Even and odd functions (original) (raw)

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V matematice některé funkce vykazují jisté druhy symetrie, označované jako parita. Konkrétně se funkce osově souměrné podle svislé osy označují jako sudé, zatímco funkce středově souměrné podle počátku jako liché. Obecně funkce nemusí být ani lichá, ani sudá; a funkce konstantně rovná nule je zároveň sudá i lichá. Každou funkci, jejíž definiční obor je symetrický vůči počátku, lze jednoznačně vyjádřit jako součet jedné sudé a jedné liché funkce.

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dbo:abstract V matematice některé funkce vykazují jisté druhy symetrie, označované jako parita. Konkrétně se funkce osově souměrné podle svislé osy označují jako sudé, zatímco funkce středově souměrné podle počátku jako liché. Obecně funkce nemusí být ani lichá, ani sudá; a funkce konstantně rovná nule je zároveň sudá i lichá. Každou funkci, jejíž definiční obor je symetrický vůči počátku, lze jednoznačně vyjádřit jako součet jedné sudé a jedné liché funkce. (cs) En matemàtiques, les funcions parelles i les funcions imparelles són funcions que satisfan unes relacions de simetria particulars respecte als canvis de signe. Són importants en moltes àrees de l'anàlisi matemàtica, especialment en l'estudi de les sèries de potències i les sèries de Fourier.La paritat d'una funció és el seu caràcter parell, imparell, o cap dels dos. Les funcions parelles o imparelles reben aquest nom per la paritat dels potències de les funcions potencials que satisfan cada condició: la funció f(x) = xn és una funció parella si n és un enter parell, i és una funció imparella si n és un enter imparell. (ca) في الرياضيات، الدوال الزوجية (بالإنجليزية: Even functions)‏ والدوال الفردية (بالإنجليزية: Odd functions)‏ هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل. هذه الدوال مهمة في العديد من مجالات التحليل الرياضي، وخصوصا في متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه. (ar) Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen: * eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und * ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. In der Schulmathematik gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer Kurvendiskussion. (de) Pareco de funkcioj estas eco de funkcio kiu havas simetrion laŭ argumento. Nome: para funkciofunkcio, kiu plenumas ekvacion ;malpara funkicofunkcio, kiu plenumas ekvacion . (eo) In mathematics, even functions and odd functions are functions which satisfy particular symmetry relations, with respect to taking additive inverses. They are important in many areas of mathematical analysis, especially the theory of power series and Fourier series. They are named for the parity of the powers of the power functions which satisfy each condition: the function is an even function if n is an even integer, and it is an odd function if n is an odd integer. (en) En el estudio de las funciones reales de variable real, si consideramos el punto , nos interesa el comportamiento de cuando se toma el opuesto . Puede suceder que obtenga el mismo resultado que , en cuyo caso se trata de una función par. También puede suceder que para , se obtenga de modo que el resultado no es el mismo que el de , en cuyo caso se trata de una función impar. En el aspecto geométrico la no variación de al cambiar a , revela simetría de la gráfica de respecto al eje Y. La variación de a al reemplazar por , indica simetría respecto al origen de coordenadas. Entre las funciones reales hay funciones pares, impares y que no asumen ninguno de los casos mencionados. Por ejemplo , no es par ni impar, ya que no podemos definir esta función para números reales negativos. ​ Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier. (es) Sa mhatamaitic, feidhmeanna mar f(x) = f(-x). Bíonn graf réfheidhme siméadrach thart ar an y-ais (mar shampla, y = x2 is y = cos x). Mar mhalairt, is corrfheidhm a leithéid seo: f(-x) = -f(x) (mar shampla, y = x3 is y = sin x). (ga) En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes : * fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x) ; * fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x). En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, telles les fonctions constantes, la fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d'exposant pair, les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique…Les fonctions impaires sont celles dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine, telles les fonctions identité, cube et plus généralement les fonctions puissances d'exposant impair, les fonctions inverse, sinus, tangente, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique et leurs réciproques. Les seules fonctions à être à la fois paires et impaires sont les fonctions nulles sur un domaine symétrique. Une fonction quelconque n'est en général ni paire ni impaire, même si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine. Toute fonction définie sur un tel domaine s'écrit en revanche de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. La mise en évidence de la parité d'une fonction d'une variable réelle (qu'elle soit paire ou impaire) permet notamment de limiter son étude aux réels positifs. (fr) Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut pangkat dari yang memenuhi setiap kondisi tertentu: * fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap. * fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil. (in) In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier. (it) 수학에서 홀함수(영어: odd function) 또는 기함수(奇函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 덧셈 역원인 실수 함수이다. 짝함수(영어: even function) 또는 우함수(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. 해석학의 테일러 급수와 푸리에 급수 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 멱함수의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다. (ko) 数学において偶関数（ぐうかんすう、英: even function）および奇関数（きかんすう、英: odd function）は、変数の符号を反転させる変換に関してそれぞれ、特定の対称性を満足する関数である。これらは解析学の多くの分野、殊に冪級数やフーリエ級数に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する冪関数の冪指数の（整数としての）偶奇に由来する（すなわち、関数 f(x) = xn は n が偶数のとき偶関数であり、n が奇数のとき奇関数である）。 この、関数の偶奇性 (parity of function) の概念は、始域および終域がともに加法逆元（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意のアーベル群、（必ずしも可換でない）環や体、あるいはベクトル空間などが挙げられるから、従って例えば実変数実数値の関数やベクトル変数複素数値の関数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。 以下では特に断りのない限り、それら函数のグラフの対称性を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。 (ja) Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция чётна, когда чётно, и нечётна, когда нечётно. * Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат). * Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат). * Ни чётная, ни нечётная функция (или функция общего вида). В эту категорию относят функции, не попадающие в предыдущие 2 категории. (ru) Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest: * parzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem zmiany znaku argumentu); * nieparzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji). Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich należących do dziedziny funkcji Powyższe równości wymagają, aby wraz z do dziedziny należał również punkt stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera. (pl) Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x). Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo. Namnen motiveras bland annat av att funktionerna för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda. (sv) Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções. (pt) 在數學裡，偶函數和奇函數（英語：Even and odd functions）是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要，特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件：若n為一偶數，則函數是偶函數，若為一奇數，則為奇函數。 (zh) Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число. (uk)
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They are named for the parity of the powers of the power functions which satisfy each condition: the function is an even function if n is an even integer, and it is an odd function if n is an odd integer. (en) Sa mhatamaitic, feidhmeanna mar f(x) = f(-x). Bíonn graf réfheidhme siméadrach thart ar an y-ais (mar shampla, y = x2 is y = cos x). Mar mhalairt, is corrfheidhm a leithéid seo: f(-x) = -f(x) (mar shampla, y = x3 is y = sin x). (ga) Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut pangkat dari yang memenuhi setiap kondisi tertentu: * fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap. * fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil. (in) In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier. (it) 수학에서 홀함수(영어: odd function) 또는 기함수(奇函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 덧셈 역원인 실수 함수이다. 짝함수(영어: even function) 또는 우함수(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. 해석학의 테일러 급수와 푸리에 급수 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 멱함수의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다. (ko) 数学において偶関数（ぐうかんすう、英: even function）および奇関数（きかんすう、英: odd function）は、変数の符号を反転させる変換に関してそれぞれ、特定の対称性を満足する関数である。これらは解析学の多くの分野、殊に冪級数やフーリエ級数に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する冪関数の冪指数の（整数としての）偶奇に由来する（すなわち、関数 f(x) = xn は n が偶数のとき偶関数であり、n が奇数のとき奇関数である）。 この、関数の偶奇性 (parity of function) の概念は、始域および終域がともに加法逆元（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意のアーベル群、（必ずしも可換でない）環や体、あるいはベクトル空間などが挙げられるから、従って例えば実変数実数値の関数やベクトル変数複素数値の関数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。 以下では特に断りのない限り、それら函数のグラフの対称性を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。 (ja) Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x). Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo. Namnen motiveras bland annat av att funktionerna för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda. (sv) Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções. (pt) 在數學裡，偶函數和奇函數（英語：Even and odd functions）是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要，特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件：若n為一偶數，則函數是偶函數，若為一奇數，則為奇函數。 (zh) Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число. (uk) En matemàtiques, les funcions parelles i les funcions imparelles són funcions que satisfan unes relacions de simetria particulars respecte als canvis de signe. Són importants en moltes àrees de l'anàlisi matemàtica, especialment en l'estudi de les sèries de potències i les sèries de Fourier.La paritat d'una funció és el seu caràcter parell, imparell, o cap dels dos. (ca) En el estudio de las funciones reales de variable real, si consideramos el punto , nos interesa el comportamiento de cuando se toma el opuesto . Puede suceder que obtenga el mismo resultado que , en cuyo caso se trata de una función par. También puede suceder que para , se obtenga de modo que el resultado no es el mismo que el de , en cuyo caso se trata de una función impar. En el aspecto geométrico la no variación de al cambiar a , revela simetría de la gráfica de respecto al eje Y. La variación de a al reemplazar por , indica simetría respecto al origen de coordenadas. Entre las funciones reales hay funciones pares, impares y que no asumen ninguno de los casos mencionados. Por ejemplo , no es par ni impar, ya que no podemos definir esta función para números reales negativos. ​ (es) En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes : * fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x) ; * fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x). Les seules fonctions à être à la fois paires et impaires sont les fonctions nulles sur un domaine symétrique. (fr) Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. 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rdfs:label دوال زوجية وفردية (ar) Funcions parelles i imparelles (ca) Parita funkce (cs) Gerade und ungerade Funktionen (de) Pareco de funkcioj (eo) Funciones pares e impares (es) Réfheidhmeanna (ga) Fungsi ganjil dan genap (in) Even and odd functions (en) Parité d'une fonction (fr) Funzioni pari e dispari (it) 홀함수와 짝함수 (ko) 偶関数と奇関数 (ja) Funkcje parzyste i nieparzyste (pl) Paridade de funções (pt) Чётность функции (ru) Jämna och udda funktioner (sv) Парні та непарні функції (uk) 奇函數與偶函數 (zh)
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