Model category (original) (raw)
In mathematics, particularly in homotopy theory, a model category is a category with distinguished classes of morphisms ('arrows') called 'weak equivalences', 'fibrations' and 'cofibrations' satisfying certain axioms relating them. These abstract from the category of topological spaces or of chain complexes (derived category theory). The concept was introduced by Daniel G. Quillen. In recent decades, the language of model categories has been used in some parts of algebraic K-theory and algebraic geometry, where homotopy-theoretic approaches led to deep results.
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| dbo:abstract | In der mathematischen Homotopietheorie ist eine Modellkategorie eine Kategorie mit ausgewählten Unterklassen von Pfeilen, die „schwache Äquivalenzen“, „Faserungen“ und „Kofaserungen“ genannt werden. Die Anforderungen an diese Klassen stellen eine Abstraktion der entsprechenden topologischen Begriffe dar und ermöglichen die Konstruktion einer zugehörigen Homotopiekategorie nicht nur für die Kategorie der topologischen Räume, sondern etwa auch für die Kategorie der Kettenkomplexe. In letzterem Fall nennt man die zugehörigen Homotopiekategorien derivierte Kategorien. Der Begriff wurde im Jahr 1967 von Daniel G. Quillen eingeführt. (de) En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques. Ces dernières décennies, le langage des catégories de modèles a été utilisé en K-théorie algébrique et en géométrie algébrique, où les approches homotopiques ont mené à des résultats profonds. (fr) In mathematics, particularly in homotopy theory, a model category is a category with distinguished classes of morphisms ('arrows') called 'weak equivalences', 'fibrations' and 'cofibrations' satisfying certain axioms relating them. These abstract from the category of topological spaces or of chain complexes (derived category theory). The concept was introduced by Daniel G. Quillen. In recent decades, the language of model categories has been used in some parts of algebraic K-theory and algebraic geometry, where homotopy-theoretic approaches led to deep results. (en) 호모토피 이론에서 모형 범주(模型範疇, 영어: model category)는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다. 위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다. (ko) 数学、特にホモトピー論において、モデル圏とは「弱同値」、「ファイブレーション」そして「コファイブレーション」と呼ばれる射のクラスを備えた圏のことである。これらは従来の位相空間の圏や、鎖複体の圏などから抽象化されたものである。この概念は1967年にダニエル・キレンによって導入された。 近年では、モデル圏の言語は代数的K理論や代数幾何学の一部において、ホモトピー論的アプローチによって深い結果を得るために使用されている。 (ja) 在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。 (zh) |
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