Gram matrix (original) (raw)
En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per . El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per . El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram. (ca) V lineární algebře se Gramovou maticí vektorů v unitárním prostoru V rozumí matice jejich skalárních součinů, jejíž prvky jsou dány předpisem . Jedním z hlavních použití Gramovy matice je zjištění lineární nezávislosti: dané vektory jsou lineárně nezávislé právě když je determinant Gramovy matice nenulový. Gramova matice nese jméno dánského matematika Jørgena Pedersena Grama. (cs) In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product . If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the (the determinant of the Gram matrix) is non-zero. It is named after Jørgen Pedersen Gram. (en) En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por . Debe su nombre al matemático danés . (es) 다음은 그람 행렬에 관한 설명이다. 실수체에서 정의하는경우 , 그람 매트릭스(그람 행렬) G는 어떤 벡터 M 과 그들의 집합 V를 예약했을때, 이들의 내적 곱의 모든 경우의 행렬 표현이다.즉, G(ij) = Vi(T) Vj □(T)는 전치 (ko) In de lineaire algebra is de grammatrix van een -tal vectoren in een lineaire ruimte met inproduct de hermitische matrix van de inproducten van de vectoren, waarvan de elementen gegeven worden door: Als de vectoren reëel zijn en de kolommen van de matrix vormen, dan is de grammatrix . De grammatrix is genoemd naar Jørgen Pedersen Gram. (nl) Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram (o matrice gramiana) di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari tra i vettori. Questa matrice, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare dei vettori: i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram. Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi semidefinita positiva. (it) 線形代数学において正方行列 が与えられたとき, を のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、はの随伴である。 であるとき, のグラム行列の 成分は における標準内積を用いて と表せる。このことから、 内積空間の 個のベクトル が与えられたときに を 成分にもつ行列のこともグラム行列という。 (ja) Macierz Grama – macierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka . Choć zwykle wykorzystuje się do tego celu objętości prostopadłościanów wielowymiarowych, to do zdefiniowania miary Lebesgue’a na przestrzeni euklidesowej (a dokładniej przy określaniu miary zewnętrznej, która jest krokiem pośrednim) można użyć objętości równoległościanów wielowymiarowych (wyznaczanych przez dany układ wektorów) definiowanej za pomocą macierzy Grama. Objętość równoległościanu pojawia się także przy całkowaniu przez podstawienie (zamianie zmiennych) w całce Lebesgue’a, często jako tzw. (antysymetryczna forma wieloliniowa najwyższego rzędu w danej przestrzeni liniowej), czyli zorientowany element objętości. Jednym z najistotniejszych praktycznych zastosowań tej macierzy kwadratowej jest możliwość stwierdzenia, czy dany układ wektorów przestrzeni -wymiarowej jest liniowo niezależny – macierz ta musi mieć dodatni wyznacznik (dla wystarczy sprawdzić niezerowość wyznacznika samego układu wektorów) – geometrycznie odpowiada to sprawdzeniu, czy dany układ wektorów rozpina równoległościan o dodatniej objętości; kryterium to wykorzystuje się m.in. określania sterowalności i obserwowalności liniowego układu sterowania. (pl) Визначник Грама системи векторів e1, e2, ..., en в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи: де — скалярний добуток векторів ei та ej. Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри: нехай в евклідовому просторі V система векторів e1, e2, ..., en породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e1, e2, ..., en.Виходячи з розкладення x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама: Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e1, e2, ..., en лінійно незалежні. Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності. (uk) Определителем Грама (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы: где — скалярное произведение векторов и . Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры: Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная, чему равны скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора по векторам . Исходя из разложения получается линейная система уравнений с матрицей Грама: Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости. (ru) 在线性代数中，内积空间中一族向量 的格拉姆矩阵（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 给出。 一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf |
| dbo:wikiPageID | 987959 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13817 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1115685598 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Quantum_chemistry dbr:Rotation_matrix dbc:Kernel_methods_for_machine_learning dbr:Mercer's_theorem dbr:Non-singular_matrix dbr:Bilinear_form dbr:Determinant dbr:Vector_space dbr:Euclidean_isometry dbr:Observability_Gramian dbr:Complex_number dbr:Conjugate_transpose dbr:Systems_theory dbr:Symmetric_matrix dbr:Control_theory dbr:Controllability_Gramian dbr:Orthogonal_transformation dbr:Linear_algebra dbr:Machine_learning dbr:Cholesky_decomposition dbr:Simplex dbr:Singular_value_decomposition dbr:Complex_conjugate dbr:Kernel_principal_component_analysis dbr:Orthonormal_basis dbc:Matrices dbc:Systems_theory dbr:Transpose dbr:Linear_independence dbr:Linear_span dbc:Analytic_geometry dbc:Determinants dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite-dimensional dbr:Normal_matrix dbr:Overlap_matrix dbr:Parallelepiped dbr:Random_variable dbr:Riemannian_geometry dbr:Hermitian_matrix dbr:Covariance_matrix dbr:Jørgen_Pedersen_Gram dbr:Unitary_transformation dbr:Dot_product dbr:Positive-semidefinite_matrix dbr:Square_root_of_a_matrix dbr:Inner_product dbr:Inner_product_space dbr:Orthogonal_matrix dbr:Unitary_matrix dbr:Exterior_product dbr:Diagonalizable dbr:Square-integrable_function dbr:Finite_element_method dbr:Basis_vectors dbr:Eigenvalues dbr:Kernel_function dbr:Matrix_rank dbr:Inner-product dbr:Wikipedia:N |
| dbp:id | p/g044750 (en) |
| dbp:title | Gram matrix (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Math dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Matrix_classes |
| dct:subject | dbc:Kernel_methods_for_machine_learning dbc:Matrices dbc:Systems_theory dbc:Analytic_geometry dbc:Determinants |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per . El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram. (ca) V lineární algebře se Gramovou maticí vektorů v unitárním prostoru V rozumí matice jejich skalárních součinů, jejíž prvky jsou dány předpisem . Jedním z hlavních použití Gramovy matice je zjištění lineární nezávislosti: dané vektory jsou lineárně nezávislé právě když je determinant Gramovy matice nenulový. Gramova matice nese jméno dánského matematika Jørgena Pedersena Grama. (cs) En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por . Debe su nombre al matemático danés . (es) 다음은 그람 행렬에 관한 설명이다. 실수체에서 정의하는경우 , 그람 매트릭스(그람 행렬) G는 어떤 벡터 M 과 그들의 집합 V를 예약했을때, 이들의 내적 곱의 모든 경우의 행렬 표현이다.즉, G(ij) = Vi(T) Vj □(T)는 전치 (ko) In de lineaire algebra is de grammatrix van een -tal vectoren in een lineaire ruimte met inproduct de hermitische matrix van de inproducten van de vectoren, waarvan de elementen gegeven worden door: Als de vectoren reëel zijn en de kolommen van de matrix vormen, dan is de grammatrix . De grammatrix is genoemd naar Jørgen Pedersen Gram. (nl) 線形代数学において正方行列 が与えられたとき, を のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、はの随伴である。 であるとき, のグラム行列の 成分は における標準内積を用いて と表せる。このことから、 内積空間の 個のベクトル が与えられたときに を 成分にもつ行列のこともグラム行列という。 (ja) 在线性代数中，内积空间中一族向量 的格拉姆矩阵（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 给出。 一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。 (zh) In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product . If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the (the determinant of the Gram matrix) is non-zero. (en) Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram (o matrice gramiana) di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari tra i vettori. Questa matrice, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare dei vettori: i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram. (it) Macierz Grama – macierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka . Choć zwykle wykorzystuje się do tego celu objętości prostopadłościanów wielowymiarowych, to do zdefiniowania miary Lebesgue’a na przestrzeni euklidesowej (a dokładniej przy określaniu miary zewnętrznej, która jest krokiem pośrednim) można użyć objętości równoległościanów wielowymiarowych (wyznaczanych przez dany układ wektorów) definiowanej za pomocą macierzy Grama. Objętość równoległościanu pojawia się także przy całkowaniu przez podstawienie (zamianie zmiennych) w całce Lebesgue’a, często jako tzw. (antysymetryczna forma wieloliniowa najwyższego rzędu w danej przestrzeni liniowej), czyli zorientowany element objętości. (pl) Определителем Грама (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы: где — скалярное произведение векторов и . Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры: Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная, чему равны скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора по векторам . Исходя из разложения получается линейная система уравнений с матрицей Грама: (ru) Визначник Грама системи векторів e1, e2, ..., en в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи: де — скалярний добуток векторів ei та ej. Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри: нехай в евклідовому просторі V система векторів e1, e2, ..., en породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e1, e2, ..., en.Виходячи з розкладення x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама: (uk) |
| rdfs:label | Matriu de Gram (ca) Gramova matice (cs) Gramsche Matrix (de) Gram matrix (en) Matriz de Gram (es) Matrice di Gram (it) 그람 행렬 (ko) グラム行列 (ja) Macierz Grama (pl) Grammatrix (nl) Определитель Грама (ru) Визначник Грама (uk) 格拉姆矩阵 (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Positive_definite_matrix |
| owl:sameAs | wikidata:Gram matrix dbpedia-ca:Gram matrix dbpedia-cs:Gram matrix dbpedia-de:Gram matrix dbpedia-es:Gram matrix dbpedia-he:Gram matrix dbpedia-it:Gram matrix dbpedia-ja:Gram matrix dbpedia-ko:Gram matrix dbpedia-nl:Gram matrix dbpedia-pl:Gram matrix dbpedia-ru:Gram matrix dbpedia-sl:Gram matrix dbpedia-sr:Gram matrix dbpedia-uk:Gram matrix dbpedia-zh:Gram matrix https://global.dbpedia.org/id/R7a9 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Gram_matrix?oldid=1115685598&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Gram_matrix |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Gramian_matrix dbr:Grammian dbr:Gram_determinant dbr:Gramian |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Bernhard_Schölkopf dbr:Definite_matrix dbr:Design_matrix dbr:Welch_bounds dbr:Gaussian_process dbr:Gramian_matrix dbr:Feature_selection dbr:Kernel_method dbr:Krylov_subspace dbr:Bruce_Reznick dbr:Hadamard's_maximal_determinant_problem dbr:Grammian dbr:Euclidean_distance_matrix dbr:Matrix_congruence dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Hamiltonian_truncation dbr:Jørgen_Pedersen_Gram dbr:Binet–Cauchy_identity dbr:Sum-of-squares_optimization dbr:Symmetric_cone dbr:Immanant dbr:Ordinary_least_squares dbr:Canonical_correlation dbr:Unimodular_lattice dbr:Natural_resonance_theory dbr:Scatter_matrix dbr:Two-graph dbr:Semidefinite_programming dbr:Gram_determinant dbr:Gramian |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Definite_matrix |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Gram_matrix |