Group (mathematics) (original) (raw)

dbo:abstract

Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur. Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který dokázal, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel, algebraické topologii a dalších matematických oborech. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec. Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – ve fyzice, informatice a chemii. Reprezentace grup hrají důležitou úlohu v teoriích jako jsou částicová fyzika, kvantová teorie pole anebo teorie strun. V informatice se grupy vyskytují například v kryptografii, kódování anebo zpracování obrazu, chemie používá grupy pro popis symetrií molekul a krystalových mřížek v krystalografii. (cs)
Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant. Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests es troben els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició. (ca)
في الرياضيات، الزمرة (بالإنجليزية: Group)‏ هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر. ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة. نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين. (ar)
Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς. Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της συμμετρίας. Για παράδειγμα μια κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός : η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα σωματιδιακής φυσικής, οι χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της , οι μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στην ειδική σχετικότητα. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις , με τον Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) στο 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη θεωρία ομάδων —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι , οι και οι . Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από όσο και από πλευρά. Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις , η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων που ανακοινώθηκε το 1983 και ολοκληρώθηκε το 2004. Από τα μέσα του 1980, η γεωμετρική θεωρία ομάδων, η οποία μελετά τη δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί γραφημάτων έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω και της σχέσης της με την αλγεβρική τοπολογία. (el)
Grupo estas esenca koncepto de moderna matematiko, unu el la plej gravaj kaj vaste uzataj algebraj strukturoj. (eo)
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik. Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen. Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren. Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen. (de)
In mathematics, a group is a set and an operation that combines any two elements of the set to produce a third element of the set, in such a way that the operation is associative, an identity element exists and every element has an inverse. These three axioms hold for number systems and many other mathematical structures. For example, the integers together with the addition operation form a group. The concept of a group and the axioms that define it were elaborated for handling, in a unified way, essential structural properties of very different mathematical entities such as numbers, geometric shapes and polynomial roots. Because the concept of groups is ubiquitous in numerous areas both within and outside mathematics, some authors consider it as a central organizing principle of contemporary mathematics. In geometry groups arise naturally in the study of symmetries and geometric transformations: The symmetries of an object form a group, called the symmetry group of the object, and the transformations of a given type form a general group. Lie groups appear in symmetry groups in geometry, and also in the Standard Model of particle physics. The Poincaré group is a Lie group consisting of the symmetries of spacetime in special relativity. Point groups describe symmetry in molecular chemistry. The concept of a group arose in the study of polynomial equations, starting with Évariste Galois in the 1830s, who introduced the term group (French: groupe) for the symmetry group of the roots of an equation, now called a Galois group. After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870. Modern group theory—an active mathematical discipline—studies groups in their own right. To explore groups, mathematicians have devised various notions to break groups into smaller, better-understandable pieces, such as subgroups, quotient groups and simple groups. In addition to their abstract properties, group theorists also study the different ways in which a group can be expressed concretely, both from a point of view of representation theory (that is, through the representations of the group) and of computational group theory. A theory has been developed for finite groups, which culminated with the classification of finite simple groups, completed in 2004. Since the mid-1980s, geometric group theory, which studies finitely generated groups as geometric objects, has become an active area in group theory. (en)
Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute. (eu)
En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos). La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas. (es)
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes. La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformations géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences. Ces derniers, par exemple, sont les groupes de symétries utilisés dans le modèle standard de la physique des particules. Les groupes généraux linéaires sont, quant à eux, utilisés en physique fondamentale, afin de comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie. Le concept de groupe fit son apparition dans l'étude des équations polynomiales. En effet, c'est Évariste Galois qui, durant les années 1830, utilisa pour la première fois le terme « groupe » dans un sens technique similaire à ce qui est utilisé de nos jours, faisant de lui un des fondateurs de la théorie des groupes. À la suite de contributions d'autres domaines des mathématiques, comme la théorie des nombres et la géométrie, la notion de groupe fut généralisée et plus fermement établie autour des années 1870. La théorie des groupes moderne, une branche des mathématiques toujours active, se concentre donc sur la structure de groupes abstraits, indépendamment de leur utilisation extra-mathématique. Ce faisant, les mathématiciens ont défini, au fil des années, plusieurs notions permettant de fragmenter des groupes en des objets plus petits et plus compréhensibles ; les sous-groupes, groupes quotients, sous-groupes normaux et les groupes simples en sont quelques exemples. En plus d'étudier ces types de structures, les théoriciens de groupes s'intéressent aussi aux différentes façons dont un groupe peut être exprimé concrètement, autant du point du vue de la théorie des représentations que du point de vue computationnel. La théorie des fut développée avec, comme point culminant, la classification des groupes finis simples, achevée en 2004. Depuis le milieu des années 1980, la théorie géométrique des groupes, qui s'intéresse aux groupes de type fini en tant qu'objets géométriques, est devenue un champ particulièrement actif de la théorie des groupes. (fr)
Sa mhatamaitic, tacar eilimintí S faoin oibríocht *, má tá S iata faoi *; má tá an oibríocht * comhthiomsaitheach thar S, is é sin a*(b*c) = (a*b)*c do gach a, b, c i S; má tá eilimint céannachta e i S ionas gur a*e = e*a = a do gach a i S; agus má tá inbhéarta ag gach a i S, a-1, ionas gur a*a-1 = a-1*a = e. Má tá an oibríocht * cómhalartach freisin, is grúpa aibéalach an grúpa. Sampla amháin de ghrúpa is ea na slánuimhreacha faoi shuimiú. Sampla eile is ea 1, i, -1, -i faoi iolrú. Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é * rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric. (ga)
Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup. Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori . (in)
In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento. Tali assiomi sono soddisfatti da numerose strutture algebriche, come ad esempio i numeri interi con l'operazione di addizione, ma essi sono molto più generali e prescindono dalla natura particolare del gruppo considerato. In questo modo diviene possibile lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, riconoscendone alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Il ruolo chiave dei gruppi in numerose aree interne ed esterne alla matematica ne fa uno dei concetti fondamentali della matematica moderna. Il concetto di gruppo nacque dagli studi sulle equazioni polinomiali, iniziati da Évariste Galois negli anni trenta del XIX secolo. In seguito a contributi provenienti da altri settori della matematica come la teoria dei numeri e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e definita stabilmente attorno al 1870. La moderna teoria dei gruppi - una disciplina matematica molto attiva - si occupa dello studio astratto dei gruppi. Mathematical Reviews conta 3.224 articoli di ricerca di teoria dei gruppi e sue generalizzazioni pubblicati nel solo 2005. I matematici hanno sviluppato varie nozioni per spezzare i gruppi in parti più piccole e più facili da studiare, come i sottogruppi e i quozienti. Oltre a studiare le loro proprietà astratte, i teorici dei gruppi si occupano anche dei differenti modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente, da un punto di vista sia teorico, sia . Una teoria particolarmente ricca è stata sviluppata per i gruppi finiti, culminata con la monumentale classificazione dei gruppi semplici finiti, completata nel 1983. (it)
추상대수학에서 군(群, 영어: group)은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모노이드의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, 영어: group theory)이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론, 기하학, 수론에서 기원한다. (ko)
数学における群（ぐん、英: group）とは、最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。 (ja)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling en een binaire operatie (groepsbewerking) die aan twee elementen van weer een element van toevoegt. De verzameling en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief; er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met de optelling als operatie. De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde. Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep codeert symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object: Hij bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten, en als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue Lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie en symmetrie-fenomenen in de moleculaire scheikunde, te begrijpen. Het concept van een groep is ontstaan uit de studie van vergelijkingen. Évariste Galois in de jaren 1830 was een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, quotiëntgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt (haar groepsrepresentaties), zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie. (nl)
Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador central da matemática contemporânea. Grupos compartilham um parentesco fundamental com a noção de simetria. Um grupo de simetria guarda informações sobre as simetrias de um objeto geométrico. Ele consiste do conjunto de transformações que preservam o objeto inalterado e a operação de combinar duas dessas transformações aplicando-as uma após a outra. Tais grupos de simetria, particularmente os grupos de Lie contínuos, têm um importante papel em muitas disciplinas. Grupos de matrizes, por exemplo, podem ser usados para compreender leis físicas fundamentais da relatividade especial e fenômenos em química molecular. O conceito de grupo emergiu do estudo de equações de polinômios com Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições vindas de outros ramos da matemática, como teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e se estabeleceu firmemente por volta de 1870. A teoria dos grupos moderna - uma área muito ativa de pesquisa - estuda os grupos em si mesmos. Para explorá-los, matemáticos formularam várias noções para quebrar grupos em partes menores e mais compreensíveis, como subgrupos, grupos quocientes e grupos simples. Além das propriedades abstratas, matemáticos estudam as diferentes maneiras em que um grupo pode ser expresso concretamente (as representações do grupo), tanto de um ponto-de-vista teorético quanto prático-computacional. Em particular, uma teoria ricamente desenvolvida é a dos grupos finitos, que culminou com a monumental classificação dos grupos simples finitos, completada em 1983. Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas. (pt)
Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. ). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup. (pl)
Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп. Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом.Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат.Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры.Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях. Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц. Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты. (ru)
En grupp är en typ av abstrakt algebraisk struktur vars studium kallas gruppteori. Grupper är närliggande till den moderna matematikens kategoriteori. (sv)
在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構，並且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分別是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的中心原理。群與对称性有密切的联系。例如，對稱群描述了几何体的对称性：它是保持物體不變的變換的集合。李群应用于粒子物理的标准模型之中；庞加莱群也是李群，能表达狭义相对论中的对称性；点群能帮助理解分子化学中的对称现象。群的概念产生自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，有自己独特的研究方法。為了研究群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群论還研究表示群的各種具體方式（群表示论和）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在2004年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的，成为了群论中一个特别活跃的分支。 (zh)
Гру́па — одне з найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента).У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описуватисиметрії різного ґатунку або як . (uk)

dbo:wikiPageExternalLink

dbo:wikiPageWikiLink

dbp:alt

A periodic wallpaper (en)
A circle is shrunk to a point, another one does not completely shrink because a hole inside prevents this. (en)

dbp:id

Development_group_theory (en)

dbp:source

Richard Borcherds in Mathematicians: An Outer View of the Inner World (en)

dbp:wikiPageUsesTemplate

rdfs:comment

Grupo estas esenca koncepto de moderna matematiko, unu el la plej gravaj kaj vaste uzataj algebraj strukturoj. (eo)
Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute. (eu)
Sa mhatamaitic, tacar eilimintí S faoin oibríocht *, má tá S iata faoi *; má tá an oibríocht * comhthiomsaitheach thar S, is é sin a*(b*c) = (a*b)*c do gach a, b, c i S; má tá eilimint céannachta e i S ionas gur a*e = e*a = a do gach a i S; agus má tá inbhéarta ag gach a i S, a-1, ionas gur a*a-1 = a-1*a = e. Má tá an oibríocht * cómhalartach freisin, is grúpa aibéalach an grúpa. Sampla amháin de ghrúpa is ea na slánuimhreacha faoi shuimiú. Sampla eile is ea 1, i, -1, -i faoi iolrú. Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é * rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric. (ga)
추상대수학에서 군(群, 영어: group)은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모노이드의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, 영어: group theory)이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론, 기하학, 수론에서 기원한다. (ko)
数学における群（ぐん、英: group）とは、最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。 (ja)
Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. ). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup. (pl)
En grupp är en typ av abstrakt algebraisk struktur vars studium kallas gruppteori. Grupper är närliggande till den moderna matematikens kategoriteori. (sv)
Гру́па — одне з найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента).У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описуватисиметрії різного ґатунку або як . (uk)
في الرياضيات، الزمرة (بالإنجليزية: Group)‏ هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محد (ar)
Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant. (ca)
Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur. (cs)
Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς. (el)
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. (de)
En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos). (es)
In mathematics, a group is a set and an operation that combines any two elements of the set to produce a third element of the set, in such a way that the operation is associative, an identity element exists and every element has an inverse. These three axioms hold for number systems and many other mathematical structures. For example, the integers together with the addition operation form a group. The concept of a group and the axioms that define it were elaborated for handling, in a unified way, essential structural properties of very different mathematical entities such as numbers, geometric shapes and polynomial roots. Because the concept of groups is ubiquitous in numerous areas both within and outside mathematics, some authors consider it as a central organizing principle of contempor (en)
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes. (fr)
Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori . (in)
In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento. (it)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling en een binaire operatie (groepsbewerking) die aan twee elementen van weer een element van toevoegt. De verzameling en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief; er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met de optelling als operatie. (nl)
Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemátic (pt)
Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп. Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. (ru)
在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構，並且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分別是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的中心原理。群與对称性有密切的联系。例如，對稱群描述了几何体的对称性：它是保持物體不變的變換的集合。李群应用于粒子物理的标准模型之中；庞加莱群也是李群，能表达狭义相对论中的对称性；点群能帮助理解分子化学中的对称现象。 (zh)

is dbo:wikiPageWikiLink of