Generator (mathematics) (original) (raw)
In mathematics and physics, the term generator or generating set may refer to any of a number of related concepts. The underlying concept in each case is that of a smaller set of objects, together with a set of operations that can be applied to it, that result in the creation of a larger collection of objects, called the generated set. The larger set is then said to be generated by the smaller set. It is commonly the case that the generating set has a simpler set of properties than the generated set, thus making it easier to discuss and examine. It is usually the case that properties of the generating set are in some way preserved by the act of generation; likewise, the properties of the generated set are often reflected in the generating set.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En àlgebra lineal, un sistema generador (o sistema de generadors) d'un espai vectorial E és un conjunt de vectors que pertanyen a E, tals que qualsevol vector de l'espai E es pot expressar com a combinació lineal dels vectors del sistema generador. És a dir, a partir dels vectors d'un sistema generador d'un espai vectorial E es pot obtenir aquest espai E complet. En general tindrem que:Sigui S un sistema de generadors d'un espai vectorial E i v un vector qualsevol de l'espai E. Es denota quan Els vectors d'un sistema generador no cal que siguin linealment independents. En cas que ho siguin, el nombre de vectors serà igual a la dimensió de l'espai, i direm que el sistema de generadors és base. Una base sempre serà sistema de generadors, en canvi un sistema de generadors no sempre serà base, només ho serà quan els seus vectors siguin linealment independents. (ca) Ein Erzeugendensystem ist in der Mathematik eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von Vektorräumen, dass jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall von Gruppen bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen dargestellt werden kann. Es gibt den Begriff des Erzeugendensystems aber auch für weitere algebraische Strukturen, wie Moduln und Ringe, und auch für nichtalgebraische Strukturen, wie topologische Räume. Erzeugendensysteme einer vorgegebenen mathematischen Struktur sind in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist hingegen meist leicht zu zeigen, da oft die Grundmenge selbst als Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig wird daher versucht, ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom zornschen Lemma Gebrauch (siehe beispielsweise die Existenz einer Basis in Vektorräumen). Allgemein lässt sich auch die von einer beliebigen Teilmenge erzeugte Unterstruktur einer mathematischen Struktur betrachten. Diese Unterstruktur wird Erzeugnis dieser Teilmenge genannt und die Teilmenge selbst heißt dann erzeugende Menge oder Erzeuger der Unterstruktur. So ist jeder Untervektorraum das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Vektoren (nämlich gerade die lineare Hülle dieser Vektoren) und jede Untergruppe das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Gruppenelementen. (de) In mathematics and physics, the term generator or generating set may refer to any of a number of related concepts. The underlying concept in each case is that of a smaller set of objects, together with a set of operations that can be applied to it, that result in the creation of a larger collection of objects, called the generated set. The larger set is then said to be generated by the smaller set. It is commonly the case that the generating set has a simpler set of properties than the generated set, thus making it easier to discuss and examine. It is usually the case that properties of the generating set are in some way preserved by the act of generation; likewise, the properties of the generated set are often reflected in the generating set. (en) In algebra lineare, un insieme di generatori (o sistema di generatori) è un sottoinsieme di un insieme dotato di struttura algebrica tale che tutti gli elementi dell'insieme possono essere ottenuti dagli elementi del sottoinsieme, tramite combinazioni di operazioni definite sull'insieme. Più in generale, se è un sottoinsieme di , l'insieme generato da è il più piccolo sottoinsieme di chiuso rispetto alle operazioni definite su contenente . Nei casi più frequenti, è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale. Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita. (it) 범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다. (ko) 数学における生成（せいせい、generate）とは、与えられた対象と条件に対して、その条件を満たしかつ与えられた対象を全て含むような最小の構成物を求めることである。このとき与えられた対象の集まりを生成系（生成集合）(generating set) といい、生成集合の各元を生成元 (generator) という。また、「最小の構成物」は生成系から生成されるという。生成系が1つの対象からなるような場合には、生成系と生成元は同一視できる。 (ja) Voortbrengen is een term die in verschillende deelgebieden van de wiskunde gebruikt wordt. In het algemeen brengt een verzameling elementen een bepaalde structuur voort als die structuur de kleinste is die de gegeven verzameling omvat. (nl) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/One5Root.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/genset.pdf |
| dbo:wikiPageID | 3171371 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 5370 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1088907894 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Quark dbr:Electric_charge dbr:Electromagnetism dbr:Noether_charge dbc:Universal_algebra dbr:Vector_space dbr:Infinitesimal_generator_(stochastic_processes) dbr:Lie_group dbr:Lie_theory dbr:Color_charge dbr:Continuous_symmetry dbr:Mathematics dbr:SU(3) dbr:Gauge_theory dbr:Generating_set_of_a_module dbr:Generator_(category_theory) dbr:Noether's_theorem dbr:Subring dbr:Generating_function dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Generating_set_of_an_ideal dbr:Geodesic dbr:Momentum dbr:Morphism dbr:Angular_momentum dbr:Lie_algebra dbr:Stochastic_processes dbr:Particle_physics dbr:Physics dbr:Subgroup dbr:Tangent_space dbr:Topology dbr:Exponential_map_(Riemannian_geometry) dbr:Differential_equation dbr:Itō_diffusion dbr:Quantum_chromodynamics dbr:Group_(mathematics) dbc:Abstract_algebra dbr:Charge_(physics) dbr:Symmetry_(physics) dbr:Translation_(geometry) dbr:Manifold dbr:Field_(physics) dbr:Operation_(mathematics) dbr:Category_theory dbr:Set_(mathematics) dbr:Generator_(disambiguation) dbr:Root_system dbr:Rotation dbr:Exponential_map_(Lie_theory) dbr:Supersymmetry dbr:Subbase dbr:Subalgebra dbr:Topological_algebra dbr:Itō_process dbr:Color_symmetry dbr:Object_(category_theory) dbr:Spanning_set dbr:U(1) dbr:File:One5Root.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Hatnote dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Universal_algebra dbc:Abstract_algebra |
| rdfs:comment | In mathematics and physics, the term generator or generating set may refer to any of a number of related concepts. The underlying concept in each case is that of a smaller set of objects, together with a set of operations that can be applied to it, that result in the creation of a larger collection of objects, called the generated set. The larger set is then said to be generated by the smaller set. It is commonly the case that the generating set has a simpler set of properties than the generated set, thus making it easier to discuss and examine. It is usually the case that properties of the generating set are in some way preserved by the act of generation; likewise, the properties of the generated set are often reflected in the generating set. (en) 범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다. (ko) 数学における生成（せいせい、generate）とは、与えられた対象と条件に対して、その条件を満たしかつ与えられた対象を全て含むような最小の構成物を求めることである。このとき与えられた対象の集まりを生成系（生成集合）(generating set) といい、生成集合の各元を生成元 (generator) という。また、「最小の構成物」は生成系から生成されるという。生成系が1つの対象からなるような場合には、生成系と生成元は同一視できる。 (ja) Voortbrengen is een term die in verschillende deelgebieden van de wiskunde gebruikt wordt. In het algemeen brengt een verzameling elementen een bepaalde structuur voort als die structuur de kleinste is die de gegeven verzameling omvat. (nl) En àlgebra lineal, un sistema generador (o sistema de generadors) d'un espai vectorial E és un conjunt de vectors que pertanyen a E, tals que qualsevol vector de l'espai E es pot expressar com a combinació lineal dels vectors del sistema generador. És a dir, a partir dels vectors d'un sistema generador d'un espai vectorial E es pot obtenir aquest espai E complet. En general tindrem que:Sigui S un sistema de generadors d'un espai vectorial E i v un vector qualsevol de l'espai E. Es denota quan (ca) Ein Erzeugendensystem ist in der Mathematik eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von Vektorräumen, dass jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall von Gruppen bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen dargestellt werden kann. Es gibt den Begriff des Erzeugendensystems aber auch für weitere algebraische Strukturen, wie Moduln und Ringe, und auch für nichtalgebraische Strukturen, wie topologische Räume. (de) In algebra lineare, un insieme di generatori (o sistema di generatori) è un sottoinsieme di un insieme dotato di struttura algebrica tale che tutti gli elementi dell'insieme possono essere ottenuti dagli elementi del sottoinsieme, tramite combinazioni di operazioni definite sull'insieme. Più in generale, se è un sottoinsieme di , l'insieme generato da è il più piccolo sottoinsieme di chiuso rispetto alle operazioni definite su contenente . Nei casi più frequenti, è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale. (it) |
| rdfs:label | Sistema generador (ca) Erzeugendensystem (de) Generator (mathematics) (en) Insieme di generatori (it) 生成 (数学) (ja) 생성 집합 (ko) Voortbrengen (algebra en lineaire algebra) (nl) Zbiór generatorów (pl) |
| owl:sameAs | freebase:Generator (mathematics) wikidata:Generator (mathematics) dbpedia-ca:Generator (mathematics) dbpedia-de:Generator (mathematics) dbpedia-fi:Generator (mathematics) dbpedia-it:Generator (mathematics) dbpedia-ja:Generator (mathematics) dbpedia-ko:Generator (mathematics) dbpedia-nl:Generator (mathematics) dbpedia-pl:Generator (mathematics) https://global.dbpedia.org/id/4pZ4U |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Generator_(mathematics)?oldid=1088907894&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/One5Root.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Generator_(mathematics) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Generator |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Generator_(Mathematics) dbr:Generate_(abstract_algebra) dbr:Generate_(mathematics) dbr:Generating_set |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Product_operator_formalism dbr:Quantum_harmonic_oscillator dbr:Index_of_physics_articles_(G) dbr:Involutory_matrix dbr:List_of_incomplete_proofs dbr:List_of_quantum_logic_gates dbr:'t_Hooft_symbol dbr:Complete_homogeneous_symmetric_polynomial dbr:Generative_design dbr:Operator_(physics) dbr:Subring dbr:ZX-calculus dbr:Class_(set_theory) dbr:Elementary_symmetric_polynomial dbr:Lie_algebra dbr:Combinatorial_group_theory dbr:Power_sum_symmetric_polynomial dbr:Steane_code dbr:Structure_constants dbr:Gårding_domain dbr:Haag–Łopuszański–Sohnius_theorem dbr:Janko_group_J3 dbr:Jónsson–Tarski_algebra dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Linear_span dbr:3x_+_1_semigroup dbr:Graph_homology dbr:Grassmann_number dbr:Generator dbr:Finite_type dbr:Key_finding_attacks dbr:Superprocess dbr:Coleman–Mandula_theorem dbr:Higman–Sims_group dbr:Wilson_action dbr:Dirac_equation dbr:Boolean_algebras_canonically_defined dbr:Groupoid_algebra dbr:Generator_(Mathematics) dbr:Generator_set dbr:Rotor_(mathematics) dbr:Tensor_algebra dbr:Zone_axis dbr:Symbolic_power_of_an_ideal dbr:Semigroup_with_involution dbr:SQ-universal_group dbr:Two-dimensional_conformal_field_theory dbr:Theta_vacuum dbr:Generate_(abstract_algebra) dbr:Generate_(mathematics) dbr:Generating_set |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Generator_(mathematics) |
