Hurwitz's theorem (composition algebras) (original) (raw)
En mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : ℝ lui-même, ℂ (complexes), ℍ (quaternions) et 𝕆 (octonions).
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| dbo:abstract | Der Quadrate-Satz gibt in der Mathematik an, für welche natürlichen Zahlen das Produkt zweier Summen von quadrierten reellen Zahlen in eine Summe von ebenfalls Quadraten von Zahlen zerfällt, die Bilinearformen von ersteren sind. Seit 1818 ist bekannt, dass dies für möglich ist und der Kompositionssatz von Adolf Hurwitz aus dem Jahr 1898 besagt, dass dies auch die einzigen sind. Die Normen der reellen und komplexen Zahlen, der Quaternionen und Oktonionen erfüllen die Relation , woraus sich die bekannten Kompositionen konstruieren lassen. Als direkte Folgerung aus den Identitäten ergibt sich, dass die Menge der Summen von Quadratzahlen in den genannten Fällen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. Für war er bereits Diophantos von Alexandria bekannt. Dass er für nicht gilt fand zuerst Adrien-Marie Legendre (in seinem Lehrbuch über Zahlentheorie). Den Fall bewies Leonhard Euler 1748 in einem Brief an Goldbach. Der Fall wurde von John T. Graves 1844 im Zusammenhang mit der Theorie der von ihm eingeführten Oktaven gefunden (und von Arthur Cayley 1845). (de) In mathematics, Hurwitz's theorem is a theorem of Adolf Hurwitz (1859–1919), published posthumously in 1923, solving the Hurwitz problem for finite-dimensional unital real non-associative algebras endowed with a positive-definite quadratic form. The theorem states that if the quadratic form defines a homomorphism into the positive real numbers on the non-zero part of the algebra, then the algebra must be isomorphic to the real numbers, the complex numbers, the quaternions, or the octonions. Such algebras, sometimes called Hurwitz algebras, are examples of composition algebras. The theory of composition algebras has subsequently been generalized to arbitrary quadratic forms and arbitrary fields. Hurwitz's theorem implies that multiplicative formulas for sums of squares can only occur in 1, 2, 4 and 8 dimensions, a result originally proved by Hurwitz in 1898. It is a special case of the Hurwitz problem, solved also in . Subsequent proofs of the restrictions on the dimension have been given by using the representation theory of finite groups and by and using Clifford algebras. Hurwitz's theorem has been applied in algebraic topology to problems on vector fields on spheres and the homotopy groups of the classical groups and in quantum mechanics to the classification of simple Jordan algebras. (en) En mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : ℝ lui-même, ℂ (complexes), ℍ (quaternions) et 𝕆 (octonions). (fr) 후르비츠의 정리(Hurwitz's theorem, -定理)는 독일 수학자 아돌프 후르비츠의 이름이 붙은 추상대수학의 정리로, 후르비츠가 1898년 증명하였다. 다음과 같은 내용이다. * 항등원이 있는 실수 혹은 복소수 위의 노름이 주어진 로서, 그 노름이 항상 을 만족하는 것은 항상 (대수로서) 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 중 하나와 동형이다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스에 의해 시작된 실수체 위의 나눗셈 대수를 분류하는 문제는 후르비츠가 이 정리 등으로 이어받아 발전시켰고, 막스 초른이 (alternative ring)의 연구로 이에 대한 일반적인 결과를 얻었다. 아돌프 후르비츠는 이 정리를 즉시 응용하여 , 오일러의 네 제곱수 항등식이나 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같은 항등식은 미지수가 여덟 개보다 더 많은 경우에 대해서는 성립할 수 없다는 사실을 증명하기도 했다. (ko) Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі). Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році.. (uk) 在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。 完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同构于实数。否则，我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为A。 胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时。 (zh) Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.. (ru) |
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