Taylor's theorem (original) (raw)
En cálculo diferencial, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico, Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui el va enunciar el 1712. Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest punt. En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que: On, n! denota el factorial de n, i R és la resta, terme que depèn x i és petit si x està pròxim al punt a. Existeixen dues expressions per a R que s'esmenten a continuació: on ξ (valor comprès entre x i a), a i x pertanyen als reals, i n als naturals. Si R és expressat de la primera forma, se l'anomena Terme complementari de Lagrange, atès que el teorema de Taylor s'exposa com una generalització del Teorema del valor mitjà del càlcul diferencial, mentre que la segona expressió de R mostra el teorema com una generalització del Teorema fonamental del càlcul integral. Per a algunes funcions f(x), es pot provar que la resta, R, s'aproxima a zero quan n s'acosta a ∞; aquestes funcions poden ser expressades com a sèries de Taylor en un entorn reduït al voltant d'un punt a i són denominades funcions analítiques. El teorema de Taylor amb R expressat de la segona forma és també vàlid si la funció f té nombres complexos o valors vectorials. A més existeix una variació del teorema de Taylor adaptat a funcions amb múltiples variables. (ca) Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur-, Sozial- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze. Die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion. Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung). (de) En cálculo diferencial, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico, Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. (es) En mathématiques, plus précisément en analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynomiale est parfois appelée polynôme de Taylor. (fr) Dalam kalkulus, teorema Taylor menyatakan bahwa suatu fungsi yang terdiferensiasi dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat atau suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Lebih lanjut, teorema ini juga memberikan estimasi nilai galat dari seberapa banyaknya barisan dalam deret yang digunakan. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory. (in) In calculus, Taylor's theorem gives an approximation of a k-times differentiable function around a given point by a polynomial of degree k, called the kth-order Taylor polynomial. For a smooth function, the Taylor polynomial is the truncation at the order k of the Taylor series of the function. The first-order Taylor polynomial is the linear approximation of the function, and the second-order Taylor polynomial is often referred to as the quadratic approximation. There are several versions of Taylor's theorem, some giving explicit estimates of the approximation error of the function by its Taylor polynomial. Taylor's theorem is named after the mathematician Brook Taylor, who stated a version of it in 1715, although an earlier version of the result was already mentioned in 1671 by James Gregory. Taylor's theorem is taught in introductory-level calculus courses and is one of the central elementary tools in mathematical analysis. It gives simple arithmetic formulas to accurately compute values of many transcendental functions such as the exponential function and trigonometric functions.It is the starting point of the study of analytic functions, and is fundamental in various areas of mathematics, as well as in numerical analysis and mathematical physics. Taylor's theorem also generalizes to multivariate and vector valued functions. (en) 미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다. (ko) 微分積分学において、テイラーの定理（テイラーのていり、英: Taylor's theorem）は、k 回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式によって与える。解析関数に対しては、与えられた点におけるテイラー多項式は、そのテイラー級数を有限項で切ったものである。テイラー級数は関数を点のある近傍において完全に決定する。「テイラーの定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。 テイラーの定理は1712年に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor) にちなんで名づけられている。しかし誤差の明示的な表現はかなり後になってジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) によってはじめて与えられた。結果の初期のバージョンはすでに1671年にジェームス・グレゴリー (James Gregory) によって言及されている。 テイラーの定理は微分積分学の入門レベルで教えられ、解析学の中心的な初等的道具の1つである。純粋数学ではより進んだの入り口であり、より応用的な分野の数値解析や数理物理学においてよく使われている。テイラーの定理は任意次元 n, m の多変数ベクトル値関数 f: Rn → Rm にも一般化する。テイラーの定理のこの一般化は微分幾何学や偏微分方程式において現れるいわゆるの定義の基礎である。 (ja) Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto. I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di Taylor. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del Teorema di Lagrange: infatti ad una funzione differenziabile in un intervallo , e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange: dove . Da questa si ottiene: che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange. (it) De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden uit de afgeleiden van de functie in dat punt bepaald. Als een functie voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van het punt kan de functiewaarde in een punt uit die omgeving successievelijk worden benaderd door de polynomen: en zo verder: Deze laatste som heet de -de taylorpolynoom van in . Het verschil tussen en de benaderende -de taylorpolynoom heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm. De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm. (nl) Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n + 1)-razy różniczkowalnej za pomocą sumy wielomianu n-tego stopnia, zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych. (pl) Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора. Эта теорема названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1712 году. Явное выражение для ошибки приближения было дано намного позже Жозефом Лагранжем. Ранее, в 1671 году, Джеймсом Грегори уже было упомянуто следствие из теоремы. Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа. Теорема также используется в математической физике. Она также обобщается на функции нескольких переменных и векторные функции для любых размерностей и . Это обобщение теоремы Тейлора является базовым для определения так называемых струй, которые появляются в дифференциальной геометрии и в теории дифференциальных уравнений с частными производными. (ru) Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se ≥ 0 é um inteiro e uma função que é derivável vezes no intervalo fechado [, ] e n+1 no intervalo aberto ] , [, então, deduz-se que: Onde, denota o fatorial de , e é o resto, termo que depende de e é pequeno se está próximo ao ponto . Existem duas expressões para que referem-se à continuação: onde e , pertencem aos números reais, aos inteiros e é um número real entre e . Se é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral. Para algumas funções , pode-se provar que o resto, , aproxima-se de zero quando aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto e são denominadas funções analíticas. O teorema de Taylor com expresso da segunda forma é também válido se a função tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis. (pt) Теорема Тейлора дає наближення до функції, що диференціюється k раз, поблизу даної точки за допомогою многочлена Тейлора k-го порядку. Для аналітичних функцій многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного ряду Тейлора, який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора. Ця теорема названа на честь математика Брука Тейлора, який сформулював одну з її версій в 1712 році. Явний вираз для помилки наближення було дано набагато пізніше Жозефом Лагранжем. Раніше, в 1671 році, Джеймсом Грегорі вже було згадано наслідок з теореми. Теорема Тейлора дозволяє опанувати прийомами обчислень початкового рівня, і вона є одним з центральних елементарних інструментів у математичному аналізі. При вивченні математики вона є початковою точкою для вивчення асимптотичного аналізу. Теорема також використовується в математичній фізиці. Вона також узагальнює аналіз функцій декількох змінних і векторні функції f : Rn → Rm для будь-яких вимірів n і m. Це узагальнення теореми Тейлора є базовим для визначення так званих струменів, які з'являються в диференціальній геометрії й в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. (uk) 在数学中，泰勒公式（英語：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有余項的現在形式的泰勒定理。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Taylorspolynomialexbig.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/calculus01apos https://archive.org/details/firstcourseinana0000pedr http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html https://www.math.cuhk.edu.hk/course_builder/1516/math1010c/Taylor.pdf http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html http://numericalmethods.eng.usf.edu |
| dbo:wikiPageID | 51714 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 50350 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124379567 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:Power_series dbr:Multivariate_function dbr:Meromorphic_function dbr:Decimal_representation dbr:Denominator dbr:Derivative dbr:Approximation_error dbc:Approximations dbr:Peano dbr:Riemann_integral dbr:1671_in_science dbc:Articles_containing_proofs dbr:Complex_analysis dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Continuous_function dbr:Analytic_function dbr:Mathematical_analysis dbr:Mathematical_induction dbr:Mean_value_theorem dbr:Circle dbr:Function_(mathematics) dbr:Fundamental_theorem_of_calculus dbr:Geometric_series dbr:Multi-index_notation dbr:Multinomial_coefficient dbr:Approximation dbr:Linear_approximation dbr:Smooth_function dbr:Partial_derivative dbr:Mathematical_physics dbr:Cauchy's_integral_formula dbr:Trigonometric_function dbr:Cut-the-knot dbr:Exponential_function dbr:Absolutely_continuous dbr:Brook_Taylor dbr:Numerator dbr:Numerical_analysis dbr:Cauchy–Hadamard_theorem dbr:Differential_of_a_function dbr:Closed_interval dbr:Uniform_convergence dbr:Linear_functional dbr:Taylor's_theorem dbr:Taylor_series dbc:Theorems_in_real_analysis dbr:Chain_rule dbr:L'Hôpital's_rule dbc:Theorems_in_calculus dbr:Symmetry_of_second_derivatives dbr:Jordan_curve dbr:Joseph_Louis_Lagrange dbr:Differentiable_function dbr:Polynomial dbr:Continuously_differentiable dbr:If_and_only_if dbr:Integer dbr:Integration_by_parts dbr:Neighborhood_(mathematics) dbr:Open_interval dbr:Factorial dbr:Complex_derivative dbr:Complex_differentiable dbr:Flat_function dbr:Partial_derivatives dbr:Non-analytic_smooth_function dbr:Transcendental_function dbr:Vector_valued_function dbr:Tangent_line dbr:Open_disk dbr:Augustin_Louis_Cauchy dbr:James_Gregory_(astronomer_and_mathematician) dbr:Quadratic_polynomial dbr:Lebesgue_integral dbr:Closed_ball dbr:Closed_disk dbr:Compact_set dbr:Complex_analytic dbr:Little-o_notation dbr:File:E^x_with_linear_approximation.png dbr:File:E^x_with_quadratic_approximation_corrected.png dbr:File:Expanimation.gif dbr:File:Function_with_two_poles.png dbr:File:Tayloranimation.gif dbr:File:Taylorspolynomialexbig.svg |
| dbp:id | Taylor's_Theorem/One_Variable (en) |
| dbp:mathStatement | Let (en) . Then there exist functions , where such that : (en) . Then there exists a function (en) such that : and : This is called the Peano form of the remainder. (en) Let k ≥ 1 be an integer and let the function (en) a ∈ R (en) a ∈ Rn (en) be k times differentiable at the point (en) f : R → R (en) f : Rn → R (en) hk : R → R (en) Let f be absolutely continuous on the closed interval between a and x. Then : (en) be k + 1 times differentiable on the open interval with f continuous on the closed interval between a and x. Then : for some real number ξL between a and x. This is the Lagrange form of the remainder. Similarly, : for some real number ξC between a and x. This is the Cauchy form of the remainder. (en) be a k-times continuously differentiable function at the point (en) |
| dbp:name | Taylor's theorem (en) Integral form of the remainder (en) Mean-value forms of the remainder (en) Multivariate version of Taylor's theorem (en) |
| dbp:title | Proofs for a few forms of the remainder in one-variable case (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Clear dbt:I_sup dbt:Math dbt:NumBlk dbt:Pi dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Val dbt:EquationRef dbt:Calculus_topics dbt:EquationNote dbt:Math_theorem dbt:Calculus dbt:ProofWiki |
| dct:subject | dbc:Approximations dbc:Articles_containing_proofs dbc:Theorems_in_real_analysis dbc:Theorems_in_calculus |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheorems yago:WikicatTheoremsInAnalysis yago:WikicatTheoremsInCalculus yago:WikicatTheoremsInRealAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | En cálculo diferencial, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico, Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. (es) En mathématiques, plus précisément en analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynomiale est parfois appelée polynôme de Taylor. (fr) Dalam kalkulus, teorema Taylor menyatakan bahwa suatu fungsi yang terdiferensiasi dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat atau suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Lebih lanjut, teorema ini juga memberikan estimasi nilai galat dari seberapa banyaknya barisan dalam deret yang digunakan. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory. (in) 미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다. (ko) 在数学中，泰勒公式（英語：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有余項的現在形式的泰勒定理。 (zh) En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui el va enunciar el 1712. Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest punt. En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que: on ξ (valor comprès entre x i a), a i x pertanyen als reals, i n als naturals. (ca) Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur-, Sozial- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze. Die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe diese (de) In calculus, Taylor's theorem gives an approximation of a k-times differentiable function around a given point by a polynomial of degree k, called the kth-order Taylor polynomial. For a smooth function, the Taylor polynomial is the truncation at the order k of the Taylor series of the function. The first-order Taylor polynomial is the linear approximation of the function, and the second-order Taylor polynomial is often referred to as the quadratic approximation. There are several versions of Taylor's theorem, some giving explicit estimates of the approximation error of the function by its Taylor polynomial. (en) Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto. dove . Da questa si ottiene: che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange. (it) 微分積分学において、テイラーの定理（テイラーのていり、英: Taylor's theorem）は、k 回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式によって与える。解析関数に対しては、与えられた点におけるテイラー多項式は、そのテイラー級数を有限項で切ったものである。テイラー級数は関数を点のある近傍において完全に決定する。「テイラーの定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。 テイラーの定理は1712年に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor) にちなんで名づけられている。しかし誤差の明示的な表現はかなり後になってジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) によってはじめて与えられた。結果の初期のバージョンはすでに1671年にジェームス・グレゴリー (James Gregory) によって言及されている。 (ja) De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden uit de afgeleiden van de functie in dat punt bepaald. Als een functie voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van het punt kan de functiewaarde in een punt uit die omgeving successievelijk worden benaderd door de polynomen: en zo verder: De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm. (nl) Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n + 1)-razy różniczkowalnej za pomocą sumy wielomianu n-tego stopnia, zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. (pl) Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора. (ru) Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se ≥ 0 é um inteiro e uma função que é derivável vezes no intervalo fechado [, ] e n+1 no intervalo aberto ] , [, então, deduz-se que: onde e , pertencem aos números reais, aos inteiros e é um número real entre e . (pt) Теорема Тейлора дає наближення до функції, що диференціюється k раз, поблизу даної точки за допомогою многочлена Тейлора k-го порядку. Для аналітичних функцій многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного ряду Тейлора, який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора. (uk) |
| rdfs:label | مبرهنة تايلور (ar) Teorema de Taylor (ca) Taylor-Formel (de) Teorema de Taylor (es) Théorème de Taylor (fr) Teorema Taylor (in) Teorema di Taylor (it) 테일러 정리 (ko) テイラーの定理 (ja) Stelling van Taylor (nl) Wzór Taylora (pl) Теорема Тейлора (ru) Teorema de Taylor (pt) Taylor's theorem (en) 泰勒公式 (zh) Теорема Тейлора (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Taylor's theorem yago-res:Taylor's theorem http://d-nb.info/gnd/4184549-3 wikidata:Taylor's theorem dbpedia-ar:Taylor's theorem dbpedia-az:Taylor's theorem dbpedia-bar:Taylor's theorem dbpedia-bg:Taylor's theorem dbpedia-ca:Taylor's theorem dbpedia-de:Taylor's theorem dbpedia-es:Taylor's theorem dbpedia-et:Taylor's theorem dbpedia-fa:Taylor's theorem dbpedia-fr:Taylor's theorem dbpedia-he:Taylor's theorem http://hi.dbpedia.org/resource/टेलर_प्रमेय dbpedia-hu:Taylor's theorem dbpedia-id:Taylor's theorem dbpedia-is:Taylor's theorem dbpedia-it:Taylor's theorem dbpedia-ja:Taylor's theorem dbpedia-kk:Taylor's theorem dbpedia-ko:Taylor's theorem dbpedia-nl:Taylor's theorem dbpedia-pl:Taylor's theorem dbpedia-pms:Taylor's theorem dbpedia-pt:Taylor's theorem dbpedia-ru:Taylor's theorem dbpedia-sh:Taylor's theorem dbpedia-simple:Taylor's theorem dbpedia-sr:Taylor's theorem dbpedia-tr:Taylor's theorem dbpedia-uk:Taylor's theorem dbpedia-vi:Taylor's theorem dbpedia-zh:Taylor's theorem https://global.dbpedia.org/id/CL7Y |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Taylor's_theorem?oldid=1124379567&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/E^x_with_linear_approximation.png wiki-commons:Special:FilePath/E^x_with_quadratic_approximation_corrected.png wiki-commons:Special:FilePath/Expanimation.gif wiki-commons:Special:FilePath/Function_with_two_poles.png wiki-commons:Special:FilePath/Tayloranimation.gif wiki-commons:Special:FilePath/Taylorspolynomialexbig.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Taylor's_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Brook_Taylor |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Taylor |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Taylor's_Theorem dbr:Taylors_theorem dbr:Proof_of_Taylor's_theorem dbr:Taylor's_formula dbr:Taylor's_inequality dbr:Taylor_approximation dbr:Taylor_theorem dbr:Cauchy's_estimate dbr:Quadratic_approximation dbr:Lagrange_error_bound dbr:Lagrange_form_of_the_remainder dbr:Lagrange_remainder dbr:Lagrange_remainder_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Rolle's_theorem dbr:List_of_calculus_topics dbr:Mercator_series dbr:Delta_method dbr:Joseph-Louis_Lagrange dbr:Remainder dbr:Céa's_lemma dbr:Vedic_Mathematics dbr:Derivative_test dbr:Descent_direction dbr:Infinitesimal_transformation dbr:Real_analysis dbr:Lie_theory dbr:List_of_multivariable_calculus_topics dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Numerical_modeling_(geology) dbr:1671_in_science dbr:1715_in_science dbr:Convolution dbr:Analytic_continuation dbr:Gauss–Newton_algorithm dbr:Generalized_filtering dbr:Watson's_lemma dbr:Symmetric_matrix dbr:Frenet–Serret_formulas dbr:Function_of_several_real_variables dbr:Fundamental_theorem_of_calculus dbr:Gateaux_derivative dbr:Glossary_of_calculus dbr:Convex_function dbr:Linear_approximation dbr:Calculus_on_Euclidean_space dbr:Function_of_a_real_variable dbr:Halley's_method dbr:Tangent_space dbr:Mathematics_education_in_the_United_States dbr:1_−_2_+_3_−_4_+_⋯ dbr:Augustin-Louis_Cauchy dbr:Adaptive_step_size dbr:Central_limit_theorem dbr:Whitney_extension_theorem dbr:Hasse_derivative dbr:Jet_(mathematics) dbr:Lasso_(statistics) dbr:Falling_and_rising_factorials dbr:Finite_difference dbr:Finite_difference_method dbr:Barnes_G-function dbr:Brook_Taylor dbr:Partial_fraction_decomposition dbr:Cauchy_momentum_equation dbr:Differential_of_a_function dbr:List_of_Italian_inventions_and_discoveries dbr:Hadamard's_lemma dbr:Hagen–Poiseuille_equation dbr:Taylor's_Theorem dbr:Taylor's_theorem dbr:Taylor_series dbr:Cotangent_bundle dbr:Laplace's_method dbr:Law_of_large_numbers dbr:Binomial_approximation dbr:Bloch's_theorem_(complex_variables) dbr:Hoeffding's_lemma dbr:Taylor dbr:Xi_(letter) dbr:Differential_calculus dbr:Differential_geometry_of_surfaces dbr:Polynomial dbr:Polynomial_interpolation dbr:Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou_problem dbr:Indian_mathematics dbr:Newton's_method dbr:Series_(mathematics) dbr:Euler_method dbr:Factorial_moment_measure dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Jacques_Hadamard dbr:List_of_things_named_after_Joseph-Louis_Lagrange dbr:Taylors_theorem dbr:Flat_function dbr:Q-derivative dbr:Proof_of_Taylor's_theorem dbr:Taylor's_formula dbr:Taylor's_inequality dbr:Taylor_approximation dbr:Taylor_theorem dbr:Cauchy's_estimate dbr:Quadratic_approximation dbr:Lagrange_error_bound dbr:Lagrange_form_of_the_remainder dbr:Lagrange_remainder dbr:Lagrange_remainder_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Brook_Taylor |
| is owl:differentFrom of | dbr:Taylor_rule |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Taylor's_theorem |
