Adjoint functors (original) (raw)
Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Adjunkce je v teorii kategorií vztah mezi dvěma funktory (a tím i vztah mezi dvěma kategoriemi), které se označují jako adjungované funktory, což se značí jako , přičemž je adjungovaný zleva ke (a naopak je adjungovaný zprava k ). Máme-li funktory a , pak je , pokud pro každé a existuje bijekce přirozená v obou parametrech. Existence adjungovaných funktorů mezi dvěma kategoriemi vyjadřuje mírnější obdobu ekvivalence těchto kategorií. Adjungované funktory mezi kategoriemi jsou zobecněním Galoisovy korespondence mezi částečně uspořádanými množinami. V obecné algebře se používají mimo jiné ke generování volných objektů. (cs) In mathematics, specifically category theory, adjunction is a relationship that two functors may exhibit, intuitively corresponding to a weak form of equivalence between two related categories. Two functors that stand in this relationship are known as adjoint functors, one being the left adjoint and the other the right adjoint. Pairs of adjoint functors are ubiquitous in mathematics and often arise from constructions of "optimal solutions" to certain problems (i.e., constructions of objects having a certain universal property), such as the construction of a free group on a set in algebra, or the construction of the Stone–Čech compactification of a topological space in topology. By definition, an adjunction between categories and is a pair of functors (assumed to be covariant) and and, for all objects in and in a bijection between the respective morphism sets such that this family of bijections is natural in and . Naturality here means that there are natural isomorphisms between the pair of functors and for a fixed in , and also the pair of functors and for a fixed in . The functor is called a left adjoint functor or left adjoint to , while is called a right adjoint functor or right adjoint to . An adjunction between categories and is somewhat akin to a "weak form" of an equivalence between and , and indeed every equivalence is an adjunction. In many situations, an adjunction can be "upgraded" to an equivalence, by a suitable natural modification of the involved categories and functors. (en) Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt. (de) En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, la adjunción es una relación entre dos funtores que aparece frecuentemente a través de las distintas ramas de las matemáticas y que captura una noción intuitiva de solución a un problema de optimización. Dos funtores y se dicen adjuntos entre sí, si existe una familia de biyecciones que es natural para cualesquiera e . La relación de que sea adjunto a izquierda de , o, equivalentemente, que sea adjunto a derecha de , se nota como . (es) L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ». (fr) 数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 𝒞 と 𝒟 の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 X, Y に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。 (ja) 범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다. (ko) In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori. L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza. Nella più concisa definizione simmetrica, un'aggiunzione tra due categorie C e D è una coppia di funtori, and e una famiglia di biiezioni che è naturale per tutte le variabili X in C e Y in D. Il funtore F è chiamato aggiunto sinistro, mentre G è chiamato aggiunto destro. La relazione "F è aggiunto sinistro a G", o equivalentemente "G è aggiunto destro a F", si denota anche con Questa e altre definizioni saranno approfondite nel seguito. (it) Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe. (pl) Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos natural em ; a condição de naturalidade é expressa por para cada , e , ou equivalentemente por para cada , e . Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se . Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção. (pt) Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики. Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым. (ru) 在範疇論中，函子若滿足，則稱之為一對伴隨函子，其中稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 (zh) Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики. Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Definition_of_the_counit_of_an_adjunction.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf http://wildcatsformma.wordpress.com |
| dbo:wikiPageID | 53991 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 64591 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1118292486 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_product dbr:Categorical_logic dbr:Categories_for_the_Working_Mathematician dbr:Preadditive_categories dbr:Product_topology dbr:Propositional_calculus dbr:Pullback_(category_theory) dbr:Saunders_Mac_Lane dbr:Model_theory dbr:Module_(mathematics) dbr:Monad_(category_theory) dbr:Topos_theory dbr:Bifunctor dbr:Hom-set dbr:Peter_J._Freyd dbr:Right_exact_functor dbr:Rng_(algebra) dbr:Currying dbr:Vector_space dbr:Inverse_image_functor dbr:Universal_algebra dbr:String_diagram dbr:Comonad dbr:Compact_space dbr:Continuous_map dbr:Material_conditional dbr:Mathematica dbr:Mathematics dbr:Natural_transformation dbr:Class_(set_theory) dbr:Closure_operator dbr:Equalizer_(mathematics) dbr:Full_subcategory dbr:Galois_connection dbr:Galois_theory dbr:Monoid dbr:Morphism dbr:Coproduct dbr:Equivalence_of_categories dbr:Left_exact_functor dbr:Limit_(category_theory) dbr:Logical_conjunction dbr:Stone–Čech_compactification dbr:Comma_category dbr:Commutative_diagram dbr:Complete_category dbr:Functional_analysis dbr:Functor dbr:Ideal_quotient dbr:Kernel_(algebra) dbr:Pointless_topology dbr:Suspension_(topology) dbc:Adjoint_functors dbr:Category_of_sets dbr:Topological_spaces dbr:William_Lawvere dbr:Dual_(category_theory) dbr:Covariant_functor dbr:Hausdorff_space dbr:Irving_Kaplansky dbr:K-theory dbr:Semigroup dbr:Stone_duality dbr:Abelianization dbr:Additive_categories dbr:Additive_functor dbr:Alexander_Grothendieck dbr:Algebraic_geometry dbr:Daniel_Kan dbr:Duality_(mathematics) dbr:Eugenia_Cheng dbr:Field_(mathematics) dbr:Partially_ordered_set dbr:Diagonal_functor dbr:Direct_image_functor dbr:Direct_sum_of_groups dbr:Direct_sum_of_modules dbr:Forgetful_functor dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Eilenberg–Moore_algebra dbr:Product_(category_theory) dbr:Quantifier_(logic) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_theory dbr:Group_(mathematics) dbr:Hilbert_space dbr:Tensor_product dbr:Abelian_group dbr:Abstract_algebra dbr:Abuse_of_notation dbr:Bijection dbr:Biproduct dbr:Supremum dbr:Coequalizer dbr:Cognate dbr:Coherent_sheaf dbr:Cokernel dbr:Hom_functor dbr:Homological_algebra dbr:Homotopy_category dbr:Homotopy_theory dbr:Trivial_topology dbr:Small_category dbr:Discrete_space dbr:Disjoint_union dbr:Division_(mathematics) dbr:Associative_algebra dbr:Polynomial_ring dbr:Field_of_fractions dbr:Free_functor dbr:Free_group dbr:Free_object dbr:Free_product dbr:Continuous_function_(topology) dbr:Grothendieck_group dbr:Group_representation dbr:Group_of_units dbr:Induced_representation dbr:Initial_object dbr:Kuratowski_closure_axioms dbr:Natural_isomorphism dbr:Negative_number dbr:Cartesian_closed_category dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_of_groups dbr:Category_theory dbr:Set_(mathematics) dbr:Kleisli_category dbr:Loop_space dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Sober_space dbr:Vector_bundle dbr:Existence_theorem dbr:Pushout_(category_theory) dbr:Universal_property dbr:Serre_duality dbr:Topological_space dbr:Subobject dbr:Tensor-hom_adjunction dbr:Ring_homomorphism dbr:Universal_construction dbr:Universal_morphism dbr:Universal_properties dbr:Powerset dbr:Duality_(category_theory) dbr:Ring_ideal dbr:Bilinear_mapping dbr:Dirac_delta_measure dbr:Accessible_functor dbr:Adjoint_operator dbr:Integral_group_ring dbr:Integral_monoid_ring dbr:Homotopy_classes dbr:Locally_presentable_category dbr:File:Adjoint_functors_sym.svg dbr:File:Definition_of_the_counit_of_an_adjunction.svg dbr:File:Definition_of_the_unit_of_an_adjunction_1.svg dbr:File:Natural_phi.svg dbr:File:String_diagram_adjunction.svg dbr:Wikt:adjoint dbr:Wikt:adjunct |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Anchor dbt:Authority_control dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Discuss dbt:Mvar dbt:Quote dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:YouTube dbt:Category_theory dbt:Functors |
| dcterms:subject | dbc:Adjoint_functors |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt. (de) En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, la adjunción es una relación entre dos funtores que aparece frecuentemente a través de las distintas ramas de las matemáticas y que captura una noción intuitiva de solución a un problema de optimización. Dos funtores y se dicen adjuntos entre sí, si existe una familia de biyecciones que es natural para cualesquiera e . La relación de que sea adjunto a izquierda de , o, equivalentemente, que sea adjunto a derecha de , se nota como . (es) L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ». (fr) 数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 𝒞 と 𝒟 の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 X, Y に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。 (ja) 범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다. (ko) Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe. (pl) Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos natural em ; a condição de naturalidade é expressa por para cada , e , ou equivalentemente por para cada , e . Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se . Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção. (pt) Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики. Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым. (ru) 在範疇論中，函子若滿足，則稱之為一對伴隨函子，其中稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 (zh) Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики. Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим. (uk) Adjunkce je v teorii kategorií vztah mezi dvěma funktory (a tím i vztah mezi dvěma kategoriemi), které se označují jako adjungované funktory, což se značí jako , přičemž je adjungovaný zleva ke (a naopak je adjungovaný zprava k ). Máme-li funktory a , pak je , pokud pro každé a existuje bijekce přirozená v obou parametrech. Existence adjungovaných funktorů mezi dvěma kategoriemi vyjadřuje mírnější obdobu ekvivalence těchto kategorií. (cs) In mathematics, specifically category theory, adjunction is a relationship that two functors may exhibit, intuitively corresponding to a weak form of equivalence between two related categories. Two functors that stand in this relationship are known as adjoint functors, one being the left adjoint and the other the right adjoint. Pairs of adjoint functors are ubiquitous in mathematics and often arise from constructions of "optimal solutions" to certain problems (i.e., constructions of objects having a certain universal property), such as the construction of a free group on a set in algebra, or the construction of the Stone–Čech compactification of a topological space in topology. (en) In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori. L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza. and e una famiglia di biiezioni (it) |
| rdfs:label | Adjoint functors (en) Adjungovaný funktor (cs) Adjunktion (Kategorientheorie) (de) Funtores adjuntos (es) Foncteur adjoint (fr) Funtore aggiunto (it) 수반 함자 (ko) 随伴関手 (ja) Funktory sprzężone (pl) Adjunção (teoria das categorias) (pt) Сопряжённые функторы (ru) 伴隨函子 (zh) Спряжені функтори (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Formal_criteria_for_adjoint_functors |
| owl:sameAs | freebase:Adjoint functors wikidata:Adjoint functors dbpedia-cs:Adjoint functors dbpedia-de:Adjoint functors dbpedia-es:Adjoint functors dbpedia-fr:Adjoint functors dbpedia-it:Adjoint functors dbpedia-ja:Adjoint functors dbpedia-ko:Adjoint functors dbpedia-pl:Adjoint functors dbpedia-pt:Adjoint functors dbpedia-ru:Adjoint functors dbpedia-uk:Adjoint functors dbpedia-zh:Adjoint functors https://global.dbpedia.org/id/3Jb73 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Adjoint_functors?oldid=1118292486&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Adjoint_functors_sym.svg wiki-commons:Special:FilePath/Definition_of_the_counit_of_an_adjunction.svg wiki-commons:Special:FilePath/Definition_of_the_unit_of_an_adjunction_1.svg wiki-commons:Special:FilePath/Natural_phi.svg wiki-commons:Special:FilePath/String_diagram_adjunction.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Adjoint_functors |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:⊣ dbr:Adjoint_functor dbr:Adjoint_functor_theorem dbr:Freyd's_adjoint_functor_theorem dbr:Freyd_adjoint_functor_theorem dbr:Right-adjoint dbr:Right_adjoint dbr:Counit_(category_theory) dbr:Adjoint_equivalance dbr:Adjoint_pair dbr:Adjoint_relation dbr:Adjointness dbr:Adjunction_(category_theory) dbr:Adjunction_map dbr:Left-adjoint dbr:Left_adjoint dbr:Unit_(category_theory) dbr:Unit_of_adjunction |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Categories_for_the_Working_Mathematician dbr:Beck's_monadicity_theorem dbr:Monad_(category_theory) dbr:Monoidal_adjunction dbr:Monoidal_category dbr:Algebra_representation dbr:Apply dbr:Peter_J._Freyd dbr:Currying dbr:Dagger_category dbr:Vectorization_(mathematics) dbr:⊣ dbr:Indiscrete_category dbr:String_diagram dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Natural_transformation dbr:Transpose_of_a_linear_map dbr:Alexandrov_topology dbr:Galois_connection dbr:Monad_(functional_programming) dbr:Equivalence_of_categories dbr:Operad dbr:Limit_(category_theory) dbr:Comma_category dbr:Commutator_subgroup dbr:Compactly_generated_space dbr:Complete_Heyting_algebra dbr:Complete_lattice dbr:Frobenius_reciprocity dbr:Functor dbr:Functor_category dbr:Partial_derivative dbr:Stalk_(sheaf) dbr:Additive_category dbr:Adjoint dbr:Tilting_theory dbr:Triangulated_category dbr:William_Lawvere dbr:Distributive_category dbr:Dual_object dbr:Giraud_subcategory dbr:Karoubi_envelope dbr:Localizing_subcategory dbr:T-norm dbr:Stone_duality dbr:Adjoint_functor dbr:Adjoint_functor_theorem dbr:Daniel_Kan dbr:Eta dbr:Nicolae_Popescu dbr:Diagonal_functor dbr:Diagram_(category_theory) dbr:DisCoCat dbr:Discrete_category dbr:Forgetful_functor dbr:Formal_criteria_for_adjoint_functors dbr:Gluing_axiom dbr:Kan_extension dbr:Kan_fibration dbr:Left_and_right_(algebra) dbr:RAPL dbr:Smash_product dbr:Adjunct dbr:Abelian_category dbr:Accessible_category dbr:Cofree_coalgebra dbr:Homotopy_category dbr:Topos dbr:Trivial_topology dbr:Reflective_subcategory dbr:Dialectic dbr:Axiom_of_choice dbr:Polynomial_ring dbr:Final_topology dbr:Free_Boolean_algebra dbr:Free_abelian_group dbr:Free_category dbr:Free_lattice dbr:Grothendieck_category dbr:Group_ring dbr:Groupoid dbr:Initial_and_terminal_objects dbr:Cartesian_closed_category dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_of_groups dbr:Category_of_preordered_sets dbr:Category_theory dbr:Semilattice dbr:Turnstile_(symbol) dbr:S5_(modal_logic) dbr:Exact_functor dbr:Verdier_duality dbr:Universal_property dbr:Simplex_category dbr:Six_operations dbr:Outline_of_category_theory dbr:Tensor-hom_adjunction dbr:Freyd's_adjoint_functor_theorem dbr:Freyd_adjoint_functor_theorem dbr:Right-adjoint dbr:Right_adjoint dbr:Counit_(category_theory) dbr:Adjoint_equivalance dbr:Adjoint_pair dbr:Adjoint_relation dbr:Adjointness dbr:Adjunction_(category_theory) dbr:Adjunction_map dbr:Left-adjoint dbr:Left_adjoint dbr:Unit_(category_theory) dbr:Unit_of_adjunction |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Adjoint_functors |
