Hyperplane separation theorem (original) (raw)
Der Trennungssatz (auch Satz von Eidelheit, benannt nach Meier Eidelheit) ist ein mathematischer Satz über die Möglichkeiten zur Trennung konvexer Mengen in normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) durch lineare Funktionale. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser beruht daher der Trennungssatz auf einem nicht-konstruktiven Argument, wie dem Lemma von Zorn beziehungsweise dem Auswahlaxiom.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Trennungssatz (auch Satz von Eidelheit, benannt nach Meier Eidelheit) ist ein mathematischer Satz über die Möglichkeiten zur Trennung konvexer Mengen in normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) durch lineare Funktionale. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser beruht daher der Trennungssatz auf einem nicht-konstruktiven Argument, wie dem Lemma von Zorn beziehungsweise dem Auswahlaxiom. (de) In geometry, the hyperplane separation theorem is a theorem about disjoint convex sets in n-dimensional Euclidean space. There are several rather similar versions. In one version of the theorem, if both these sets are closed and at least one of them is compact, then there is a hyperplane in between them and even two parallel hyperplanes in between them separated by a gap. In another version, if both disjoint convex sets are open, then there is a hyperplane in between them, but not necessarily any gap. An axis which is orthogonal to a separating hyperplane is a separating axis, because the orthogonal projections of the convex bodies onto the axis are disjoint. The hyperplane separation theorem is due to Hermann Minkowski. The Hahn–Banach separation theorem generalizes the result to topological vector spaces. A related result is the supporting hyperplane theorem. In the context of support-vector machines, the optimally separating hyperplane or maximum-margin hyperplane is a hyperplane which separates two convex hulls of points and is equidistant from the two. (en) 分離超平面定理（ぶんりちょうへいめんていり、英: separating hyperplane theorem, hyperplane separation theorem）は n 次元ユークリッド空間上の互いに素な凸集合に関する幾何学における 2 つの定理を指す。 一つ目の定理は、互いに素な凸集合の両方が閉集合であってかつ少なくともいずれか 1 つの凸集合がコンパクト集合である場合、2 つの閉凸集合の間に 1 つの超平面が存在でき、また閉凸集合の間に 2 つの平行な超平面を隙間を作って置くことができることを示す。 二つ目の定理は、互いに素な凸集合があり両者が開集合である場合、2 つの開凸集合の間に 1 つの超平面をはさむことができるが、2 つの開凸集合の間には必ずしも隙間が存在するわけではないことを示す（従って第一の定理と異なり、複数の超平面を重ねずに挟むことができない状況が存在する）。 分離超平面に対して直交する軸を分離軸 (separating axis) と呼ぶ。これは、2 つのの分離軸への直交写像が互いに素であることによる。 分離超平面定理はヘルマン・ミンコフスキーの寄与によって発見された。ハーン＝バナッハの分離定理はミンコフスキーの結果を線型位相空間へ一般化したものである。 関連する結果としてがある。マージン最大化超平面 (maximum-margin hyperplane) は空間上にある点の集まりを 2 つのクラスタに分離する超平面の中で、両者のクラスタからの距離が等しいようなものである。このとき、それぞれのクラスタと分離超平面の間のマージンは最大化される。この事実はサポートベクターマシンなどに応用される。 (ja) Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств. (ru) В геометрії, теорема про розділову гіперплощину (англ. hyperplane separation theorem) складається з двох варіантів теорем про опуклі множини, які не перетинаються, в -мірному евклідовому просторі. У першій версії теореми, якщо обидві ці множини замкнені і принаймні одна з них компактна, то існує гіперплощина, яка їх розділяє по двом різним півпросторам, утвореним гіперплощиною, або навіть дві паралельні гіперплощини, що розділені зазором. У другому варіанті, якщо обидві опуклі множини не перетинаються та відкриті, то існує гіперплощина, яка їх розділяє, але ці множини не обов'язково будуть розташовані на ненульовій відстані одна від одної. Вісь, ортогональна до розділової гіперплощини є віссю поділу, коли ортогональні проєкції опуклих тіл на вісь не перетинаються. Теорему про розділову гіперплощину досліджував Герман Мінковський. Теорема Гана-Банаха узагальнює результат на випадок топологічних векторних просторів. Наслідком з цієї теореми є теорема про опорну гіперплощину. В геометрії, максимально розділовою гіперплощиною є гіперплощина, яка відокремлює дві «множини» точок і знаходиться на рівній відстані від обох. Відстань між гіперплощиною і множинами максимальна. Див. статтю про опорні вектори для більш докладної інформації. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Separating_axis_theorem2008.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf http://www.metanetsoftware.com/technique/tutorialA.html |
| dbo:wikiPageID | 4739827 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-fr:Séparation_des_convexes |
| dbo:wikiPageLength | 14028 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119699069 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Convex_set dbc:Theorems_in_convex_geometry dbr:Geometry dbr:N-sphere dbr:Convex_geometry dbr:Convex_hull dbr:Theorem dbr:Equidistant dbr:Closed_set dbr:Collision_detection dbr:Topological_vector_spaces dbr:Disjoint_sets dbr:Euclidean_space dbr:Cauchy_sequence dbr:Projection_(set_theory) dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Hermann_Minkowski dbr:Hyperplane dbc:Hermann_Minkowski dbr:Support-vector_machine dbr:Kirchberger's_theorem dbr:Optimal_control dbr:Face_(geometry) dbr:Affine_set dbr:Dual_cone dbr:Farkas's_lemma dbr:Minkowski_sum dbr:Supporting_hyperplane_theorem dbr:Compact_set dbr:Surface_normal dbr:File:Separating_axis_theorem2.svg |
| dbp:caption | Illustration of the hyperplane separation theorem. (en) |
| dbp:conjecturedBy | dbr:Hermann_Minkowski |
| dbp:field | Convex geometry (en) Topological vector spaces (en) (en) Collision detection (en) |
| dbp:generalizations | dbr:Hahn–Banach_theorem |
| dbp:name | Hyperplane separation theorem (en) |
| dbp:openProblem | No (en) |
| dbp:type | dbr:Theorem |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Infobox_mathematical_statement dbt:Cite_book dbt:Clear dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Functional_analysis dbt:Math_theorem dbt:Topological_vector_spaces |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_convex_geometry dbc:Hermann_Minkowski |
| rdf:type | yago:WikicatTheoremsInConvexGeometry yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Der Trennungssatz (auch Satz von Eidelheit, benannt nach Meier Eidelheit) ist ein mathematischer Satz über die Möglichkeiten zur Trennung konvexer Mengen in normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) durch lineare Funktionale. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser beruht daher der Trennungssatz auf einem nicht-konstruktiven Argument, wie dem Lemma von Zorn beziehungsweise dem Auswahlaxiom. (de) Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств. (ru) In geometry, the hyperplane separation theorem is a theorem about disjoint convex sets in n-dimensional Euclidean space. There are several rather similar versions. In one version of the theorem, if both these sets are closed and at least one of them is compact, then there is a hyperplane in between them and even two parallel hyperplanes in between them separated by a gap. In another version, if both disjoint convex sets are open, then there is a hyperplane in between them, but not necessarily any gap. An axis which is orthogonal to a separating hyperplane is a separating axis, because the orthogonal projections of the convex bodies onto the axis are disjoint. (en) 分離超平面定理（ぶんりちょうへいめんていり、英: separating hyperplane theorem, hyperplane separation theorem）は n 次元ユークリッド空間上の互いに素な凸集合に関する幾何学における 2 つの定理を指す。 一つ目の定理は、互いに素な凸集合の両方が閉集合であってかつ少なくともいずれか 1 つの凸集合がコンパクト集合である場合、2 つの閉凸集合の間に 1 つの超平面が存在でき、また閉凸集合の間に 2 つの平行な超平面を隙間を作って置くことができることを示す。 二つ目の定理は、互いに素な凸集合があり両者が開集合である場合、2 つの開凸集合の間に 1 つの超平面をはさむことができるが、2 つの開凸集合の間には必ずしも隙間が存在するわけではないことを示す（従って第一の定理と異なり、複数の超平面を重ねずに挟むことができない状況が存在する）。 分離超平面に対して直交する軸を分離軸 (separating axis) と呼ぶ。これは、2 つのの分離軸への直交写像が互いに素であることによる。 分離超平面定理はヘルマン・ミンコフスキーの寄与によって発見された。ハーン＝バナッハの分離定理はミンコフスキーの結果を線型位相空間へ一般化したものである。 (ja) В геометрії, теорема про розділову гіперплощину (англ. hyperplane separation theorem) складається з двох варіантів теорем про опуклі множини, які не перетинаються, в -мірному евклідовому просторі. У першій версії теореми, якщо обидві ці множини замкнені і принаймні одна з них компактна, то існує гіперплощина, яка їх розділяє по двом різним півпросторам, утвореним гіперплощиною, або навіть дві паралельні гіперплощини, що розділені зазором. У другому варіанті, якщо обидві опуклі множини не перетинаються та відкриті, то існує гіперплощина, яка їх розділяє, але ці множини не обов'язково будуть розташовані на ненульовій відстані одна від одної. Вісь, ортогональна до розділової гіперплощини є віссю поділу, коли ортогональні проєкції опуклих тіл на вісь не перетинаються. (uk) |
| rdfs:label | Trennungssatz (de) Hyperplane separation theorem (en) 分離超平面定理 (ja) Теорема об опорной гиперплоскости (ru) Теорема про розділову гіперплощину (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Hyperplane separation theorem yago-res:Hyperplane separation theorem wikidata:Hyperplane separation theorem dbpedia-de:Hyperplane separation theorem dbpedia-ja:Hyperplane separation theorem dbpedia-ru:Hyperplane separation theorem dbpedia-uk:Hyperplane separation theorem https://global.dbpedia.org/id/4sDXn |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hyperplane_separation_theorem?oldid=1119699069&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Separating_axis_theorem2.svg wiki-commons:Special:FilePath/Separating_axis_theorem2008.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hyperplane_separation_theorem |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Separation_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Maximum-margin_hyperplane dbr:Separating_Axis_Theorem dbr:Separating_axis dbr:Separating_axis_theorem dbr:Separating_hyperplane_theorem dbr:Separating_line_theorem dbr:Separating_plane_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:John_von_Neumann dbr:Perceptron dbr:Decision_boundary dbr:Maximum-margin_hyperplane dbr:Meier_Eidelheit dbr:Convex_polygon dbr:Ordinal_Pareto_efficiency dbr:Disjoint_sets dbr:Dual_cone_and_polar_cone dbr:Karush–Kuhn–Tucker_conditions dbr:Linear_separability dbr:Farkas'_lemma dbr:Glossary_of_functional_analysis dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Hyperplane dbr:Guillotine_cutting dbr:Kirchberger's_theorem dbr:Separation_theorem dbr:Separating_Axis_Theorem dbr:Separating_axis dbr:Separating_axis_theorem dbr:Separating_hyperplane_theorem dbr:Separating_line_theorem dbr:Separating_plane_theorem |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Hahn–Banach_theorem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hyperplane_separation_theorem |
