Banach–Alaoglu theorem (original) (raw)
Der Satz von Banach-Alaoglu (auch Satz von Alaoglu oder Satz von Alaoglu-Bourbaki bzw. in einer allgemeineren Version Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki) ist ein Kompaktheitssatz und wird im Allgemeinen dem Gebiet der Funktionalanalysis zugeordnet, obwohl er eine rein topologische Aussage enthält und im Wesentlichen aus dem Satz von Tychonoff folgt. Er ist nach Stefan Banach und Leonidas Alaoglu benannt.
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| dbo:abstract | En anàlisi funcional i branques relacionades de les matemàtiques, el teorema de Banach-Alaoglu (també conegut com a teorema d'Alaoglu) afirma que la bola unitat tancada de l'espai dual d'un espai vectorial normat és compacta en la *. Una prova habitual identifica la bola unitat en topologia feble* com un subconjunt tancat d'un producte de conjunts compactes amb la topologia producte. Com a conseqüència del teorema de Tíjonov, aquest producte, i per tant la bola unitat en el seu interior, és compacte. Stefan Banach va publicar el 1932 una demostració d'aquest teorema per a espais vectorials normats separables, i la primera prova pel cas general la va publicar el matemàtic el 1940. Atès que el teorema de Banach-Alaoglu es prova a través del teorema de Tíjonov, es construeix sobre el marc axiomàtic de ZFC, en particular sobre l'axioma d'elecció. La major part de resultats de l'anàlisi funcional també es fonamenta en ZFC. No obstant això, el teorema no necessita l'axioma d'elecció en el cas separable, en aquest cas es té una demostració constructiva. Aquest teorema té aplicacions en física, on es descriu el conjunt d'estats d'un àlgebra d'observables, atès que qualsevol estat es pot escriure com a combinació lineal convexa d'estats purs. (ca) In functional analysis and related branches of mathematics, the Banach–Alaoglu theorem (also known as Alaoglu's theorem) states that the closed unit ball of the dual space of a normed vector space is compact in the weak* topology. A common proof identifies the unit ball with the weak-* topology as a closed subset of a product of compact sets with the product topology. As a consequence of Tychonoff's theorem, this product, and hence the unit ball within, is compact. This theorem has applications in physics when one describes the set of states of an algebra of observables, namely that any state can be written as a convex linear combination of so-called pure states. (en) Der Satz von Banach-Alaoglu (auch Satz von Alaoglu oder Satz von Alaoglu-Bourbaki bzw. in einer allgemeineren Version Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki) ist ein Kompaktheitssatz und wird im Allgemeinen dem Gebiet der Funktionalanalysis zugeordnet, obwohl er eine rein topologische Aussage enthält und im Wesentlichen aus dem Satz von Tychonoff folgt. Er ist nach Stefan Banach und Leonidas Alaoglu benannt. (de) En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas, el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu) afirma que la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la . Una prueba habitual identifica la bola unidad en topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología producto. Como consecuencia del teorema de Tíjonov, este producto, y por tanto la bola unidad en su interior, es compacto. Stefan Banach publicó en 1932 una demostración de este teorema para espacios vectoriales normados separables, y la primera prueba para el caso general la publicó el matemático en 1940. Dado que el teorema de Banach-Alaoglu se prueba a través del teorema de Tíjonov, se construye sobre el marco axiomático de ZFC, in particular sobre el axioma de elección. La mayor parte de resultados del análisis funcional también se basa en ZFC. Sin embargo, el teorema no necesita el axioma de elección en el caso separable, en este caso se tiene una demostración constructiva. Este teorema tiene aplicaciones en física, donde se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, dado que cualquier estado se puede escribir como combinación lineal convexa de estados puros. (es) Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki. Si E est un ℝ-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*. Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est *-faiblement relativement compacte. Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente. (fr) In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. Se si denota con lo spazio di Banach in questione, il teorema caratterizza la convergenza debole sul duale , non testata su tutti gli elementi del biduale ma solo su quelli di , dove è la mappa canonica. Prende il nome da Stefan Banach, Leonidas Alaoglu e Nicolas Bourbaki. Il teorema di Bourbaki-Alaoglu generalizza il teorema al caso di . (it) バナッハ＝アラオグルの定理（バナッハ＝アラオグルのていり、英: Banach–Alaoglu theorem）あるいはアラオグルの定理として知られる定理は、ノルム空間Vの共役空間V*の閉単位球が＊弱位相関してコンパクトになるという定理である。 この定理の背景を簡単に述べると、関数解析学では無限次元のノルム空間Vを多用し、Vやその共役空間V*の元は何らかの集合上の実数値ないし複素数値の関数のなすベクトル空間である事が多い。しかしVが無限次元の場合、VやV*の閉単位球はノルム位相に関してはコンパクトにならない事が知られており、これが原因で有限次元とは異なり、VやV*上の有界な点列が（ノルム位相に関して）収束部分列を持つことが保証されない。これは例えば微分方程式をノルムに関して近似する解fεを求めた上でε→0とした場合、その極限（すなわち微分方程式の解そのもの）が存在する事が保証されない事を意味する。微分方程式の振る舞いの記述を主たる適用先とする関数解析学において、これは致命的である。 しかしバナッハ＝アラオグルの定理は閉単位球が＊弱位相に関してコンパクトである事を保証しているので、弱位相の意味での近似解fεを求めれば、が収束部分列を持つ事が保証され、その収束部分列の極限が微分方程式の解になっている事を証明する道が開かれる。 この定理は、オブザーバブルの代数の状態の集合を表現するときに物理学的に応用される。すなわち、任意の状態はいわゆる純粋状態の凸線型結合として表現される。 この定理は可分な場合に対して1932年にステファン・バナフによって示され、一般の場合は1940年ににより示された。 (ja) In de functionaalanalyse en daaraan verwante deelgebieden van de wiskunde beweert de stelling van Banach-Alaoglu (ook bekend als de stelling van Alaoglu) dat de gesloten van de duale ruimte van een genormeerde vectorruimte compact is in de zwakke* topologie. Een gemeenschappelijke bewijs identificeert de eenheidsbal met de zwakke* topologie als een gesloten deelverzameling van een product van compacte verzamelingen met de producttopologie. Als een gevolg van de stelling van Tychonov is dit product, en daarmee de eenheidsbal daarbinnen, compact. Een bewijs van deze stelling voor separabele genormeerde vectorruimten werd in 1932 gepubliceerd door Stefan Banach. Het eerste bewijs voor het algemene geval werd in 1940 door de Canadees-Amerikaanse wiskundige Leonidas Alaoglu gepubliceerd. Aangezien de stelling van Banach-Alaoglu is bewezen met behulp van de stelling van Tychonov, beroept zij zich op het ZFC axiomatische kader, met name het keuzeaxioma. Het grootste deel van de functionaalanalyse is ook afhankelijk van ZFC. (nl) Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu, twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty. Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka , który opublikował w 1940 roku pierwszy dowód przypadku ogólnego. (pl) Теорема Алаоглу — теорема фунционального анализа,один из важнейших результатов о слабой топологии. Находит применение в физике, при описании множества состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние может быть записано в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний. Обычно в доказательстве идентифицирует единичный шар со слабой* топологией с замкнутым подмножеством произведения компактных множеств с топологией произведения.Как следствие теоремы Тихонова, это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны. (ru) Inom funktionalanalys, ett delområde av matematik, är Banach–Alaoglus sats, även kallad Alaoglus sats, ett resultat som används för att visa kompakthet för mängder. Beviset, som bygger på Tychonoffs sats, och därmed på urvalsaxiomet, hittades först av år 1938, även om Stefan Banach tidigare visat ett specialfall 1932. Oberoende av Alaoglu visade även Bourbaki resultatet ungefär samtidigt. Senare visades även Bourbaki en generell version av satsen. Denna version brukar kallas Bourbaki-Alaoglus sats. (sv) 泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。 定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。 (zh) |
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| dbp:mathStatement | If is a normed space then the closed unit ball in the continuous dual space is compact with respect to the weak-* topology. (en) Let be a subset of a vector space over the field and for every real number endow the closed ball with its usual topology . Define If for every is a real number such that then is a closed and compact subspace of the product space . (en) The algebraic dual space of any vector space over a field is a closed subset of in the topology of pointwise convergence. . (en) Let be a normed space and let denote the closed unit ball of its continuous dual space Then has the following property, which is called or : whenever is a cover of by weak-* closed subsets of such that has the finite intersection property, then is not empty. (en) For any topological vector space with continuous dual space the polar of any neighborhood of origin in is compact in the weak-* topology on Moreover, is equal to the polar of with respect to the canonical system and it is also a compact subset of (en) When the algebraic dual space of a vector space is equipped with the topology of pointwise convergence then the resulting topological space is a complete Hausdorff locally convex topological vector space. (en) |
| dbp:name | Lemma (en) Alaoglu theorem (en) Banach–Alaoglu theorem (en) Corollary to lemma (en) Proposition (en) |
| dbp:proof | For every let and let be endowed with the product topology. Because every is a compact subset of the complex plane, Tychonoff's theorem guarantees that their product is compact. The closed unit ball in denoted by can be identified as a subset of in a natural way: This map is injective and it is continuous when has the weak-* topology. This map's inverse, defined on its image, is also continuous. It will now be shown that the image of the above map is closed, which will complete the proof of the theorem. Given a point and a net in the image of indexed by such that the functional defined by lies in and (en) Assume that is a topological vector space with continuous dual space and that is a neighborhood of the origin. Because is a neighborhood of the origin in it is also an absorbing subset of so for every there exists a real number such that Thus the hypotheses of the above proposition are satisfied, and so the set is therefore compact in the weak-* topology. The proof of the Banach–Alaoglu theorem will be complete once it is shown that where recall that was defined as Proof that Because the conclusion is equivalent to If then which states exactly that the linear functional is bounded on the neighborhood thus is a continuous linear functional , as desired. (en) Denote by the underlying field of by which is either the real numbers or complex numbers This proof will use some of the basic properties that are listed in the articles: polar set, dual system, and continuous linear operator. To start the proof, some definitions and readily verified results are recalled. When is endowed with the weak-* topology then this Hausdorff locally convex topological vector space is denoted by The space is always a complete TVS; however, may fail to be a complete space, which is the reason why this proof involves the space Specifically, this proof will use the fact that a subset of a complete Hausdorff space is compact if it is closed and totally bounded. Importantly, the subspace topology that inherits from is equal to This can be readily verified by showing that given any a net in converges to in one of these topologies if and only if it also converges to in the other topology . The triple is a dual pairing although unlike it is in general not guaranteed to be a dual system. Throughout, unless stated otherwise, all polar sets will be taken with respect to the canonical pairing Let be a neighborhood of the origin in and let: * be the polar of with respect to the canonical pairing ; * be the bipolar of with respect to ; * be the polar of with respect to the canonical dual system Note that A well known fact about polar sets is that # Show that is a -closed subset of Let and suppose that is a net in that converges to in To conclude that it is sufficient to show that for every Because in the scalar field and every value belongs to the closed subset so too must this net's limit belong to this set. Thus # Show that and then conclude that is a closed subset of both and The inclusion holds because every continuous linear functional is a linear functional. For the reverse inclusion let so that which states exactly that the linear functional is bounded on the neighborhood ; thus is a continuous linear functional and so as desired. Using and the fact that the intersection is closed in the subspace topology on the claim about being closed follows. # Show that is a -totally bounded subset of By the bipolar theorem, where because the neighborhood is an absorbing subset of the same must be true of the set it is possible to prove that this implies that is a -bounded subset of Because distinguishes points of a subset of is -bounded if and only if it is -totally bounded. So in particular, is also -totally bounded. # Conclude that is also a -totally bounded subset of Recall that the topology on is identical to the subspace topology that inherits from This fact, together with and the definition of "totally bounded", implies that is a -totally bounded subset of # Finally, deduce that is a -compact subset of Because is a complete TVS and is a closed and totally bounded subset of it follows that is compact. (en) |
| dbp:title | Proof that Banach–Alaoglu follows from the proposition above (en) Proof of corollary to lemma (en) Proof of lemma (en) Premiere on product/function spaces, nets, and pointwise convergence (en) |
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| rdfs:comment | Der Satz von Banach-Alaoglu (auch Satz von Alaoglu oder Satz von Alaoglu-Bourbaki bzw. in einer allgemeineren Version Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki) ist ein Kompaktheitssatz und wird im Allgemeinen dem Gebiet der Funktionalanalysis zugeordnet, obwohl er eine rein topologische Aussage enthält und im Wesentlichen aus dem Satz von Tychonoff folgt. Er ist nach Stefan Banach und Leonidas Alaoglu benannt. (de) Теорема Алаоглу — теорема фунционального анализа,один из важнейших результатов о слабой топологии. Находит применение в физике, при описании множества состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние может быть записано в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний. Обычно в доказательстве идентифицирует единичный шар со слабой* топологией с замкнутым подмножеством произведения компактных множеств с топологией произведения.Как следствие теоремы Тихонова, это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны. (ru) Inom funktionalanalys, ett delområde av matematik, är Banach–Alaoglus sats, även kallad Alaoglus sats, ett resultat som används för att visa kompakthet för mängder. Beviset, som bygger på Tychonoffs sats, och därmed på urvalsaxiomet, hittades först av år 1938, även om Stefan Banach tidigare visat ett specialfall 1932. Oberoende av Alaoglu visade även Bourbaki resultatet ungefär samtidigt. Senare visades även Bourbaki en generell version av satsen. Denna version brukar kallas Bourbaki-Alaoglus sats. (sv) 泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。 定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。 (zh) En anàlisi funcional i branques relacionades de les matemàtiques, el teorema de Banach-Alaoglu (també conegut com a teorema d'Alaoglu) afirma que la bola unitat tancada de l'espai dual d'un espai vectorial normat és compacta en la *. Una prova habitual identifica la bola unitat en topologia feble* com un subconjunt tancat d'un producte de conjunts compactes amb la topologia producte. Com a conseqüència del teorema de Tíjonov, aquest producte, i per tant la bola unitat en el seu interior, és compacte. (ca) In functional analysis and related branches of mathematics, the Banach–Alaoglu theorem (also known as Alaoglu's theorem) states that the closed unit ball of the dual space of a normed vector space is compact in the weak* topology. A common proof identifies the unit ball with the weak-* topology as a closed subset of a product of compact sets with the product topology. As a consequence of Tychonoff's theorem, this product, and hence the unit ball within, is compact. (en) En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas, el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu) afirma que la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la . Una prueba habitual identifica la bola unidad en topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología producto. Como consecuencia del teorema de Tíjonov, este producto, y por tanto la bola unidad en su interior, es compacto. (es) Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki. Si E est un ℝ-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*. (fr) In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. 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(it) バナッハ＝アラオグルの定理（バナッハ＝アラオグルのていり、英: Banach–Alaoglu theorem）あるいはアラオグルの定理として知られる定理は、ノルム空間Vの共役空間V*の閉単位球が＊弱位相関してコンパクトになるという定理である。 この定理の背景を簡単に述べると、関数解析学では無限次元のノルム空間Vを多用し、Vやその共役空間V*の元は何らかの集合上の実数値ないし複素数値の関数のなすベクトル空間である事が多い。しかしVが無限次元の場合、VやV*の閉単位球はノルム位相に関してはコンパクトにならない事が知られており、これが原因で有限次元とは異なり、VやV*上の有界な点列が（ノルム位相に関して）収束部分列を持つことが保証されない。これは例えば微分方程式をノルムに関して近似する解fεを求めた上でε→0とした場合、その極限（すなわち微分方程式の解そのもの）が存在する事が保証されない事を意味する。微分方程式の振る舞いの記述を主たる適用先とする関数解析学において、これは致命的である。 しかしバナッハ＝アラオグルの定理は閉単位球が＊弱位相に関してコンパクトである事を保証しているので、弱位相の意味での近似解fεを求めれば、が収束部分列を持つ事が保証され、その収束部分列の極限が微分方程式の解になっている事を証明する道が開かれる。 (ja) In de functionaalanalyse en daaraan verwante deelgebieden van de wiskunde beweert de stelling van Banach-Alaoglu (ook bekend als de stelling van Alaoglu) dat de gesloten van de duale ruimte van een genormeerde vectorruimte compact is in de zwakke* topologie. Een gemeenschappelijke bewijs identificeert de eenheidsbal met de zwakke* topologie als een gesloten deelverzameling van een product van compacte verzamelingen met de producttopologie. Als een gevolg van de stelling van Tychonov is dit product, en daarmee de eenheidsbal daarbinnen, compact. (nl) Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu, twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty. (pl) |
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