Perron–Frobenius theorem (original) (raw)

About DBpedia

Der Satz von Perron-Frobenius befasst sich mit der Existenz eines positiven Eigenvektors zu einem positiven, betragsgrößten Eigenwert von nichtnegativen Matrizen. Die Aussagen haben eine wichtige Bedeutung zum Beispiel für die Potenzmethode und Markow-Ketten. Der Satz wurde zunächst von Oskar Perron für den einfacheren Fall positiver Matrizen gezeigt und dann von Ferdinand Georg Frobenius für nicht-negative Matrizen verallgemeinert. Die Begriffe positiv und nicht-negativ sind dabei elementweise zu verstehen: Dadurch wird auch eine Halbordnung unter Matrizen eingeführt, man schreibt , wenn gilt.

Property Value
dbo:abstract في الجبر الخطي، مبرهنة بيرون-وفروبانيوس (بالإنجليزية: Perron–Frobenius theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بنظرية المصفوفات. هي من اكتشاف أوسكار بيرون وجورج فروبنيوس. تنص المبرهنة على أن لمصفوفة مربعة A ذات مداخل حقيقية موجبة (أي أن كل مداخلها أكبر أو تساوي صفرا)، قيمة ذاتية حقيقية قصوى وحيدة وأنه من الممكن اختيار المتجهة الذاتية المرتبطة بها حيث تكون جميع إحداثيات هذه المتجة موجبة قطعا. وإذا كانت A غير قابلة للاختزال irreducible أي أن مخطط A شديد التوصيل (the graph of A is strongly connecteted) فإنه توجد أكبر من صفر ويوجد متجه ذاتي وحيد يسمى متجه برون فروبانيوس الذاتي قيمته المطلقة واحد وموجب أي كل عناصره أكبر من الصفر. في هذه الحالة يكون ما يلي: * كل القيم الذاتية الأخرى للمصفوفة A في قيمتها المطلقة أصغر من القيمة الذاتية المذكورة أعلاه أو تساويها. * القيمة الذاتية المذكورة أعلاه ذات تكرر جبري وهندسي يساوي 1 (algebraic and geometric multiplicity 1) * كل الأشعة الذاتية الأخرى هي عبارة عن عدد مضروب في شعاع برون فروبانيوس كما يمكن القول أنه إذا كانت المصفوفة منتظمة (regular) فإن القيم الذاتية الأخرى حتما أصغر من القيمة الذاتية التابعة لشعاع برون فروبانيوس. (ar) Der Satz von Perron-Frobenius befasst sich mit der Existenz eines positiven Eigenvektors zu einem positiven, betragsgrößten Eigenwert von nichtnegativen Matrizen. Die Aussagen haben eine wichtige Bedeutung zum Beispiel für die Potenzmethode und Markow-Ketten. Der Satz wurde zunächst von Oskar Perron für den einfacheren Fall positiver Matrizen gezeigt und dann von Ferdinand Georg Frobenius für nicht-negative Matrizen verallgemeinert. Die Begriffe positiv und nicht-negativ sind dabei elementweise zu verstehen: Dadurch wird auch eine Halbordnung unter Matrizen eingeführt, man schreibt , wenn gilt. (de) En álgebra lineal, el teorema de Perron-Frobenius, probado por Oskar Perron (1907) y Georg Frobenius (1912), afirma que una matriz cuadrada real con entradas positivas tiene un valor propio real único más grande y que el vector propio correspondiente puede elegirse para tener estrictamente componentes positivos, y también afirma una declaración similar para ciertas clases de matrices no negativas. Este teorema tiene importantes aplicaciones a la teoría de la probabilidad (ergodicidad de las cadenas de Markov); a la teoría de sistemas dinámicos (subdesplazamientos de tipo finito); a la economía (teorema de Okishio,​ condición de Hawkins-Simon​); a la demografía (modelo de distribución de edad de la población de Leslie );​ a las redes sociales (proceso de aprendizaje DeGroot), a los buscadores de Internet e incluso al ranking de equipos de fútbol.​ El primero en discutir el orden de los jugadores dentro de los torneos usando vectores propios de Perron-Frobenius es Edmund Landau .​​ (es) En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie), en théorie des graphes, en dynamique des populations (matrices de Leslie) et dans l'aspect mathématique du calcul des pagerank de Google. (fr) In matrix theory, the Perron–Frobenius theorem, proved by Oskar Perron and Georg Frobenius, asserts that a real square matrix with positive entries has a unique largest real eigenvalue and that the corresponding eigenvector can be chosen to have strictly positive components, and also asserts a similar statement for certain classes of nonnegative matrices. This theorem has important applications to probability theory (ergodicity of Markov chains); to the theory of dynamical systems (subshifts of finite type); to economics (Okishio's theorem, Hawkins–Simon condition);to demography (Leslie population age distribution model); to social networks (DeGroot learning process); to Internet search engines (PageRank); and even to ranking of footballteams. The first to discuss the ordering of players within tournaments using Perron–Frobenius eigenvectors is Edmund Landau. (en) 数学の線型代数学の分野におけるペロン＝フロベニウスの定理（ペロン＝フロベニウスのていり、英: Perron-Frobenius theorem）とは、とゲオルク・フロベニウスによって証明された定理で、成分が正である実正方行列には唯一つの最大実固有値が存在し、それに対応する固有ベクトルの各成分は厳密に正である、という主張が述べられている。また、あるクラスの非負行列に対しても、同様の主張が述べられている。この定理は様々な方面へと応用され、確率論（やマルコフ連鎖）や、力学系の理論（）、数値解析 (特に数値線形代数)、経済学（置塩の定理、レオンチェフの産業連関表）、人口学（）や、インターネット検索エンジンからフットボールチームのランキングに至るまで、その応用範囲は幅広い。 (ja) 아래는 페론-프로베니우스 정리(Perron-Frobenius theorem)에 대한 설명이다. 고유벡터 조건하에서 임을 확인할 수 있다. 임의의 행렬 를 예약하고 에 대하여 로 주어지는의 양의 부호를 갖는행렬을 조건으로해서 A의 고유값 가 영역에서 나타남을 확인할 수 있다.이어서 그로부터 확인할 수 있는 임의의 행렬의 모든 성분이 역시 양의 값을 갖는 고유벡터 가 존재하는 것을 확인할 수 있다. (ko) Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) e irriducibile allora 1. * L'autovalore di modulo massimo di è reale positivo 2. * Esso è un autovalore semplice 3. * L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive 4. * L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di 5. * L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione della matrice , è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se (s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e , allora Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di per catene di Markov finite. (it) Em álgebra linear, o teorema de Perron-Frobenius, provado por Oskar Perron (1907) e Ferdinand Georg Frobenius (1912), afirma que uma matriz real quadrada com entradas positivas tem um único maior autovalor e que o correspondente autovetor tem componentes estritamente positivos, e também afirma uma declaração semelhante para certas classes de matrizes não negativas. Este teorema tem aplicações importantes para a teoria de probabilidade (ergodicidade de cadeias de Markov ), para a teoria de sistemas dinâmicos; à Economia (modelo de Leontief); à demografia (modelo de distribuição etária de população Leslie) à base matemática de motores de busca na internete até mesmo a classificação dos times de futebol. (pt) Inom matematiken är Perron–Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius. (sv) Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами.Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова);в теории динамических систем;в экономике;в демографии;в социальных сетях;в поисковых системах. Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912).Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау. (ru) Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків (який довів її для додатного випадку) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін. (uk)
dbo:wikiPageExternalLink https://web.archive.org/web/20100619010320/https:/netfiles.uiuc.edu/meyn/www/spm_files/book.html https://web.archive.org/web/20100307021652/http:/www.matrixanalysis.com/Chapter8.pdf http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/%3FPID=PPN235181684_0064 http://www.matrixanalysis.com/Chapter8.pdf https://books.google.com/books%3Fid=cyX32q8ZP5cC&q=preceding%20section&pg=PA53
dbo:wikiPageID 1540333 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 58979 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1123964030 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Probability_distribution dbr:Proper_subset dbr:Root_of_unity dbr:M-matrix dbr:Metzler_matrix dbr:Monroe_D._Donsker dbr:David_Ruelle dbr:Algebraic_graph_theory dbr:Permutation_matrix dbr:Richard_S._Varga dbr:Characteristic_polynomial dbr:DeGroot_learning dbr:Dynamical_system dbr:Complex_number dbr:Complex_numbers dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_norm dbr:Maximum dbr:S._R._Srinivasa_Varadhan dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Eigenspace dbr:Eigenvalue dbr:Eigenvalues_and_eigenvectors dbr:Eigenvector dbr:Garrett_Birkhoff dbr:Greatest_common_divisor dbr:Miroslav_Fiedler dbr:Ergodicity dbr:Lothar_Collatz dbr:Chris_Godsil dbr:Similar_matrix dbr:Stochastic_matrix dbr:Compact_operator dbr:Leslie_matrix dbr:Mathematische_Annalen dbr:Spectral_theory dbr:Spectrum_of_a_matrix dbr:Transfer_operator dbc:Matrix_theory dbr:Cesàro_summation dbr:Hawkins–Simon_condition dbr:Irreducible_representation dbr:Linear_subspace dbr:Square_matrix dbr:Absolute_value dbr:Adjacency_matrix dbr:Edmund_Landau dbr:Field_(mathematics) dbr:PageRank dbc:Theorems_in_linear_algebra dbr:Directed_graph dbr:Gershgorin_circle_theorem dbr:Gordon_Royle dbr:Strongly_connected_component dbr:Positive_operator dbr:Projection_(linear_algebra) dbr:Iterated_function dbr:Hurwitz_matrix dbr:Dynamical_systems dbr:Thermodynamic_equilibrium dbc:Markov_processes dbr:Z-matrix_(mathematics) dbr:Arrow_of_time dbr:Polynomial dbr:Positive_number dbr:Spectral_radius dbr:Spectral_theorem dbr:Group_representation dbr:Min-max_theorem dbr:Minimum dbr:Real_square_matrix dbr:Markov_chain dbr:Shmuel_Friedland dbr:Nonnegative_matrices dbr:Exponential_growth dbr:Okishio's_theorem dbr:Subshift_of_finite_type dbr:Nonnegative_matrix dbr:Perron_number dbr:P-matrix dbr:Robert_J._Plemmons dbr:Matrix_theory dbr:Jordan_canonical_form dbr:Brouwer_fixed_point_theorem dbr:Point-set_topology dbr:Quasipositive_matrix dbr:Summability_theory dbr:Power_method dbr:Subshifts_of_finite_type dbr:Spectral_projection dbr:Wikisource:de:Sitzungsberichte_der_Kön...Akademie_der_Wissenschaften_zu_Berlin
dbp:authorlink Georg Frobenius (en) Oskar Perron (en)
dbp:date March 2015 (en)
dbp:first Oskar (en) Georg (en) D.A. (en)
dbp:id P/p072350 (en)
dbp:last Suprunenko (en) Perron (en) Frobenius (en)
dbp:reason What are the restrictions on B? (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Clarify dbt:Main dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Isbn dbt:Harvs dbt:Eom
dbp:year 1907 (xsd:integer) 1912 (xsd:integer)
dcterms:subject dbc:Matrix_theory dbc:Theorems_in_linear_algebra dbc:Markov_processes
rdf:type yago:WikicatMarkovProcesses yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatMatrices yago:WikicatTheorems yago:WikicatTheoremsInLinearAlgebra yago:Abstraction100002137 yago:Act100030358 yago:Activity100407535 yago:Arrangement107938773 yago:Array107939382 yago:Communication100033020 yago:Event100029378 yago:Group100031264 yago:Matrix108267640 yago:Message106598915 yago:Procedure101023820 yago:Proposition106750804 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293
rdfs:comment Der Satz von Perron-Frobenius befasst sich mit der Existenz eines positiven Eigenvektors zu einem positiven, betragsgrößten Eigenwert von nichtnegativen Matrizen. Die Aussagen haben eine wichtige Bedeutung zum Beispiel für die Potenzmethode und Markow-Ketten. Der Satz wurde zunächst von Oskar Perron für den einfacheren Fall positiver Matrizen gezeigt und dann von Ferdinand Georg Frobenius für nicht-negative Matrizen verallgemeinert. Die Begriffe positiv und nicht-negativ sind dabei elementweise zu verstehen: Dadurch wird auch eine Halbordnung unter Matrizen eingeführt, man schreibt , wenn gilt. (de) En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie), en théorie des graphes, en dynamique des populations (matrices de Leslie) et dans l'aspect mathématique du calcul des pagerank de Google. (fr) 数学の線型代数学の分野におけるペロン＝フロベニウスの定理（ペロン＝フロベニウスのていり、英: Perron-Frobenius theorem）とは、とゲオルク・フロベニウスによって証明された定理で、成分が正である実正方行列には唯一つの最大実固有値が存在し、それに対応する固有ベクトルの各成分は厳密に正である、という主張が述べられている。また、あるクラスの非負行列に対しても、同様の主張が述べられている。この定理は様々な方面へと応用され、確率論（やマルコフ連鎖）や、力学系の理論（）、数値解析 (特に数値線形代数)、経済学（置塩の定理、レオンチェフの産業連関表）、人口学（）や、インターネット検索エンジンからフットボールチームのランキングに至るまで、その応用範囲は幅広い。 (ja) 아래는 페론-프로베니우스 정리(Perron-Frobenius theorem)에 대한 설명이다. 고유벡터 조건하에서 임을 확인할 수 있다. 임의의 행렬 를 예약하고 에 대하여 로 주어지는의 양의 부호를 갖는행렬을 조건으로해서 A의 고유값 가 영역에서 나타남을 확인할 수 있다.이어서 그로부터 확인할 수 있는 임의의 행렬의 모든 성분이 역시 양의 값을 갖는 고유벡터 가 존재하는 것을 확인할 수 있다. (ko) Em álgebra linear, o teorema de Perron-Frobenius, provado por Oskar Perron (1907) e Ferdinand Georg Frobenius (1912), afirma que uma matriz real quadrada com entradas positivas tem um único maior autovalor e que o correspondente autovetor tem componentes estritamente positivos, e também afirma uma declaração semelhante para certas classes de matrizes não negativas. Este teorema tem aplicações importantes para a teoria de probabilidade (ergodicidade de cadeias de Markov ), para a teoria de sistemas dinâmicos; à Economia (modelo de Leontief); à demografia (modelo de distribuição etária de população Leslie) à base matemática de motores de busca na internete até mesmo a classificação dos times de futebol. (pt) Inom matematiken är Perron–Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius. (sv) Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами.Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова);в теории динамических систем;в экономике;в демографии;в социальных сетях;в поисковых системах. Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912).Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау. (ru) Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків (який довів її для додатного випадку) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін. (uk) في الجبر الخطي، مبرهنة بيرون-وفروبانيوس (بالإنجليزية: Perron–Frobenius theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بنظرية المصفوفات. هي من اكتشاف أوسكار بيرون وجورج فروبنيوس. تنص المبرهنة على أن لمصفوفة مربعة A ذات مداخل حقيقية موجبة (أي أن كل مداخلها أكبر أو تساوي صفرا)، قيمة ذاتية حقيقية قصوى وحيدة وأنه من الممكن اختيار المتجهة الذاتية المرتبطة بها حيث تكون جميع إحداثيات هذه المتجة موجبة قطعا. (ar) En álgebra lineal, el teorema de Perron-Frobenius, probado por Oskar Perron (1907) y Georg Frobenius (1912), afirma que una matriz cuadrada real con entradas positivas tiene un valor propio real único más grande y que el vector propio correspondiente puede elegirse para tener estrictamente componentes positivos, y también afirma una declaración similar para ciertas clases de matrices no negativas. Este teorema tiene importantes aplicaciones a la teoría de la probabilidad (ergodicidad de las cadenas de Markov); a la teoría de sistemas dinámicos (subdesplazamientos de tipo finito); a la economía (teorema de Okishio,​ condición de Hawkins-Simon​); a la demografía (modelo de distribución de edad de la población de Leslie );​ a las redes sociales (proceso de aprendizaje DeGroot), a los buscador (es) In matrix theory, the Perron–Frobenius theorem, proved by Oskar Perron and Georg Frobenius, asserts that a real square matrix with positive entries has a unique largest real eigenvalue and that the corresponding eigenvector can be chosen to have strictly positive components, and also asserts a similar statement for certain classes of nonnegative matrices. This theorem has important applications to probability theory (ergodicity of Markov chains); to the theory of dynamical systems (subshifts of finite type); to economics (Okishio's theorem, Hawkins–Simon condition);to demography (Leslie population age distribution model); to social networks (DeGroot learning process); to Internet search engines (PageRank); and even to ranking of footballteams. The first to discuss the ordering of pla (en) Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) e irriducibile allora 1. * L'autovalore di modulo massimo di è reale positivo 2. * Esso è un autovalore semplice 3. * L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive 4. * L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di 5. * L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione della matrice , è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se (s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e , allora (it)
rdfs:label مبرهنة بيرون-فروبانيوس (ar) Satz von Perron-Frobenius (de) Teorema de Perron-Frobenius (es) Théorème de Perron-Frobenius (fr) Teorema di Perron-Frobenius (it) ペロン＝フロベニウスの定理 (ja) 페론-프로베니우스 정리 (ko) Perron–Frobenius theorem (en) Teorema de Perron-Frobenius (pt) Теорема Фробениуса — Перрона (ru) Perron–Frobenius sats (sv) Теорема Перрона — Фробеніуса (uk)
owl:sameAs freebase:Perron–Frobenius theorem wikidata:Perron–Frobenius theorem dbpedia-ar:Perron–Frobenius theorem dbpedia-de:Perron–Frobenius theorem dbpedia-es:Perron–Frobenius theorem dbpedia-fa:Perron–Frobenius theorem dbpedia-fr:Perron–Frobenius theorem dbpedia-he:Perron–Frobenius theorem dbpedia-it:Perron–Frobenius theorem dbpedia-ja:Perron–Frobenius theorem dbpedia-ko:Perron–Frobenius theorem dbpedia-pt:Perron–Frobenius theorem dbpedia-ru:Perron–Frobenius theorem dbpedia-sv:Perron–Frobenius theorem dbpedia-uk:Perron–Frobenius theorem https://global.dbpedia.org/id/YrCP
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Perron–Frobenius_theorem?oldid=1123964030&ns=0
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Perron–Frobenius_theorem
is dbo:knownFor of dbr:Lothar_Collatz dbr:Oskar_Perron
is dbo:wikiPageDisambiguates of dbr:Frobenius_theorem
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Perron-Frobenius_theorem dbr:Collatz-Wielandt_formula dbr:Ruelle-Perron-Frobenius_theorem dbr:Primitive_matrix dbr:Frobenius-Perron_Equation dbr:Frobenius-Perron_eigenvector dbr:Frobenius-Perron_equation dbr:Frobenius-Perron_theorem dbr:Frobenius–Perron_theorem dbr:Ruelle–Perron–Frobenius_theorem dbr:Perron-Frobenius_eigenvalue dbr:Perron-Frobenius_eigenvector dbr:Perron–Frobenius_eigenvalue dbr:Perron–Frobenius_eigenvector dbr:Collatz–Wielandt_formula
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:M-matrix dbr:Metzler_matrix dbr:Richard_M._Goodwin dbr:Algebraic_statistics dbr:Regular_graph dbr:DeGroot_learning dbr:Perron-Frobenius_theorem dbr:Operator_theory dbr:Quasispecies_model dbr:Collatz-Wielandt_formula dbr:Google_matrix dbr:Lothar_Collatz dbr:Stochastic_matrix dbr:Comparison_matrix dbr:Frobenius_theorem dbr:Krein–Rutman_theorem dbr:Maximal_entropy_random_walk dbr:Measure-preserving_dynamical_system dbr:Transfer_operator dbr:Hawkins–Simon_condition dbr:Irreducibility_(mathematics) dbr:Stationary_distribution dbr:Adjacency_matrix dbr:Alfred_Pringsheim dbr:Non-negative_least_squares dbr:Oskar_Perron dbr:Carathéodory's_theorem_(convex_hull) dbr:Centrality dbr:Gershgorin_circle_theorem dbr:Hilbert_metric dbr:List_of_Heidelberg_University_people dbr:H-matrix_(iterative_method) dbr:Heidelberg_University_Faculty_of_Mathematics_and_Computer_Science dbr:Hurwitz_matrix dbr:CheiRank dbr:Eigenvector_centrality dbr:Holomorphic_functional_calculus dbr:Markov_chain dbr:Marxian_economics dbr:Ruelle-Perron-Frobenius_theorem dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Ferdinand_Georg_Frobenius dbr:Okishio's_theorem dbr:Train_track_map dbr:Scientific_phenomena_named_after_people dbr:Nonnegative_matrix dbr:Perron_number dbr:Outline_of_linear_algebra dbr:P-matrix dbr:Primitive_matrix dbr:Frobenius-Perron_Equation dbr:Frobenius-Perron_eigenvector dbr:Frobenius-Perron_equation dbr:Frobenius-Perron_theorem dbr:Frobenius–Perron_theorem dbr:Ruelle–Perron–Frobenius_theorem dbr:Perron-Frobenius_eigenvalue dbr:Perron-Frobenius_eigenvector dbr:Perron–Frobenius_eigenvalue dbr:Perron–Frobenius_eigenvector dbr:Collatz–Wielandt_formula
is dbp:knownFor of dbr:Lothar_Collatz dbr:Oskar_Perron
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Perron–Frobenius_theorem