Monoid (category theory) (original) (raw)
Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids. (de) La notion de monoïde ou d’objet monoïdal en théorie des catégories généralise la notion algébrique du même nom ainsi que plusieurs autres structures algébriques courantes. Il s'agit formellement d'un objet d'une catégorie monoïdale vérifiant certaines propriétés réminiscentes de celles du monoïde algébrique. (fr) In category theory, a branch of mathematics, a monoid (or monoid object, or internal monoid, or algebra) (M, μ, η) in a monoidal category (C, ⊗, I) is an object M together with two morphisms * μ: M ⊗ M → M called multiplication, * η: I → M called unit, such that the pentagon diagram and the unitor diagram commute. In the above notation, 1 is the identity morphism of M, I is the unit element and α, λ and ρ are respectively the associativity, the left identity and the right identity of the monoidal category C. Dually, a comonoid in a monoidal category C is a monoid in the dual category Cop. Suppose that the monoidal category C has a symmetry γ. A monoid M in C is commutative when μ o γ = μ. (en) Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monoid (atau benda monoid) (M, μ, η) dalam (C, ⊗, I) adalah objek M bersama dengan dua * μ: M ⊗ M → M disebut perkalian, * η: I → M adalah unit, sedemikian rupa sehingga segi lima dan diagram unitor Gambar di atas adalah sifat komutatif. Dalam notasi di atas, I adalah elemen satuan dan α, λ dan ρ adalah asosiatif, identitas kiri dan identitas kanan dari kategori monoid C. Monoid yang lain, komonoid dalam kategori monoid C adalah monoid dalam Cop. Misal, kategori monoidal C memiliki γ. Monoid M dalam C adalah sifat komutatif dengan μ o γ = μ. (in) 범주론에서 모노이드 대상(monoid對象, 영어: monoid object)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다. (ko) In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïde (of monoïde object) in een monoïdale categorie C een object M samen met twee morfismen * genoemd vermenigvuldiging, * en genoemd eenheid, zodat de diagrammen en commuteren. In de bovenstaande notaties, is I het eenheidselement en , en zijn respectievelijk de associativiteit, de linkeridentiteit en de rechteridentiteit van de monoïdale categorie C. In de duale vorm is een comonoïde in een monoïdale categorie C een monoïde in de duale categorie . Neem aan dat de monoïdale categorie C een heeft. Een monoïde in C is symmetrisch wanneer . (nl) 圏論において、モノイド対象（モノイドたいしょう、英: monoid object）(M, μ, η) は、モノイド圏 (C, ⊗, I) が与えられたとき、C の対象 M および二つの射（乗法: μ: M ⊗ M → M および単位射: η: I → M の組を言う。ただし二つの射はそれぞれ、五角形図式 および単位子図式 を可換にするものでなければならない。上記の図式に現れる記号について、I はモノイド圏 C の ⊗ に対する（自然同型を除く）単位元であり、三つの射 α, λ, ρ はそれぞれ C における（自然同型を除く）結合律、左単位律、右単位律を与える射である。 モノイド圏 C におけるモノイド対象のことを、単にその圏の（内部）モノイドとも呼ぶ。これと双対的に、モノイド圏 C の余モノイド対象 (comonoid) は双対圏 Cop のモノイド対象を言う。 モノイド圏 C が（すなわち、自然同型を除く対称律を定める射 γ を持つ）ならば、C のモノイド対象 M が可換 (commutative) とは μ ∘ γ = μ となることを言う。 (ja) В теории категорий моноид в моноидальной категории — это объект M вместе с двумя морфизмами * (называемый умножением), * и (называемый единицей), такими что следующая пятиугольная диаграмма а также диаграмма коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, , и — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу. Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории . Пусть категория C имеет также преобразование симметрии . Тогда моноид называется симметричным, если . (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Monoid_multiplication.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 3955446 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4703 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1109703332 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_product dbr:Product_topology dbr:Monad_(category_theory) dbr:Monoidal_category dbr:Algebra_over_a_field dbc:Monoidal_categories dbr:Commutative_monoid dbr:Mathematics dbr:Quantale dbr:Monoid dbr:Morphism dbr:Coproduct dbr:Commutative_diagram dbr:Commutative_ring dbr:Complete_lattice dbc:Objects_(category_theory) dbr:Functor dbr:Category_of_sets dbr:Diagram_(category_theory) dbr:Direct_product dbr:Graded_ring dbr:Product_(category_theory) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Coalgebra dbr:Eckmann–Hilton_argument dbr:Differential_graded_algebra dbr:Associative_algebra dbc:Categories_in_category_theory dbr:Endofunctor dbr:Identity_morphism dbr:Integer dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_of_modules dbr:Category_of_topological_spaces dbr:Category_theory dbr:Chain_complex dbr:Semilattice dbr:Category_of_vector_spaces dbr:Symmetric_monoidal_category dbr:Topological_monoid dbr:Dual_category dbr:Act-S dbr:Object_(category_theory) dbr:File:Category_monoids_eta.svg dbr:File:Category_monoids_mu.svg dbr:File:Monoid_multiplication.svg dbr:File:Monoid_unit_svg.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:For dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist |
| dct:subject | dbc:Monoidal_categories dbc:Objects_(category_theory) dbc:Categories_in_category_theory |
| rdf:type | yago:WikicatCategory-theoreticCategories yago:WikicatMonoidalCategories yago:Abstraction100002137 yago:Class107997703 yago:Collection107951464 yago:Group100031264 |
| rdfs:comment | Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids. (de) La notion de monoïde ou d’objet monoïdal en théorie des catégories généralise la notion algébrique du même nom ainsi que plusieurs autres structures algébriques courantes. Il s'agit formellement d'un objet d'une catégorie monoïdale vérifiant certaines propriétés réminiscentes de celles du monoïde algébrique. (fr) Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monoid (atau benda monoid) (M, μ, η) dalam (C, ⊗, I) adalah objek M bersama dengan dua * μ: M ⊗ M → M disebut perkalian, * η: I → M adalah unit, sedemikian rupa sehingga segi lima dan diagram unitor Gambar di atas adalah sifat komutatif. Dalam notasi di atas, I adalah elemen satuan dan α, λ dan ρ adalah asosiatif, identitas kiri dan identitas kanan dari kategori monoid C. Monoid yang lain, komonoid dalam kategori monoid C adalah monoid dalam Cop. Misal, kategori monoidal C memiliki γ. Monoid M dalam C adalah sifat komutatif dengan μ o γ = μ. (in) 범주론에서 모노이드 대상(monoid對象, 영어: monoid object)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다. (ko) 圏論において、モノイド対象（モノイドたいしょう、英: monoid object）(M, μ, η) は、モノイド圏 (C, ⊗, I) が与えられたとき、C の対象 M および二つの射（乗法: μ: M ⊗ M → M および単位射: η: I → M の組を言う。ただし二つの射はそれぞれ、五角形図式 および単位子図式 を可換にするものでなければならない。上記の図式に現れる記号について、I はモノイド圏 C の ⊗ に対する（自然同型を除く）単位元であり、三つの射 α, λ, ρ はそれぞれ C における（自然同型を除く）結合律、左単位律、右単位律を与える射である。 モノイド圏 C におけるモノイド対象のことを、単にその圏の（内部）モノイドとも呼ぶ。これと双対的に、モノイド圏 C の余モノイド対象 (comonoid) は双対圏 Cop のモノイド対象を言う。 モノイド圏 C が（すなわち、自然同型を除く対称律を定める射 γ を持つ）ならば、C のモノイド対象 M が可換 (commutative) とは μ ∘ γ = μ となることを言う。 (ja) В теории категорий моноид в моноидальной категории — это объект M вместе с двумя морфизмами * (называемый умножением), * и (называемый единицей), такими что следующая пятиугольная диаграмма а также диаграмма коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, , и — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу. Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории . Пусть категория C имеет также преобразование симметрии . Тогда моноид называется симметричным, если . (ru) In category theory, a branch of mathematics, a monoid (or monoid object, or internal monoid, or algebra) (M, μ, η) in a monoidal category (C, ⊗, I) is an object M together with two morphisms * μ: M ⊗ M → M called multiplication, * η: I → M called unit, such that the pentagon diagram and the unitor diagram commute. In the above notation, 1 is the identity morphism of M, I is the unit element and α, λ and ρ are respectively the associativity, the left identity and the right identity of the monoidal category C. Dually, a comonoid in a monoidal category C is a monoid in the dual category Cop. (en) In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïde (of monoïde object) in een monoïdale categorie C een object M samen met twee morfismen * genoemd vermenigvuldiging, * en genoemd eenheid, zodat de diagrammen en commuteren. In de bovenstaande notaties, is I het eenheidselement en , en zijn respectievelijk de associativiteit, de linkeridentiteit en de rechteridentiteit van de monoïdale categorie C. In de duale vorm is een comonoïde in een monoïdale categorie C een monoïde in de duale categorie . . (nl) |
| rdfs:label | Monoid-Objekt (de) Monoid (teori kategori) (in) Monoïde (théorie des catégories) (fr) モノイド対象 (ja) 모노이드 대상 (ko) Monoid (category theory) (en) Monoïde (categorietheorie) (nl) Моноид (теория категорий) (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Monoid (category theory) yago-res:Monoid (category theory) wikidata:Monoid (category theory) dbpedia-de:Monoid (category theory) dbpedia-fr:Monoid (category theory) dbpedia-id:Monoid (category theory) dbpedia-ja:Monoid (category theory) dbpedia-ko:Monoid (category theory) dbpedia-nl:Monoid (category theory) dbpedia-ru:Monoid (category theory) https://global.dbpedia.org/id/2bAPf |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Monoid_(category_theory)?oldid=1109703332&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Category_monoids_eta.svg wiki-commons:Special:FilePath/Category_monoids_mu.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monoid_multiplication.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monoid_unit_svg.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Monoid_(category_theory) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Monoid_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Comonoid dbr:Comonoid_object dbr:Monoid_object |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Epimorphism dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:Monad_(category_theory) dbr:Monoid_(disambiguation) dbr:Internal_bialgebroid dbr:Superalgebra dbr:Quantale dbr:Monoid dbr:Super_vector_space dbr:Hopf_algebra dbr:Ring_(mathematics) dbr:Bimodule dbr:Effect_algebra dbr:Associative_algebra dbr:Category_of_rings dbr:Topological_monoid dbr:Comonoid dbr:Comonoid_object dbr:Monoid_object |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Monoid_(category_theory) |
