Central simple algebra (original) (raw)
数学の特に環論において、体 K 上の中心的単純多元環（ちゅうしんてきたんじゅんかん、英: central simple algebra; CSA）とは、与えられた K 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な結合多元環 A であって、環として単純で、その中心がちょうど K となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。 例えば、複素数体 C はそれ自身の上の中心的単純環だが、（C の中心は C であって R ではないから）実数体 R 上の中心的単純環ではない。四元数体 H は R 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように R のブラウアー群 Br(R) の非自明な元によって表される。 同じ体 F 上の二つの中心的単純環 A ≅ Mn(S) と B ≅ Mm(T) とが互いに相似（あるいはブラウアー同値）であるとは、それらに属する斜体 S と T とが同型となることをいう。与えられた体 F 上の中心的単純環の、この同値関係に関する同値類は多元環類と呼ばれ，これらが成す集合には、多元環のテンソル積によって群演算を与えることができる。このようにして得られた群は、体 F のブラウアー群 Br(F) と呼ばれる。ブラウアー群は常にねじれ群である。
| Property | Value |
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| dbo:abstract | In ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite-dimensional associative K-algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K-module.) For example, the complex numbers C form a CSA over themselves, but not over the real numbers R (the center of C is all of C, not just R). The quaternions H form a 4-dimensional CSA over R, and in fact represent the only non-trivial element of the Brauer group of the reals (see below). Given two central simple algebras A ~ M(n,S) and B ~ M(m,T) over the same field F, A and B are called similar (or Brauer equivalent) if their division rings S and T are isomorphic. The set of all equivalence classes of central simple algebras over a given field F, under this equivalence relation, can be equipped with a group operation given by the tensor product of algebras. The resulting group is called the Brauer group Br(F) of the field F. It is always a torsion group. (en) En teoría de anillos y áreas relacionadas del álgebra, un álgebra simple central (ASC) sobre un cuerpo es un álgebra asociativa de dimensión finita A, que es un cuyo es precisamente . En otras palabras, cualquier álgebra simple es un álgebra central simple sobre su centro. Por ejemplo, los números complejos forman un ASC ellos mismos, pero no los números reales (el centro de es todo , no simplemente ). Los números cuaterniónicos H forman un ASC de cuatro dimensiones sobre , y de hecho son el único elemento no trivial del grupo de Brauer de los reales (ver más adelante). Las ASC sobre un cuerpo son un análogo no conmutativo de las extensiones del cuerpo (en ambos casos, no existen ideales bilaterales no triviales, y tienen un cuerpo como centro, aunque un ASC puede ser no-conmutativa y no tienen porqué existir inversos de todos los elementos). Esto es particularmente interesante en la teoría de números no conmutativa como generalizaciones de los cuerpos numéricos (extensiones de los racionales ). De acuerdo con el teorema de Artin-Wedderburn un álgebra simple de dimensión finita A es isomorfa a álgebra de matrices M(n,S) de algún anillo de división S. Dadas dos álgebras simples centrales ~ M(n,S) y B ~ M(m,T) sobre el mismo cuerpo , A y B son similares (o Brauer-equivalentes) si sus anillos de división S y T son isomorfos. El conjunto de todas las clases de equivalencia de álgebras simples centrales sobre un cuerpo dado , bajo esta relación de equivalencia, puede ser equipado con una operación que lo convierte en grupo, dada por el producto tensorial de álgebras. El grupo resultante se llama del cuerpo of the field . (es) 数学の特に環論において、体 K 上の中心的単純多元環（ちゅうしんてきたんじゅんかん、英: central simple algebra; CSA）とは、与えられた K 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な結合多元環 A であって、環として単純で、その中心がちょうど K となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。 例えば、複素数体 C はそれ自身の上の中心的単純環だが、（C の中心は C であって R ではないから）実数体 R 上の中心的単純環ではない。四元数体 H は R 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように R のブラウアー群 Br(R) の非自明な元によって表される。 同じ体 F 上の二つの中心的単純環 A ≅ Mn(S) と B ≅ Mm(T) とが互いに相似（あるいはブラウアー同値）であるとは、それらに属する斜体 S と T とが同型となることをいう。与えられた体 F 上の中心的単純環の、この同値関係に関する同値類は多元環類と呼ばれ，これらが成す集合には、多元環のテンソル積によって群演算を与えることができる。このようにして得られた群は、体 F のブラウアー群 Br(F) と呼ばれる。ブラウアー群は常にねじれ群である。 (ja) In de ringtheorie en aanverwante deelgebieden van wiskunde is een centrale enkelvoudige algebra (CEA) over een lichaam/veld een eindig-dimensionale associatieve algebra die enkelvoudig is en waarvoor het centrum exact gelijk is aan . Met andere woorden elke enkelvoudige algebra is een centrale enkelvoudige algebra over haar centrum. De complexe getallen vormen bijvoorbeeld een CEA over zichzelf, maar niet over de reële getallen (het centrum van is geheel , niet alleen ). De quaternionen vormen een vierdimensionale centrale enkelvouidige algebra over . Volgens de stelling van Artin-Wedderburn is een enkelvoudige algebra voor een delingsring isomorf met een . Gegeven twee centrale enkelvoudige algebra's en over hetzelfde lichaam/veld , worden en soortgelijk (of brauer-equivalent) genoemd als hun delingsringen en isomorf zijn. De verzameling van alle equivalentieklassen van centrale enkelvoudige algebra's over een gegeven lichaam/veld kan, onder deze equivalentierelatie, worden uitgerust met een groepsoperatie die door het 's wordt gegeven. De resulterende groep wordt de brauer-groep van het veld genoemd. (nl) Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem – skończeniewymiarowa , której centrum jest Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska . (pl) Em teoria de anéis e áreas relacionadas da álgebra, uma álgebra simples central (ASC) sobre um corpo é uma álgebra associativa de dimensão finita A, que é um cujo é precisamente . Em outras palavras, qualquer álgebra simples é uma álgebra central simples sobre seu centro. (pt) В теорії кілець центральною простою алгеброю над полем K називається асоціативна алгебра A, яка є простою, і для якої центр є рівним K. Особливо важливим є випадок скінченновимірних центральних простих алгебр і скінченна розмірність іноді є частиною означення. (uk) |
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