Pick's theorem (original) (raw)
Pickův vzorec mluví o obsahu mnohoúhelníku daného na mřížce. Nese jméno rakouského matematika Georga Alexandera Picka. Obsah: i - počet bodů mřížky uvnitř mnohoúhelníku (mimo hrany)h - počet bodů mřížky na hranách mnohoúhelníku
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Pickův vzorec mluví o obsahu mnohoúhelníku daného na mřížce. Nese jméno rakouského matematika Georga Alexandera Picka. Obsah: i - počet bodů mřížky uvnitř mnohoúhelníku (mimo hrany)h - počet bodů mřížky na hranách mnohoúhelníku (cs) El Teorema de Pick és un teorema que ens permet calcular l'àrea de . El Teorema va ser formulat pel matemàtic Georg Pick l'any 1899, però no va ser del tot conegut fins a l'any 1969, quan va ser publicat en el llibre matemàtic . (ca) في الهندسة الرياضية، من أجل مضلع بسيط تم إنشاؤه على شبكة منتظمة من النقاط كما في الشكل المجاور بحيث أن جميع رؤوس المضلع هي نقاط من الشبكة، فإن مبرهنة بيك تعطي صيغة بسيطة لحساب مساحة المضلع A باستخدام عدد النقاط الداخلية i التي تقع داخل المضلع وعدد النقاط المحيطية b التي تقع على خط محيط المضلع بالعلاقة التالية: في المثال الموضح بالشكل (i = 39) و(b = 14) وينتج أن مساحة الشكل هي A = 39 + 14/2 − 1 = 39 + 7 − 1 = 45 (وحدة مربعة). يمكن تطبيق هذه المبرهنة على المضلعات البسيطة فقط :تلك التي لا تتقاطع أضلاعها ولا تحوي أي مضلعات أخرى في داخلها. (ar) Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters.) (de) El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras (los polígonos reticulares) con el número de puntos en su interior y en su borde (frontera) que tengan también coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece que: El teorema, como se muestra aquí es solo válido para polígonos simples, es decir, polígonos de una sola pieza que no tienen agujeros. Para una versión más general del teorema el "−1" de la fórmula puede ser reemplazado con "", donde es la Característica de Euler de P. Georg Alexander Pick describió el resultado en 1899. El tetraedro de Reeve muestra que no existe un análogo del teorema de Pinck en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo contando los puntos en su interior y borde. Sin embargo, existe una generalización en dimensiones superiores mediante . La fórmula también se generaliza a la superficie de los poliedros. (es) Le théorème de Pick est un théorème de géométrie, qui donne une relation mettant en jeu un polygone sur une grille du plan. (fr) In geometry, Pick's theorem provides a formula for the area of a simple polygon with integer vertex coordinates, in terms of the number of integer points within it and on its boundary. The result was first described by Georg Alexander Pick in 1899. It was popularized in English by Hugo Steinhaus in the 1950 edition of his book Mathematical Snapshots. It has multiple proofs, and can be generalized to formulas for certain kinds of non-simple polygons. (en) ピックの定理（-ていり、Pick's theorem）は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように格子点（等間隔に配置されている点）上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。 例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。 この定理は 1899 年に ゲオルグ・アレクサンダー・ピック(Georg Alexander Pick)によって初めて示され、エルハート多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。 同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもできる。 日本の義務教育ではこの公式は学習しないことが多い。 上に述べたこの定理は、単純な多角形、つまり単一の図形であり穴が開いていないものにのみ適用可能であることに注意されたい。 より一般的な多角形に対しては、同公式の − 1 を − χ(P) で置き換える必要がある。ここに χ(P) は、多角形 P のオイラー標数である。 (ja) 픽의 정리(영어: Pick's theorem)는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다. 모든 꼭짓점이 격자점 위에 존재하는 단순 다각형의 넓이를 A, 격자 다각형의 내부에 있는 점의 수를 i, 변 위에 있는 점의 수를 b라고 하면, 이들 사이에 다음의 식이 성립한다는 것이 알려져 있다.이 내용이 "픽의 정리"이다. 오른쪽 그림에서는 i의 값은 9이고 b의 값은 13이다. 픽의 정리를 사용하면 이 다각형의 넓이는 14.5임을 알 수 있다. (ko) De formule van Pick is een formule, in 1899 bedacht door Georg Alexander Pick , voor de oppervlakte van een roosterveelhoek, d.w.z. een veelhoek waarvan de hoekpunten op de punten van een regelmatig vierkant rooster liggen. De oppervlakte gemeten in het aantal roostervierkanten kan worden uitgedrukt in het aantal inwendige roosterpunten en het aantal roosterpunten op de omtrek. Er geldt: In het voorbeeld van de figuur is en . De oppervlakte is dus: (vierkantjes). (nl) Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere. (it) Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: gdzie oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta. Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur). Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez . Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów. (pl) Dado um polígono simples construído sobre uma grade de pontos equidistantes (i.e., pontos com coordenadas inteiras) de tal forma que todos os vértices do polígono sejam pontos da grade, o teorema de Pick fornece uma fórmula simples para o cálculo da área A desse polígono em termos do número i de pontos interiores localizados no polígono, e o número b de pontos fronteiriços localizados no perímetro do polígono: O teorema é válido apenas para polígonos simples, i.e., aqueles que consistem em uma única "peça" e não contêm "buracos". Foi descrito a primeira vez por Georg Alexander Pick. (pt) Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Теорема Піка (комплексний аналіз). Якщо розглянути простий многокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілими координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі цього многокутника, за кількістю (точок решітки усередині фігури) і кількістю (точок решітки), розміщених по периметру многокутника: У наведеному прикладі маємо i = 7 (внутрішніх точок) і b = 8 (граничних точок), так що площа = 7 + 82 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць. Вищенаведена теорема справедлива лише для простих многокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної межі, без перетинів і дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд: , де — кількість вершин всередині і на межі многокутника, — кількість точок решітки на межі многокутника, і — кількість дірок у многокутнику. Як приклад розглянемо многокутник, побудований за допомогою точок . Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.[джерело?] Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899. Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналогу теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм многогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для вищих розмірностей через многочлени Ергарта. (uk) Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел,даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами. Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году. (ru) Picks sats är ett polynom genom vilket man kan mäta arean på en yta med raka linjer, en tvådimensionell månghörning. Formeln skrivs där A är den totala arean av ytan, i antalet prickar inuti figuren och B antalet prickar som korsas av figurens linjer. (sv) 給定頂點座標均是整點（或正方形）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 和內部格點數目 、邊上格點數目 的關係：。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Pick-theorem.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ https://www.geogebra.org/m/y2nuDV37 |
| dbo:wikiPageID | 328252 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 19775 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1087585447 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Proof_assistant dbr:Euler's_polyhedral_formula dbr:Benchmark_(computing) dbc:Area dbr:Hugo_Steinhaus dbr:Dot_planimeter dbr:Doubly_periodic_function dbr:Integer_points_in_convex_polyhedra dbc:Articles_containing_proofs dbr:Gauss_circle_problem dbr:Ehrhart_polynomial dbr:GeoGebra dbr:Geometry dbr:Georg_Alexander_Pick dbc:Lattice_points dbc:Theorems_about_polygons dbr:Minkowski's_theorem dbr:Linear_equation dbr:Simple_polygon dbr:Weierstrass's_elliptic_functions dbc:Analytic_geometry dbc:Euclidean_plane_geometry dbr:Farey_sequence dbr:Tessellation dbr:Wolfram_Demonstrations_Project dbr:Area dbr:Blichfeldt's_theorem dbr:Winding_number dbr:Polyomino dbc:Digital_geometry dbr:Planar_graph dbr:Poisson_summation_formula dbr:Ed_Pegg,_Jr. dbr:Reeve_tetrahedron dbr:Vertex_(geometry) dbr:Shoelace_formula dbr:Euler_characteristic dbr:Planar_straight-line_graph dbr:Characteristic_function dbr:Right_triangle dbr:Complex_integration dbr:Bounding_box dbr:File:Grid_polygon_triangulation.svg dbr:File:Pick-theorem.svg dbr:File:Pick_triangle_tessellation.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:As_of dbt:Color dbt:Commons_category dbt:For dbt:Good_article dbt:Math dbt:R dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Area dbc:Articles_containing_proofs dbc:Lattice_points dbc:Theorems_about_polygons dbc:Analytic_geometry dbc:Euclidean_plane_geometry dbc:Digital_geometry |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheorems yago:WikicatTheoremsInGeometry yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Communication100033020 yago:Figure113862780 yago:Message106598915 yago:PlaneFigure113863186 yago:Polygon113866144 yago:Proposition106750804 yago:Shape100027807 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 yago:WikicatPolygons |
| rdfs:comment | Pickův vzorec mluví o obsahu mnohoúhelníku daného na mřížce. Nese jméno rakouského matematika Georga Alexandera Picka. Obsah: i - počet bodů mřížky uvnitř mnohoúhelníku (mimo hrany)h - počet bodů mřížky na hranách mnohoúhelníku (cs) El Teorema de Pick és un teorema que ens permet calcular l'àrea de . El Teorema va ser formulat pel matemàtic Georg Pick l'any 1899, però no va ser del tot conegut fins a l'any 1969, quan va ser publicat en el llibre matemàtic . (ca) في الهندسة الرياضية، من أجل مضلع بسيط تم إنشاؤه على شبكة منتظمة من النقاط كما في الشكل المجاور بحيث أن جميع رؤوس المضلع هي نقاط من الشبكة، فإن مبرهنة بيك تعطي صيغة بسيطة لحساب مساحة المضلع A باستخدام عدد النقاط الداخلية i التي تقع داخل المضلع وعدد النقاط المحيطية b التي تقع على خط محيط المضلع بالعلاقة التالية: في المثال الموضح بالشكل (i = 39) و(b = 14) وينتج أن مساحة الشكل هي A = 39 + 14/2 − 1 = 39 + 7 − 1 = 45 (وحدة مربعة). يمكن تطبيق هذه المبرهنة على المضلعات البسيطة فقط :تلك التي لا تتقاطع أضلاعها ولا تحوي أي مضلعات أخرى في داخلها. (ar) Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters.) (de) Le théorème de Pick est un théorème de géométrie, qui donne une relation mettant en jeu un polygone sur une grille du plan. (fr) In geometry, Pick's theorem provides a formula for the area of a simple polygon with integer vertex coordinates, in terms of the number of integer points within it and on its boundary. The result was first described by Georg Alexander Pick in 1899. It was popularized in English by Hugo Steinhaus in the 1950 edition of his book Mathematical Snapshots. It has multiple proofs, and can be generalized to formulas for certain kinds of non-simple polygons. (en) ピックの定理（-ていり、Pick's theorem）は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように格子点（等間隔に配置されている点）上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。 例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。 この定理は 1899 年に ゲオルグ・アレクサンダー・ピック(Georg Alexander Pick)によって初めて示され、エルハート多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。 同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもできる。 日本の義務教育ではこの公式は学習しないことが多い。 上に述べたこの定理は、単純な多角形、つまり単一の図形であり穴が開いていないものにのみ適用可能であることに注意されたい。 より一般的な多角形に対しては、同公式の − 1 を − χ(P) で置き換える必要がある。ここに χ(P) は、多角形 P のオイラー標数である。 (ja) 픽의 정리(영어: Pick's theorem)는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다. 모든 꼭짓점이 격자점 위에 존재하는 단순 다각형의 넓이를 A, 격자 다각형의 내부에 있는 점의 수를 i, 변 위에 있는 점의 수를 b라고 하면, 이들 사이에 다음의 식이 성립한다는 것이 알려져 있다.이 내용이 "픽의 정리"이다. 오른쪽 그림에서는 i의 값은 9이고 b의 값은 13이다. 픽의 정리를 사용하면 이 다각형의 넓이는 14.5임을 알 수 있다. (ko) De formule van Pick is een formule, in 1899 bedacht door Georg Alexander Pick , voor de oppervlakte van een roosterveelhoek, d.w.z. een veelhoek waarvan de hoekpunten op de punten van een regelmatig vierkant rooster liggen. De oppervlakte gemeten in het aantal roostervierkanten kan worden uitgedrukt in het aantal inwendige roosterpunten en het aantal roosterpunten op de omtrek. Er geldt: In het voorbeeld van de figuur is en . De oppervlakte is dus: (vierkantjes). (nl) Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere. (it) Dado um polígono simples construído sobre uma grade de pontos equidistantes (i.e., pontos com coordenadas inteiras) de tal forma que todos os vértices do polígono sejam pontos da grade, o teorema de Pick fornece uma fórmula simples para o cálculo da área A desse polígono em termos do número i de pontos interiores localizados no polígono, e o número b de pontos fronteiriços localizados no perímetro do polígono: O teorema é válido apenas para polígonos simples, i.e., aqueles que consistem em uma única "peça" e não contêm "buracos". Foi descrito a primeira vez por Georg Alexander Pick. (pt) Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел,даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами. Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году. (ru) Picks sats är ett polynom genom vilket man kan mäta arean på en yta med raka linjer, en tvådimensionell månghörning. Formeln skrivs där A är den totala arean av ytan, i antalet prickar inuti figuren och B antalet prickar som korsas av figurens linjer. (sv) 給定頂點座標均是整點（或正方形）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 和內部格點數目 、邊上格點數目 的關係：。 (zh) El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras (los polígonos reticulares) con el número de puntos en su interior y en su borde (frontera) que tengan también coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece que: (es) Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: gdzie oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta. Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur). (pl) Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Теорема Піка (комплексний аналіз). Якщо розглянути простий многокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілими координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі цього многокутника, за кількістю (точок решітки усередині фігури) і кількістю (точок решітки), розміщених по периметру многокутника: У наведеному прикладі маємо i = 7 (внутрішніх точок) і b = 8 (граничних точок), так що площа = 7 + 82 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць. , (uk) |
| rdfs:label | مبرهنة بيك (ar) Teorema de Pick (ca) Pickův vzorec (cs) Satz von Pick (de) Teorema de Pick (es) Théorème de Pick (fr) Teorema di Pick (it) 픽의 정리 (ko) ピックの定理 (ja) Pick's theorem (en) Formule van Pick (nl) Teorema de Pick (pt) Wzór Picka (pl) Picks sats (sv) Формула Пика (ru) 皮克定理 (zh) Теорема Піка (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Pick's theorem yago-res:Pick's theorem wikidata:Pick's theorem dbpedia-ar:Pick's theorem dbpedia-ca:Pick's theorem dbpedia-cs:Pick's theorem dbpedia-de:Pick's theorem dbpedia-es:Pick's theorem dbpedia-fa:Pick's theorem dbpedia-fi:Pick's theorem dbpedia-fr:Pick's theorem dbpedia-gl:Pick's theorem dbpedia-he:Pick's theorem dbpedia-hr:Pick's theorem dbpedia-hu:Pick's theorem http://hy.dbpedia.org/resource/Փիքի_թեորեմ dbpedia-it:Pick's theorem dbpedia-ja:Pick's theorem dbpedia-ko:Pick's theorem dbpedia-nl:Pick's theorem dbpedia-pl:Pick's theorem dbpedia-pms:Pick's theorem dbpedia-pt:Pick's theorem dbpedia-ru:Pick's theorem dbpedia-sv:Pick's theorem dbpedia-uk:Pick's theorem dbpedia-zh:Pick's theorem https://global.dbpedia.org/id/4popi |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Pick's_theorem?oldid=1087585447&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Grid_polygon_triangulation.svg wiki-commons:Special:FilePath/Pick-theorem.svg wiki-commons:Special:FilePath/Pick_triangle_tessellation.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Pick's_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Georg_Alexander_Pick |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Pick |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Pick's_Theorem dbr:Pick's_formula dbr:Pick_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Pythagorean_triple dbr:Dot_planimeter dbr:Integer_points_in_convex_polyhedra dbr:List_of_geometry_topics dbr:List_of_number_theory_topics dbr:List_of_prisoners_of_Theresienstadt dbr:1899_in_science dbr:Ehrhart_polynomial dbr:Georg_Alexander_Pick dbr:Minkowski's_theorem dbr:Computing_the_Continuous_Discretely dbr:Steinhaus_longimeter dbr:Pick dbr:Polygon dbr:Lattice_graph dbr:No-three-in-line_problem dbr:Digital_geometry dbr:Discrete_geometry dbr:Farey_sequence dbr:Area dbr:Blichfeldt's_theorem dbr:Triangle dbr:Integer_triangle dbr:Reeve_tetrahedron dbr:Mediant_(mathematics) dbr:Shoelace_formula dbr:List_of_theorems dbr:List_of_victims_of_Nazism dbr:The_Geometry_of_Numbers dbr:Pick's_Theorem dbr:Pick's_formula dbr:Pick_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Georg_Alexander_Pick |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Pick's_theorem |
