Mean value theorem (original) (raw)
Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في علم الرياضيات، مبرهنة القيمة المتوسطة أو مبرهنة التزايدات المنتهية هي الحالة الأعم لمبرهنة رول. النص : لتكن f دالة عددية f : [a, b] → ℝ بحيث a ، إذا كانت f متصلة على المجال المغلق [a, b] وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a, b[، فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي c ينتمي للمجال ]a, b[ بحيث : . في الحقيقة، وتبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة في a وb واحدة. وبتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ ونظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة. هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع. (ar) Informalment es pot dir que en càlcul, el teorema del valor mitjà estableix, que donat un bocí d'una corba derivable, hi ha un punt dins d'aquest bocí en el qual la tangent a la corba és paral·lela a la recta que uneix el primer punt amb l'últim.O dit d'una altra manera, hi ha un punt en què el pendent (o derivada) de la corba és igual al pendent mitjà (o derivada mitjana) de tota la corba. Aquest teorema es fa servir per a demostrar teoremes que obtenen conclusions globals de funcions a partir d'hipòtesis locals referents als valors que prenen les seves derivades en punts de l'interval. Aquest teorema es pot entendre aplicant-lo al cas d'un objecte en moviment. Si un cotxe viatja cent quilòmetres en una hora, és a dir, si la seva velocitat mitjana és de 100 km/h, en algun moment, la seva velocitat instantània haurà hagut de ser exactament de 100 km/h. (ca) Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny. (cs) Der Mittelwertsatz (kurz MWS) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis (Mathematik). Veranschaulicht lässt sich der Mittelwertsatz geometrisch so deuten, dass es unter den unten genannten Voraussetzungen zwischen zwei Punkten eines Funktionsgraphen mindestens einen Kurvenpunkt gibt, für den die Tangente parallel zur Sekante durch die beiden gegebenen Punkte ist. Die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten wird damit als Tangentensteigung durch die Funktion mindestens einmal angenommen. Globale Eigenschaften, die mit Hilfe der Sekantensteigung ausgedrückt werden können, sind so mit Hilfe des Mittelwertsatzes auf Eigenschaften der Ableitung zurückführbar. Beispiele hierfür sind die Regel von de L’Hospital oder diverse Sätze zur Kurvendiskussion (wie zum Beispiel der Satz, dass Funktionen mit positiver Ableitung streng monoton wachsen). Die Aussage des Satzes lässt sich sowohl auf den Quotienten zweier Funktionen übertragen als auch auf Funktionen mehrerer Variablen anwenden. Der Mittelwertsatz verallgemeinert den Satz von Rolle. Der Satz wurde zuerst von Joseph-Louis Lagrange bewiesen (Théorie des fonctions analytiques 1797) und später von Augustin Louis Cauchy (Vorlesungen über Infinitesimalrechnung, Calcul infinitésimal, 1823). Pierre Ossian Bonnet bewies den Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle (dargestellt in den Vorlesungen über Infinitesimalrechnung von Serret, 1868). (de) Στα Μαθηματικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ. στο εξής) γεωμετρικά διατυπώνεται ως εξής: δοσμένης μιας επίπεδης καμπύλης και δυο σημείων της, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης να είναι παράλληλη προς την που ορίζουν τα παραπάνω σημεία. Το Θ.Μ.Τ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού, καθώς και ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη μαθηματική ανάλυση αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Το Θ.Μ.Τ είναι επακόλουθο του θεωρήματος του Μισέλ Ρολ. (el) Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko. Estu kontinua en kaj derivebla en ; tiam (eo) Kalkuluan, batez besteko balioaren teoremak esaten duena zera da: [a,b] tartean eta definitua eta (a,b) tartean den funtzio baten existituko da c puntua, zeinetan c puntuko zuzen tangentea (a,f(a))tik (b,f(b))ra doan zuzen sekantearen paraleloa izango baita. Teorema hau Joseph-Louis Lagrangek proposatu zuen. Askotan Lagrangeren teorema edo Bonnet-Lagrangeren teorema izaten da deitua. Garrantzi handiko teorema da hau, problemak ebazteko balio handirik ez duen arren, beste teorema asko frogatzeko guztiz erabilgarria baita. (eu) En analyse, le théorème des accroissements finis (en abrégé : TAF) est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe. (fr) En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial. De manera precisa el teorema enuncia que si es una función continua en un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto entonces existe un punto en tal que la recta tangente en el punto es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y , esto es (es) In mathematics, the mean value theorem (or Lagrange theorem) states, roughly, that for a given planar arc between two endpoints, there is at least one point at which the tangent to the arc is parallel to the secant through its endpoints. It is one of the most important results in real analysis. This theorem is used to prove statements about a function on an interval starting from local hypotheses about derivatives at points of the interval. More precisely, the theorem states that if is a continuous function on the closed interval and differentiable on the open interval , then there exists a point in such that the tangent at is parallel to the secant line through the endpoints and , that is, (en) Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut. Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu mobil haruslah tepat 100 km/jam. Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus. (in) 미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다. (ko) In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi. Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica. (it) De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse, die haar bekendheid dankt aan de toepassing als hulpstelling. Er kunnen bepaalde ongelijkheden mee worden bewezen. De stelling kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling wordt met behulp van de stelling van Rolle bewezen en is sterk aan de tussenwaardestelling gerelateerd. De middelwaardestelling wordt soms de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd. De stelling, die in de nevenstaande figuur aanschouwelijk gemaakt wordt, houdt in dat van een functie die op differentieerbaar is, de grafiek op minstens één plaats dezelfde helling moet hebben als de verbindingslijn van de punten en , dat wil zeggen de afgeleide is ergens gelijk aan de 'middelwaarde', de verandering van op dat interval. (nl) Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku. (pl) 微分積分学における平均値の定理（へいきんちのていり、英: mean-value theorem）または有限増分の定理 (仏: Théorème des accroissements finis) は、実函数に対して有界な領域上の積分に関わる大域的な値を、微分によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に 「平均値の定理」 と言った場合は、ラグランジュの平均値の定理と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。 平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される、大変有用なものである。平均値の定理の証明自体にはロルの定理を用いる。その一方で、平均値の定理はそのまま多変数の関数に適用することはできない。また、もっと弱い条件の元でも同じ定理が成り立つ。その他種々の理由から、平均値の定理を使うこと避ける数学者もいる。多変数関数にも使えて、平均値の定理の代わりになるような定理として、有限増分不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。 (ja) Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что . Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка. Механическое истолкование:Пусть — расстояние точки в момент от начального положения.Тогда есть путь, пройденный с момента до момента ,отношение — средняя скорость за этот промежуток.Значит, если скорость тела определена в любой момент времени ,то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке. (ru) Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b. O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é , então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é . (pt) Den sats som brukar kallas medelvärdessatsen är differentialkalkylens medelvärdessats. Men det finns också en sats som kallas integralkalkylens medelvärdessats. (sv) 在數學分析中，均值定理（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。 更仔細點講，假設函數 在閉區間 連續且在開區間 可微，則存在一點，使得 . 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 (zh) Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем. (uk) |
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(el) Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko. Estu kontinua en kaj derivebla en ; tiam (eo) Kalkuluan, batez besteko balioaren teoremak esaten duena zera da: [a,b] tartean eta definitua eta (a,b) tartean den funtzio baten existituko da c puntua, zeinetan c puntuko zuzen tangentea (a,f(a))tik (b,f(b))ra doan zuzen sekantearen paraleloa izango baita. Teorema hau Joseph-Louis Lagrangek proposatu zuen. Askotan Lagrangeren teorema edo Bonnet-Lagrangeren teorema izaten da deitua. Garrantzi handiko teorema da hau, problemak ebazteko balio handirik ez duen arren, beste teorema asko frogatzeko guztiz erabilgarria baita. (eu) En analyse, le théorème des accroissements finis (en abrégé : TAF) est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe. (fr) 미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다. (ko) In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi. Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica. (it) Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku. (pl) 微分積分学における平均値の定理（へいきんちのていり、英: mean-value theorem）または有限増分の定理 (仏: Théorème des accroissements finis) は、実函数に対して有界な領域上の積分に関わる大域的な値を、微分によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に 「平均値の定理」 と言った場合は、ラグランジュの平均値の定理と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。 平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される、大変有用なものである。平均値の定理の証明自体にはロルの定理を用いる。その一方で、平均値の定理はそのまま多変数の関数に適用することはできない。また、もっと弱い条件の元でも同じ定理が成り立つ。その他種々の理由から、平均値の定理を使うこと避ける数学者もいる。多変数関数にも使えて、平均値の定理の代わりになるような定理として、有限増分不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。 (ja) Den sats som brukar kallas medelvärdessatsen är differentialkalkylens medelvärdessats. Men det finns också en sats som kallas integralkalkylens medelvärdessats. (sv) 在數學分析中，均值定理（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。 更仔細點講，假設函數 在閉區間 連續且在開區間 可微，則存在一點，使得 . 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 (zh) Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем. (uk) في علم الرياضيات، مبرهنة القيمة المتوسطة أو مبرهنة التزايدات المنتهية هي الحالة الأعم لمبرهنة رول. النص : لتكن f دالة عددية f : [a, b] → ℝ بحيث a ، إذا كانت f متصلة على المجال المغلق [a, b] وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a, b[، فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي c ينتمي للمجال ]a, b[ بحيث : . في الحقيقة، وتبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة في a وb واحدة. وبتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ ونظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة. (ar) Informalment es pot dir que en càlcul, el teorema del valor mitjà estableix, que donat un bocí d'una corba derivable, hi ha un punt dins d'aquest bocí en el qual la tangent a la corba és paral·lela a la recta que uneix el primer punt amb l'últim.O dit d'una altra manera, hi ha un punt en què el pendent (o derivada) de la corba és igual al pendent mitjà (o derivada mitjana) de tota la corba. Aquest teorema es fa servir per a demostrar teoremes que obtenen conclusions globals de funcions a partir d'hipòtesis locals referents als valors que prenen les seves derivades en punts de l'interval. (ca) Der Mittelwertsatz (kurz MWS) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis (Mathematik). Veranschaulicht lässt sich der Mittelwertsatz geometrisch so deuten, dass es unter den unten genannten Voraussetzungen zwischen zwei Punkten eines Funktionsgraphen mindestens einen Kurvenpunkt gibt, für den die Tangente parallel zur Sekante durch die beiden gegebenen Punkte ist. Die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten wird damit als Tangentensteigung durch die Funktion mindestens einmal angenommen. (de) En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial. (es) In mathematics, the mean value theorem (or Lagrange theorem) states, roughly, that for a given planar arc between two endpoints, there is at least one point at which the tangent to the arc is parallel to the secant through its endpoints. It is one of the most important results in real analysis. This theorem is used to prove statements about a function on an interval starting from local hypotheses about derivatives at points of the interval. (en) Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut. (in) De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse, die haar bekendheid dankt aan de toepassing als hulpstelling. Er kunnen bepaalde ongelijkheden mee worden bewezen. De stelling kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling wordt met behulp van de stelling van Rolle bewezen en is sterk aan de tussenwaardestelling gerelateerd. De middelwaardestelling wordt soms de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd. (nl) Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b. (pt) Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что . Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка. (ru) |
| rdfs:label | مبرهنة القيمة المتوسطة (ar) Teorema del valor mitjà (ca) Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (cs) Mittelwertsatz der Differentialrechnung (de) Θεώρημα μέσης τιμής (el) Meznombra valora teoremo (eo) Teorema del valor medio (es) Batez besteko balioaren teorema (eu) Teorema nilai purata (in) Teorema di Lagrange (it) Théorème des accroissements finis (fr) 平均値の定理 (ja) Mean value theorem (en) 평균값 정리 (ko) Middelwaardestelling (nl) Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy) (pl) Teorema do valor médio (pt) Формула конечных приращений (ru) Medelvärdessatsen (sv) Теорема Лагранжа (uk) 中值定理 (zh) |
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