Linear relation (original) (raw)
In linear algebra, a linear relation, or simply relation, between elements of a vector space or a module is a linear equation that has these elements as a solution. More precisely, if are elements of a (left) module M over a ring R (the case of a vector space over a field is a special case), a relation between is a sequence of elements of R such that The construction of higher order syzygy modules is generalized as the definition of free resolutions, which allows restating Hilbert's syzygy theorem as a polynomial ring in n indeterminates over a field has global homological dimension n.
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| dbo:abstract | In linear algebra, a linear relation, or simply relation, between elements of a vector space or a module is a linear equation that has these elements as a solution. More precisely, if are elements of a (left) module M over a ring R (the case of a vector space over a field is a special case), a relation between is a sequence of elements of R such that The relations between form a module. One is generally interested in the case where is a generating set of a finitely generated module M, in which case the module of the relations is often called a syzygy module of M. The syzygy module depends on the choice of a generating set, but it is unique up to the direct sum with a free module. That is, if and are syzygy modules corresponding to two generating sets of the same module, then they are stably isomorphic, which means that there exist two free modules and such that and are isomorphic. Higher order syzygy modules are defined recursively: a first syzygy module of a module M is simply its syzygy module. For k > 1, a kth syzygy module of M is a syzygy module of a (k – 1)-th syzygy module. Hilbert's syzygy theorem states that, if is a polynomial ring in n indeterminates over a field, then every nth syzygy module is free. The case n = 0 is the fact that every finite dimensional vector space has a basis, and the case n = 1 is the fact that K[x] is a principal ideal domain and that every submodule of a finitely generated free K[x] module is also free. The construction of higher order syzygy modules is generalized as the definition of free resolutions, which allows restating Hilbert's syzygy theorem as a polynomial ring in n indeterminates over a field has global homological dimension n. If a and b are two elements of the commutative ring R, then (b, –a) is a relation that is said trivial. The module of trivial relations of an ideal is the submodule of the first syzygy module of the ideal that is generated by the trivial relations between the elements of a generating set of an ideal. The concept of trivial relations can be generalized to higher order syzygy modules, and this leads to the concept of the Koszul complex of an ideal, which provides information on the non-trivial relations between the generators of an ideal. (en) En álgebra lineal, una relación lineal (o simplemente relación) entre elementos de un espacio vectorial o de un módulo es una ecuación de primer grado que tiene estos elementos como solución. Más precisamente, si son elementos de un módulo (por la izquierda) M sobre un anillo R (el caso de un espacio vectorial sobre un cuerpo es un caso especial), una relación entre es una sucesión de elementos de R tal que Las relaciones entre forman un módulo. El caso más habitual es que sea un de un M, en cuyo caso el módulo de las relaciones a menudo se denomina módulo de sizigia de M. El módulo de sizigia depende de la elección de un conjunto generador, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Es decir, si y son módulos sizigia correspondientes a dos conjuntos generadores del mismo módulo, entonces se dice que son , lo que significa que existen dos módulos libres y de manera que y son isomorfismos. Los módulos sizigia de orden superior se definen de forma recursiva: un primer módulo de sizigia de un módulo M es simplemente su módulo de sizigia. Para k > 1, un módulo de sizigia k-ésimo de M es un módulo de sizigia de un módulo de sizigia (k – 1)-ésimo. El establece que, si es un anillo de polinomios n indeterminado sobre un cuerpo, entonces cada módulo de sizigia {{mvar|n}-ésimo es libre. El caso n = 0 es el hecho de que cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso n = 1 es el hecho de que K[x] es un dominio de ideales principales y que cada submódulo de un módulo K[x] libre finitamente generado también es libre. La construcción de módulos sizigia de orden superior se generaliza como la definición de , lo que permite reformular el teorema de la sizigia de Hilbert como un anillo polinómico n indeterminado sobre un campo que tiene n. Si a y b son dos elementos del anillo conmutativo R, entonces (b, –a) es una relación que se dice "trivial". El "módulo de relaciones triviales" de un ideal es el submódulo del primer módulo de sizigia del ideal que es generado por las relaciones triviales entre los elementos de un conjunto generador de un ideal. El concepto de relaciones triviales puede generalizarse a módulos sizigia de orden superior, y conduce al concepto de de un ideal, que proporciona información sobre las relaciones no triviales entre los generadores de un ideal. (es) |
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