Product integral (original) (raw)
数学における「乗法的積分」（じょうほうてきせきぶん、英: "product integral"）は、古典微分積分学において通常の積分がある種の和の極限と見做されることに並行して、その乗法版となるものを指す示唆的な呼称である。原初の乗法的積分は、1887年にヴィト・ヴォルテラが線型微分方程式系を解くために用いた（後述）。そのほか、乗法的積分の例には幾何積分 (geometric integral)、第二幾何積分 (bigeometric integral) など非ニュートン微分積分学におけるいくつかの積分を挙げることができる。 本項ではヴォルテラらに倣い、乗法的積分を表すのに積分記号 ∫（や、それに積記号 × や P を重ねた変形版）ではなく ∏ を用いる。
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| dbo:abstract | En càlcul infinitesimal la Integral multiplicativa és una versió multiplicativa de la integral. Varen ser desenvolupades per primer cop pel biòleg i matemàtic Vito Volterra a la dècada del 1890 per resoldre sistemes d'equacions diferencials. Des de llavors les integrals multiplicatives han estat d'utilitat en àrees que van des de l'epidemiologia fins a la dinàmica estocàstica de poblacions (multigrals), l'anàlisi i fins i tot en mecànica quàntica. Les integrals multiplicatives no han tingut mai un tractament important en el desenvolupament de les matemàtiques, probablement a causa de la notació poc intuïtiva que va fer servir en Volterra. Fins a la data, periòdicament s'han anat redescobrint les integrals multiplicatives i ha anat creixent una gamma aclaparadora de terminologia i notació. En aquest article es fa servir la notació "producte" per indicar la integral multiplicativa en comptes de la "integral" (normalment modificada amb un símbol superposat de "multiplicació" o la lletra P) que és el que preferien en Volterra i d'altres. També s'ha adoptat una classificació arbitrària dels tipus d'integrals multiplicatives per tal d'imposar una mica d'ordre en aquest camp. (ca) En calculo infinitesimal la integral multiplicativa es una versión multiplicativa de la integral. Fueron desarrolladas por primera vez por el biólogo y matemático Vito Volterra en la década de 1890 para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Desde entonces las integrales multiplicativas han sido de utilidad en áreas que van desde la epidemiología (Estimador de Kaplan-Meier) hasta la dinámica estocástica de poblaciones (multigrales), el análisis e incluso en mecánica cuántica. Las integrales multiplicativas nunca han tenido un tratamiento importante en el desarrollo de las matemáticas, probablemente debido a la notación poco intuitiva que utilizó Volterra. Hasta la fecha, periódicamente se han ido redescubriendo las integrales multiplicativas y ha ido creciendo una abrumadora gama de terminología y notación. En este artículo se utiliza la notación «producto» para indicar la integral multiplicativa en lugar de la «integral» (normalmente modificada con un símbolo superpuesto de «multiplicación» o la letra P) que es lo que preferían Volterra y otros. También se ha adoptado una clasificación arbitraria de los tipos de integrales multiplicativas para imponer algo de orden en este campo. (es) A product integral is any product-based counterpart of the usual sum-based integral of calculus. The first product integral ( below) was developed by the mathematician Vito Volterra in 1887 to solve systems of linear differential equations. Other examples of product integrals are the ( below), the ( below), and some other integrals of non-Newtonian calculus. Product integrals have found use in areas from epidemiology (the Kaplan–Meier estimator) to stochastic population dynamics using multiplication integrals (multigrals), analysis and quantum mechanics. The , together with the , is useful in image analysis and in the study of growth/decay phenomena (e.g., in economic growth, bacterial growth, and radioactive decay). The , together with the bigeometric derivative, is useful in some applications of fractals, and in the theory of elasticity in economics. This article adopts the "product" notation for product integration instead of the "integral" (usually modified by a superimposed "times" symbol or letter P) favoured by Volterra and others. An arbitrary classification of types is also adopted to impose some order in the field. (en) 数学における「乗法的積分」（じょうほうてきせきぶん、英: "product integral"）は、古典微分積分学において通常の積分がある種の和の極限と見做されることに並行して、その乗法版となるものを指す示唆的な呼称である。原初の乗法的積分は、1887年にヴィト・ヴォルテラが線型微分方程式系を解くために用いた（後述）。そのほか、乗法的積分の例には幾何積分 (geometric integral)、第二幾何積分 (bigeometric integral) など非ニュートン微分積分学におけるいくつかの積分を挙げることができる。 本項ではヴォルテラらに倣い、乗法的積分を表すのに積分記号 ∫（や、それに積記号 × や P を重ねた変形版）ではなく ∏ を用いる。 (ja) Em cálculo infinitesimal, a integral produto ou integral multiplicativa é uma versão multiplicativa da integral. Foram primeiramente desenvolvidas pelo matemático e físico Vito Volterra em 1887 para resolver-se sistemas de equações diferenciais. Desde então integrais produto têm sido úteis em áreas que vão desde epidemiologia (estimador de Kaplan-Meier) até a dinâmica estocástica de populações, análise e mecânica quântica. Integrais produto não tem destaque na matemática mais difundida, provavelmente devido à notação contra-intuitiva que Volterra utilizou. Até agora, várias versões do Cálculo de Produto são regularmente redescobertos e a gama de terminologias e notações continua a crescer. (pt) |
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