Shoelace formula (original) (raw)
Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche eines einfachen Polygons zu berechnen. Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze. Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche eines einfachen Polygons zu berechnen. Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze. Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist. (de) La Fórmula del área de Gauss, Fórmula de la Lazada o Algoritmo de la Lazada, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un polígono simple cuyos vértices están descritos como pares de coordenadas en el plano. Es conocido como fórmula de la lazada debido al constante cruce de productos de las correspondientes coordenadas de cada par de vértices, similar al atar una lazada. También recibe el nombre de Fórmula del área de Gauss en honor a Carl Friedrich Gauss. Tiene múltiples aplicaciones en agrimensura e ingeniería de montes entre otras áreas. (es) The shoelace formula, shoelace algorithm, or shoelace method (also known as Gauss's area formula and the surveyor's formula) is a mathematical algorithm to determine the area of a simple polygon whose vertices are described by their Cartesian coordinates in the plane. It is called the shoelace formula because of the constant cross-multiplying for the coordinates making up the polygon, like threading shoelaces. It has applications in surveying and forestry, among other areas. The formula was described by Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724–1788) in 1769 and is based on the trapezoid formula which was described by Carl Friedrich Gauss and C.G.J. Jacobi. The triangle form of the area formula can be considered to be a special case of Green's theorem. The area formula can also be applied to self-overlapping polygons since the meaning of area is still clear even though self-overlapping polygons are not generally simple. Furthermore, a self-overlapping polygon can have multiple "interpretations" but the Shoelace formula can be used to show that the polygon's area is the same regardless of the interpretation. (en) 신발끈 공식(―公式)은 좌표평면 상에서 꼭짓점의 좌표를 알 때 다각형의 면적을 구할 수 있는 방법이다. 다각형의 각 꼭짓점의 좌푯값을 교차하여 곱하는 모습이 신발끈을 묶을 때와 같아 이러한 이름이 붙었다. 가우스의 면적 공식이나 사선 공식(斜線 公式)으로도 불린다. 이 공식은 측량이나 임업과 같은 여러 분야에도 응용될 수 있다. 신발끈 공식은 1769년에 수학자 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724-1788)가 발견했으며, 1795년에 가우스도 독립적으로 발견하였다. 이 공식은 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나누는 방식으로 증명할 수 있으며, 그린 정리의 특수한 형태로 볼 수도 있다. 이 공식은 다각형에서 각각의 모서리마다 임의의 선분 AB를 잡고, 원점 O를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABO의 넓이를 계산하여, 평행사변형의 넓이와 같은 벡터곱을 구하고 2로 나눔으로써 유도된다. 다각형 주변을 감싸게 되면, 양의 면적과 음의 면적을 지니는 이 삼각형들은 겹쳐지고 원점과 다각형 사이의 면적이 상쇄되어 0이 되는데, 이때 기준으로 한 삼각형의 면적만은 남게 된다. 원점에서 바라볼 때 반시계 방향으로 돈다면, 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 양의 면적이 더해지고, 오른쪽에서 왼쪽으로 가면서 음의 면적이 더해진다. 이 공식은 두 개 이상의 변들이 서로 교차하는 형태의 다각형이 아니라면, 볼록다각형이든 오목다각형이든 관계없이 적용시킬 수 있다. (ko) 座標法（ざひょうほう）とは、平面において多角形の頂点座標によってその面積を求める数学的アルゴリズム。測量における用語の一つ。靴紐公式、靴紐の方法、靴紐のアルゴリズム、ガウスの面積公式とも呼ばれる。 三辺法や三斜法に比べ、基本的に座標値を直接用いた四則演算のみで面積が求められるため、計算機上での求積に適しており、また余計な誤差が入り込む余地が少ないといえる。測量法に基づいて、公共測量を実施する際に測量計画機関が作成する作業規程の規範となる「作業規程の準則」（平成20年国土交通省告示第413号）では、原則として面積の計算に座標法を使用することを規定している。 (ja) La formula dell'area di Gauss è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa. La formula può essere rappresentata dall'espressione: dove * è l'area del poligono, * il numero di lati * , con sono i vertici del poligono. Oppure, servendosi delle sommatorie:, dove e indicano rispettivamente e . (it) Koordinatareaformeln används för att beräkna arean av en polygon vars hörn har kända koordinater. Formeln skapades av matematikern Carl Friedrich Gauss som bland annat ägnade sig åt lantmäteri. Arean erhålls som (sv) Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. В формуле векторным произведением координат и сложением определяется площадь области, охватывающей многоугольник, а затем из нее вычитается площадь окружающего многоугольника, что дает площадь многоугольника внутри. Также она называется формулой шнурования, так как положительные и отрицательные слагаемые, состоящие из перемножаемых координат, располагаются крест-накрест, как при завязывании шнурков. Она находит применение в геодезии, лесном хозяйстве и других областях. Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795 году. Она может быть проверена путём деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина. Формула определения площади определяется путём взятия каждого ребра многоугольника АВ и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется, если она слева, и вычитается, если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади верна для любого самопересекающегося многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. (ru) Формула площі Гаусса (формула землеміра або формула шнурування чи алгоритм шнурування) — формула визначення площі простого багатокутника, вершини якого задано декартовими координатами на площині. Користувач перемножає відповідні координати та складає, щоб знайти область охоплення багатокутника, та віднімає її з багатокутника, що її оточує, аби знайти площу багатокутника всередині. Це зветься формулою шнурування, оскільки додатні й від'ємні складові з координат, що перемножуються, розташовуються на папері хрест-навхрест, як при зав'язуванні шнурків. Її застосовують у геодезії та лісовому господарстві, серед інших галузей. Формула була написана Мейстером [Архівовано 30 вересня 2017 у Wayback Machine.] (1724—1788) у 1769 році та Гауссом у 1795 р. Вона може бути перевірена шляхом ділення багатокутника на трикутники, але її також можна розглядати як окремий випадок теореми Гріна. Формула площі визначається шляхом узяття кожного ребра багатокутника АВ, та обчислення площі трикутника АВО з вершиною на початку координат О, через координати вершин. Обійшовши багатокутник навколо, утворюються трикутники, що містять внутрішню частину багатокутника і розташовані зовні. Різниця між сумою цих площ і є площею самого багатокутника. Тому вона зветься формулою геодезиста, оскільки «картограф» знаходиться на початку координат; якщо він обходить ділянку проти годинникової стрілки, площа додається коли знаходиться ліворуч і віднімається коли праворуч із точки зору на початку координат. Формула площі є правильною для будь-якого (простого) багатокутника без самоперетинів, який може бути випуклим чи ввігнутим. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Shoelace3.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.youtube.com/watch%3Fv=0KjG8Pg6LGk |
| dbo:wikiPageID | 17863612 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15587 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121798305 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Carl_Gustav_Jacob_Jacobi dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Cartesian_coordinates dbr:Polygon_mesh dbr:Algorithm dbc:Area dbr:Polyhedron dbr:Vector_area dbr:Convex_set dbr:Cross_product dbr:Green's_theorem dbr:Coplanarity dbc:Geometric_algorithms dbr:Simple_polygon dbc:Surveying dbr:Exterior_algebra dbr:Heron's_formula dbr:Tetrahedron dbr:Hypersurface dbr:Area dbr:Trapezoid dbr:Triangulation_(geometry) dbr:Divergence_theorem dbr:Pick's_theorem dbr:Planimeter dbr:Polytope dbr:Projected_area dbr:Triangle_area dbr:Polygon_area dbr:Signed_volume dbr:File:Shoelace3.png dbr:File:Trapez-f-beisp-dyn.svg dbr:File:Trapez-formel-beispiel.svg dbr:File:Trapez-formel-einf.svg dbr:File:Trapez-formel-prinz.svg dbr:File:Trapez-shoelace.svg dbr:File:Trapezformel-3eckform.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Use_dmy_dates |
| dcterms:subject | dbc:Area dbc:Geometric_algorithms dbc:Surveying |
| gold:hypernym | dbr:Algorithm |
| rdf:type | dbo:Software yago:Abstraction100002137 yago:Act100030358 yago:Activity100407535 yago:Algorithm105847438 yago:Event100029378 yago:Procedure101023820 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:WikicatGeometricAlgorithms yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Rule105846932 |
| rdfs:comment | Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche eines einfachen Polygons zu berechnen. Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze. Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist. (de) La Fórmula del área de Gauss, Fórmula de la Lazada o Algoritmo de la Lazada, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un polígono simple cuyos vértices están descritos como pares de coordenadas en el plano. Es conocido como fórmula de la lazada debido al constante cruce de productos de las correspondientes coordenadas de cada par de vértices, similar al atar una lazada. También recibe el nombre de Fórmula del área de Gauss en honor a Carl Friedrich Gauss. Tiene múltiples aplicaciones en agrimensura e ingeniería de montes entre otras áreas. (es) 座標法（ざひょうほう）とは、平面において多角形の頂点座標によってその面積を求める数学的アルゴリズム。測量における用語の一つ。靴紐公式、靴紐の方法、靴紐のアルゴリズム、ガウスの面積公式とも呼ばれる。 三辺法や三斜法に比べ、基本的に座標値を直接用いた四則演算のみで面積が求められるため、計算機上での求積に適しており、また余計な誤差が入り込む余地が少ないといえる。測量法に基づいて、公共測量を実施する際に測量計画機関が作成する作業規程の規範となる「作業規程の準則」（平成20年国土交通省告示第413号）では、原則として面積の計算に座標法を使用することを規定している。 (ja) La formula dell'area di Gauss è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa. La formula può essere rappresentata dall'espressione: dove * è l'area del poligono, * il numero di lati * , con sono i vertici del poligono. Oppure, servendosi delle sommatorie:, dove e indicano rispettivamente e . (it) Koordinatareaformeln används för att beräkna arean av en polygon vars hörn har kända koordinater. Formeln skapades av matematikern Carl Friedrich Gauss som bland annat ägnade sig åt lantmäteri. Arean erhålls som (sv) The shoelace formula, shoelace algorithm, or shoelace method (also known as Gauss's area formula and the surveyor's formula) is a mathematical algorithm to determine the area of a simple polygon whose vertices are described by their Cartesian coordinates in the plane. It is called the shoelace formula because of the constant cross-multiplying for the coordinates making up the polygon, like threading shoelaces. It has applications in surveying and forestry, among other areas. (en) 신발끈 공식(―公式)은 좌표평면 상에서 꼭짓점의 좌표를 알 때 다각형의 면적을 구할 수 있는 방법이다. 다각형의 각 꼭짓점의 좌푯값을 교차하여 곱하는 모습이 신발끈을 묶을 때와 같아 이러한 이름이 붙었다. 가우스의 면적 공식이나 사선 공식(斜線 公式)으로도 불린다. 이 공식은 측량이나 임업과 같은 여러 분야에도 응용될 수 있다. 신발끈 공식은 1769년에 수학자 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724-1788)가 발견했으며, 1795년에 가우스도 독립적으로 발견하였다. 이 공식은 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나누는 방식으로 증명할 수 있으며, 그린 정리의 특수한 형태로 볼 수도 있다. 이 공식은 두 개 이상의 변들이 서로 교차하는 형태의 다각형이 아니라면, 볼록다각형이든 오목다각형이든 관계없이 적용시킬 수 있다. (ko) Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. В формуле векторным произведением координат и сложением определяется площадь области, охватывающей многоугольник, а затем из нее вычитается площадь окружающего многоугольника, что дает площадь многоугольника внутри. Также она называется формулой шнурования, так как положительные и отрицательные слагаемые, состоящие из перемножаемых координат, располагаются крест-накрест, как при завязывании шнурков. Она находит применение в геодезии, лесном хозяйстве и других областях. (ru) Формула площі Гаусса (формула землеміра або формула шнурування чи алгоритм шнурування) — формула визначення площі простого багатокутника, вершини якого задано декартовими координатами на площині. Користувач перемножає відповідні координати та складає, щоб знайти область охоплення багатокутника, та віднімає її з багатокутника, що її оточує, аби знайти площу багатокутника всередині. Це зветься формулою шнурування, оскільки додатні й від'ємні складові з координат, що перемножуються, розташовуються на папері хрест-навхрест, як при зав'язуванні шнурків. Її застосовують у геодезії та лісовому господарстві, серед інших галузей. (uk) |
| rdfs:label | Gaußsche Trapezformel (de) Fórmula del área de Gauss (es) Formula dell'area di Gauss (it) 신발끈 공식 (ko) 座標法 (ja) Shoelace formula (en) Формула площади Гаусса (ru) Koordinatareaformeln (sv) Формула площі Гаусса (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Shoelace formula yago-res:Shoelace formula wikidata:Shoelace formula dbpedia-de:Shoelace formula dbpedia-es:Shoelace formula dbpedia-he:Shoelace formula dbpedia-it:Shoelace formula dbpedia-ja:Shoelace formula dbpedia-ko:Shoelace formula dbpedia-ru:Shoelace formula dbpedia-sr:Shoelace formula dbpedia-sv:Shoelace formula dbpedia-uk:Shoelace formula https://global.dbpedia.org/id/3U3qu |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Shoelace_formula?oldid=1121798305&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Shoelace3.png wiki-commons:Special:FilePath/Trapez-f-beisp-dyn.svg wiki-commons:Special:FilePath/Trapez-formel-beispiel.svg wiki-commons:Special:FilePath/Trapez-formel-einf.svg wiki-commons:Special:FilePath/Trapez-formel-prinz.svg wiki-commons:Special:FilePath/Trapez-shoelace.svg wiki-commons:Special:FilePath/Trapezformel-3eckform.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Shoelace_formula |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Gauss'_area_formula dbr:Gauss's_area_formula dbr:Gauss_area_formula dbr:Shoelace_Method dbr:Shoelace_algorithm dbr:Surveyor's_formula |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Vector_area dbr:Green's_theorem dbr:Polygon dbr:Centroid dbr:Heron's_formula dbr:Second_moment_of_area dbr:Area dbr:Triangle dbr:Pick's_theorem dbr:Planimeter dbr:Gauss'_area_formula dbr:Gauss's_area_formula dbr:Gauss_area_formula dbr:Shoelace_Method dbr:Shoelace_algorithm dbr:Surveyor's_formula |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Shoelace_formula |
