber theorem dbpedia-it:Kronecker–Weber theorem dbpedia-ja:Kronecker–Weber theorem dbpedia-ko:Kronecker–Weber theorem dbpedia-pt:Kronecker–Weber theorem dbpedia-ru:Kronecker–Weber theorem dbpedia-uk:Kronecker–Weber theorem https://global.dbpedia.org/id/PNMB |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Kronecker–Weber_theorem?oldid=1068387485&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Kronecker–Weber_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Leopold_Kronecker |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Kronecker-Weber_theorem dbr:Kronecker-weber_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Root_of_unity dbr:List_of_algebraic_number_theory_topics dbr:Algebraic_number_field dbr:Inverse_Galois_problem dbr:List_of_incomplete_proofs dbr:Timeline_of_class_field_theory dbr:Kronecker-Weber_theorem dbr:Kronecker-weber_theorem dbr:Class_number_formula dbr:Conductor_(class_field_theory) dbr:Arithmetic_geometry dbr:Lemniscate_elliptic_functions dbr:Leopold_Kronecker dbr:Siegel_zero dbr:Stickelberger's_theorem dbr:Galois_group dbr:Galois_module dbr:Algebraic_number_theory dbr:Cyclotomic_field dbr:Field_(mathematics) dbr:Hilbert's_twelfth_problem dbr:Heidelberg_University_Faculty_of_Mathematics_and_Computer_Science dbr:Heinrich_Martin_Weber dbr:Hilbert's_problems dbr:Hilbert–Speiser_theorem dbr:Abelian_extension dbr:Square_root_of_5 dbr:Class_field_theory dbr:Class_formation dbr:List_of_theorems dbr:List_of_unsolved_problems_in_mathematics dbr:Zahlbericht |
| is dbp:knownFor of | dbr:Leopold_Kronecker |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Kronecker–Weber_theorem |