Cayley's theorem (original) (raw)
في نظرية الزمر، مبرهنة كايلي (بالإنجليزية: Cayley's theorem) تنص على أن كل زمرة G هي مع زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة المعرفة على G.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في نظرية الزمر، مبرهنة كايلي (بالإنجليزية: Cayley's theorem) تنص على أن كل زمرة G هي مع زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة المعرفة على G. (ar) En teoria de grups, el teorema de Cayley, dit així en honor d'Arthur Cayley, estableix que tot grup G és isomorf a un subgrup del grup simètric actuant sobre G. Aquest resultat es pot interpretar com un exemple de l'acció de grup de G sobre els elements de G. Una permutació d'un conjunt G és qualsevol funció bijectiva entre G i G; i el conjunt de totes aquestes funcions configura un grup amb l'operació de composició, anomenat grup simètric sobre G, i simbolitzat per Sim(G). El teorema de Cayley col·loca tots els grups al mateix nivell, ja que considera qualsevol grup (incloent-hi grups infinits com (R,+)) com un grup de permutacions sobre algun conjunt subjacent. Així, els teoremes que són certs per a subgrups de grups de permutacions també són certs per a grups en general. No obstant això, i Bell apunten que L'acció regular utilitzada en la demostració del teorema de Cayley no genera la representació de G en un grup de permutacions d'ordre mínim. Per exemple, S₃, que és un grup simètric d'ordre 6, es representaria mitjançant l'acció regular com un subgrup de S₆ (un grup d'ordre 720). El problema de trobar una immersió d'un grup en un grup simètric d'ordre mínim és significativament més complicat. (ca) Der Satz von Cayley ist ein nach dem englischen Mathematiker Arthur Cayley benannter Satz aus der Algebra. Er besagt, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann. Dieses Ergebnis spielte für die Entwicklung der Gruppentheorie im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle, denn es stellt sicher, dass jede abstrakte Gruppe isomorph zu einer konkreten Gruppe von Permutationen ist. Anders gesagt, jede Gruppe lässt sich treu als Permutationsgruppe darstellen. Der Satz von Cayley bildet damit einen Ausgangspunkt der Darstellungstheorie, die eine gegebene Gruppe untersucht, indem sie ihre Darstellungen auf konkreten und gut verstandenen Gruppen nutzt. (de) In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.Explicitly, * for each , the left-multiplication-by-g map sending each element x to gx is a permutation of G, and * the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of . The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G. When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group . But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of . The problem of finding the minimal-order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies. (en) El teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones. (es) En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique : Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn. (fr) Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi. Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni. (it) 군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다. 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다. 집합 위의 순열이란 에서 로 가는 전단사이다. 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 위의 대칭군이라 하며 라 쓴다. 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”. 케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다. (ko) Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Dowód tego jest dziś łatwy, ale historycznie uświadomienie sobie tego w XIX wieku było znaczącym krokiem, wymagało zmiany myślenia o algebrze. Istotnego kroku dokonał Arthur Cayley. (pl) In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat elke eindige groep isomorf is met een ondergroep van een symmetrische groep. In het bijzonder is isomorf met een ondergroep van de symmetrische groep van zelf, die uit de permutaties van bestaat. (nl) Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet. (sv) Na teoria dos grupos, o teorema de Cayley, nomeado em homenagem a Arthur Cayley, afirma que todo grupo G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico agindo em G. Isso pode ser entendido como um exemplo da ação de grupo de G sobre os elementos de G. Uma permutação de um conjunto G é considerada qualquer função bijetiva que leva de um grupo G para G. O conjunto com todas as permutações formam um grupo com composição de funções, este foi chamado de grupo simétrico em G, escrito como Sym(G). O teorema de Cayley coloca todos os grupos no mesmo barco. Ele considera todo e qualquer grupo como um grupo de permutação de algum conjunto subjacente (incluindo grupos infinitos, como ( R, +)). Dessa forma, teoremas que são verdadeiros para subgrupos de grupos de permutação, são igualmente verdadeiros para grupos em geral. No entanto, Alperin e Bell observaram que "em geral, o fato de grupos finitos estarem contidos em grupos simétricos, não influenciou os métodos usados para estudar os grupos finitos". A ação regular que foi usada na prova padrão do teorema não produz a determinada representação de A em um grupo de ordem mínima de permutação. Por exemplo, , que já um grupo simétrico de ordem 6, seria representado pela ação regular como um subgrupo de , que é um grupo de ordem 720. Encontrar a incorporação de um grupo em um grupo simétrico de ordem mínima é um problema de alta dificuldade (pt) В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G. (ru) Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі. (uk) 在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群G 同構於在G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。 集合G的置換是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個群，叫做“G上的對稱群”并寫為Sym(G)。 凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 105967 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13142 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119618175 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Camille_Jordan dbr:Homomorphism dbr:Permutation dbr:Cancellative dbc:Articles_containing_proofs dbc:Permutations dbr:Coset dbr:Function_(mathematics) dbr:Function_composition dbr:Bijective dbr:Frucht's_theorem dbr:Subgroup dbr:Core_(group) dbr:Jonathan_Lazare_Alperin dbr:Representation_theorem dbc:Theorems_about_finite_groups dbr:Dihedral_group_of_order_6 dbr:First_isomorphism_theorem dbr:Regular_representation dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbr:Arthur_Cayley dbr:Birkhoff's_representation_theorem dbr:Group_isomorphism dbr:Group_theory dbr:Klein_four-group dbr:Symmetric_group dbr:Yoneda_lemma dbr:Injective dbr:Walther_Dyck dbr:Derangements dbr:Wagner–Preston_theorem |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:For dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Articles_containing_proofs dbc:Permutations dbc:Theorems_about_finite_groups |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAlgebra yago:WikicatTheoremsInGroupTheory yago:Abstraction100002137 yago:Change107296428 yago:Communication100033020 yago:Event100029378 yago:Happening107283608 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Statement106722453 yago:Substitution107443761 yago:Theorem106752293 yago:Variation107337390 yago:WikicatPermutations |
| rdfs:comment | في نظرية الزمر، مبرهنة كايلي (بالإنجليزية: Cayley's theorem) تنص على أن كل زمرة G هي مع زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة المعرفة على G. (ar) Der Satz von Cayley ist ein nach dem englischen Mathematiker Arthur Cayley benannter Satz aus der Algebra. Er besagt, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann. Dieses Ergebnis spielte für die Entwicklung der Gruppentheorie im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle, denn es stellt sicher, dass jede abstrakte Gruppe isomorph zu einer konkreten Gruppe von Permutationen ist. Anders gesagt, jede Gruppe lässt sich treu als Permutationsgruppe darstellen. Der Satz von Cayley bildet damit einen Ausgangspunkt der Darstellungstheorie, die eine gegebene Gruppe untersucht, indem sie ihre Darstellungen auf konkreten und gut verstandenen Gruppen nutzt. (de) El teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones. (es) En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique : Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn. (fr) Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi. Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni. (it) 군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다. 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다. 집합 위의 순열이란 에서 로 가는 전단사이다. 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 위의 대칭군이라 하며 라 쓴다. 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”. 케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다. (ko) Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Dowód tego jest dziś łatwy, ale historycznie uświadomienie sobie tego w XIX wieku było znaczącym krokiem, wymagało zmiany myślenia o algebrze. Istotnego kroku dokonał Arthur Cayley. (pl) In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat elke eindige groep isomorf is met een ondergroep van een symmetrische groep. In het bijzonder is isomorf met een ondergroep van de symmetrische groep van zelf, die uit de permutaties van bestaat. (nl) Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet. (sv) В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G. (ru) Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі. (uk) 在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群G 同構於在G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。 集合G的置換是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個群，叫做“G上的對稱群”并寫為Sym(G)。 凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。 (zh) En teoria de grups, el teorema de Cayley, dit així en honor d'Arthur Cayley, estableix que tot grup G és isomorf a un subgrup del grup simètric actuant sobre G. Aquest resultat es pot interpretar com un exemple de l'acció de grup de G sobre els elements de G. Una permutació d'un conjunt G és qualsevol funció bijectiva entre G i G; i el conjunt de totes aquestes funcions configura un grup amb l'operació de composició, anomenat grup simètric sobre G, i simbolitzat per Sim(G). (ca) In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.Explicitly, * for each , the left-multiplication-by-g map sending each element x to gx is a permutation of G, and * the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of . When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies. (en) Na teoria dos grupos, o teorema de Cayley, nomeado em homenagem a Arthur Cayley, afirma que todo grupo G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico agindo em G. Isso pode ser entendido como um exemplo da ação de grupo de G sobre os elementos de G. Uma permutação de um conjunto G é considerada qualquer função bijetiva que leva de um grupo G para G. O conjunto com todas as permutações formam um grupo com composição de funções, este foi chamado de grupo simétrico em G, escrito como Sym(G). (pt) |
| rdfs:label | مبرهنة كايلي (ar) Teorema de Cayley (ca) Satz von Cayley (de) Cayley's theorem (en) Teorema de Cayley (es) Théorème de Cayley (fr) Teorema di Cayley (it) 케일리의 정리 (ko) Stelling van Cayley (nl) Twierdzenie Cayleya (pl) Теорема Кэли (теория групп) (ru) Teorema de Cayley (pt) Теорема Келі (теорія груп) (uk) Cayleys sats (sv) 凱萊定理 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Cayley's theorem yago-res:Cayley's theorem wikidata:Cayley's theorem dbpedia-ar:Cayley's theorem dbpedia-ca:Cayley's theorem dbpedia-de:Cayley's theorem dbpedia-es:Cayley's theorem dbpedia-fa:Cayley's theorem dbpedia-fi:Cayley's theorem dbpedia-fr:Cayley's theorem dbpedia-he:Cayley's theorem dbpedia-hu:Cayley's theorem dbpedia-it:Cayley's theorem dbpedia-ko:Cayley's theorem dbpedia-nl:Cayley's theorem dbpedia-pl:Cayley's theorem dbpedia-pt:Cayley's theorem dbpedia-ru:Cayley's theorem dbpedia-sv:Cayley's theorem dbpedia-uk:Cayley's theorem dbpedia-vi:Cayley's theorem dbpedia-zh:Cayley's theorem https://global.dbpedia.org/id/kQ5o |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cayley's_theorem?oldid=1119618175&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cayley's_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Cayley's_Theorem dbr:Cayley's_Group_Theorem dbr:Cayley's_group_theorem dbr:Cayley_group dbr:Cayley_group_theorem dbr:Cayley_representation_theorem dbr:Cayley_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:Algebraic_group dbr:Anton_Sushkevich dbr:Cycle_index dbr:Inclusion_order dbr:Semigroup_action dbr:List_of_mathematical_proofs dbr:List_of_permutation_topics dbr:1854_in_science dbr:Function_composition dbr:Galois_theory dbr:Hall's_universal_group dbr:Symmetry_group dbr:Cayley's_Theorem dbr:Linear_group dbr:Representation_theorem dbr:Cycles_and_fixed_points dbr:Cayley_graph dbr:History_of_group_theory dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action dbr:Schreier's_lemma dbr:Arthur_Cayley dbr:Holomorph_(mathematics) dbr:Groupoid dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Arthur_Cayley dbr:Symmetric_group dbr:Yoneda_lemma dbr:Permutation_group dbr:Representable_functor dbr:Transformation_semigroup dbr:Cayley's_Group_Theorem dbr:Cayley's_group_theorem dbr:Cayley_group dbr:Cayley_group_theorem dbr:Cayley_representation_theorem dbr:Cayley_theorem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cayley's_theorem |