Basis (linear algebra) (original) (raw)
A àlgebra lineal, es diu que un conjunt ordenat B és base d'un espai vectorial V si es compleixen les condicions següents: * Tots els elements de la base B han de pertànyer a l'espai vectorial V. * Tots els elements de la base B han de ser linealment independents. * Tot element de V es pot escriure com una combinació lineal dels elements de la base B, és a dir B és un sistema generador de V.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | A àlgebra lineal, es diu que un conjunt ordenat B és base d'un espai vectorial V si es compleixen les condicions següents: * Tots els elements de la base B han de pertànyer a l'espai vectorial V. * Tots els elements de la base B han de ser linealment independents. * Tot element de V es pot escriure com una combinació lineal dels elements de la base B, és a dir B és un sistema generador de V. (ca) في الجبر الخطي، قاعدةٌ (بالإنجليزية: Basis) هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا، والتي بواسطة تركيبة خطية، يمكن لها أن تعبر عن أي متجه منتم إلى فضاء متجهي معين. لتكن V قاعدة ما لفضاء متجهي ما. جميع عناصر V يُمكن أن يعبر عنها بشكل وحيد بواسطة تأليفة خطية لمتجهات القاعدة. الأعداد المستعملة خلال هذه التأليفة الخطية تسمى إحداثيات المتجهة. يمكن لفضاء متجهي ما أن يملك العديد من القواعد، ولكن جميع هذه القواعد تملك نفس العدد من العناصر. لا يمكن لفضاء متجهي أن يملك قاعدة بعنصرين وقاعدة أخرى بثلاث عناصر. عدد عناصر القاعدة يسمى بُعد الفضاء المتجهي. (ar) Práci s vektorovými prostory i samotnými vektory lze velmi ulehčit zavedením pojmu báze vektorového prostoru (krátce jen báze, angl. basis, pl. bases). Jedná se o množinu jistým způsobem výjimečných vektorů z daného vektorového prostoru, pomocí níž jsme schopni vyjádřit libovolný vektor tohoto prostoru. Pojem báze úzce souvisí s pojmem dimenze vektorového prostoru. Zatímco dimenze nám říká, kolik parametrů potřebujeme na popsání libovolného vektoru v daném prostoru, báze je množina vektorů, ze kterých jsme schopni tento vektor sestrojit, známe-li tyto parametry. (cs) In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor, besteht der Vektorraum aus Funktionen, werden die Elemente im Speziellen auch Basisfunktionen genannt. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z. B. der Schauderbasis) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis (nach Georg Hamel). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation. Die Hamelbasis sollte nicht mit der Basis eines Koordinatensystems verwechselt werden, da diese Begriffe unter bestimmten Bedingungen nicht gleichgesetzt werden können (z. B. bei krummlinigen Koordinaten). (de) En lineara algebro, bazo estas minimuma aro da vektoroj, kiuj, kiam kombinitaj, povas adresi ĉiun vektoron en donita spacon. Pli detale, bazo de vektora spaco estas aro da lineare sendependaj vektoroj, kiu generas la tutan spacon. (eo) In mathematics, a set B of vectors in a vector space V is called a basis if every element of V may be written in a unique way as a finite linear combination of elements of B. The coefficients of this linear combination are referred to as components or coordinates of the vector with respect to B. The elements of a basis are called basis vectors. Equivalently, a set B is a basis if its elements are linearly independent and every element of V is a linear combination of elements of B. In other words, a basis is a linearly independent spanning set. A vector space can have several bases; however all the bases have the same number of elements, called the dimension of the vector space. This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces. (en) En álgebra lineal, una base de un espacio vectorial sobre un campo es un subconjunto de y cumple las siguientes condiciones: * Todos los elementos de pertenecen al espacio vectorial . * Los elementos de forman un sistema linealmente independiente. * Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base (es decir, es un sistema generador de ). (es) Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat". (in) En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. (fr) In de lineaire algebra is een basis van een vectorruimte een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren die de vectorruimte voortbrengen. Een element uit een basis wordt een basisvector genoemd. Voor een gegeven basis is iedere vector uit de vectorruimte een eenduidige eindige lineaire combinatie van de basisvectoren. De coëfficiënten van deze lineaire combinatie heten de coördinaten van de vector ten opzichte van de gegeven basis. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling vectoren die de hele vectorruimte voortbrengen. Een vectorruimte heeft in het algemeen meerdere bases. Ter onderscheiding van andere typen basis (die overigens meestal alleen bij oneindigdimensionale vectorruimten verschillen), wordt de hier gedefinieerde basis ook Hamelbasis (naar Georg Hamel) genoemd. (nl) 선형대수학에서, 어떤 벡터 공간의 기저(基底, 영어: basis)는 그 벡터 공간을 선형생성하는 선형독립인 벡터들이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로서 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다. (ko) 線型代数学における基底（きてい、英: basis）とは、線型独立なベクトルから成る集合あるいは組で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。 (ja) Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe. Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych. (pl) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In modo equivalente, ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base. Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita. In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio. (it) Ба́зис (др.-греч. βάσις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами. В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения: * Базис Га́меля (англ. Hamel basis), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре. * Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства. В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают. (ru) En mängd sägs vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) V om den är linjärt oberoende och spänner upp V, det vill säga varje element i V är en linjärkombination av element ur basen. Det går att byta mellan baser genom basbyten. En basvektor v i ett vektorrum V med dimensionen d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende. Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade. (sv) Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço. (pt) Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації: Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису . Ця рівність зазвичай записується скорочено: . Тобто так само, як і для запису матриць. Якщо та - деяке дійсне число, то Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел. Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису. Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір. Вектори базису є лінійно незалежними. (uk) 在线性代数中，基（英文：basis，又称基底) 是描述、刻画向量空间的基本概念。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。 通过基底可以直接地描述向量空间。比如说，在讨论一个向量空间上定义的线性变换时，可以考察变换作用在的一组基上的效果。经此掌握，就能了解到作用在中任意元素的效果。 事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/3d_two_bases_same_vector.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem%3Fid=OE_MOBIUS__1_1_0 https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211117/k7RM-ot2NWY%7C https://web.archive.org/web/20090412013616/http:/mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem%3Fid=OE_MOBIUS__1_1_0 https://web.archive.org/web/20120426050335/http:/khanexercises.appspot.com/video%3Fv=zntNi3-ybfQ https://web.archive.org/web/20120426050418/http:/khanexercises.appspot.com/video%3Fv=Zn2K8UIT8r4 http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer%3Fdid=05230001&seq=9 https://books.google.com/books%3Fid=TDQJAAAAIAAJ https://books.google.com/books%3Fid=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1%7C https://books.google.com/books%3Fid=pFQYKlnW5Z0C https://www.youtube.com/watch%3Fv=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf http://www.digizeitschriften.de/dms/img/%3FPID=GDZPPN002260395 http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642 |
| dbo:wikiPageID | 18420 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 34880 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117296620 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Axiom_of_choice dbr:Probability_distribution dbr:Projective_space dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Module_(mathematics) dbr:Monomial dbr:Monomial_basis dbr:Polynomial_sequence dbr:Normed_linear_space dbr:Vector_space dbr:Indeterminate_(variable) dbr:Index_set dbc:Articles_containing_proofs dbr:Column_vector dbr:Complete_space dbr:Complex_number dbr:Cone_(linear_algebra) dbr:Convex_set dbr:Coordinate_space dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Generating_set_of_a_module dbr:Orientation_(vector_space) dbr:Free_resolution dbr:Fréchet_space dbr:Georg_Hamel dbr:Convex_hull dbr:Coordinate_vector dbr:Orthogonal_basis dbr:Basis_of_a_matroid dbr:Bernstein_polynomial dbr:Linear_isomorphism dbr:Empty_set dbr:Fundamenta_Mathematicae dbr:Schauder_basis dbr:Standard_basis dbr:Ordered_pair dbr:Markushevich_basis dbr:Banach_space dbr:Topological_vector_space dbr:Total_order dbr:Tuple dbr:Linear_combination dbr:Linear_independence dbr:Linear_span dbr:Affine_space dbr:American_Mathematical_Society dbc:Linear_algebra dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_set dbr:Fourier_analysis dbr:Fourier_series dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Hilbert_basis_(linear_programming) dbr:Historia_Mathematica dbr:Probability_density_function dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hilbert_space dbr:Baire_category_theorem dbr:Steinitz_exchange_lemma dbr:Abelian_group dbr:Chebyshev_polynomials dbr:Zorn's_lemma dbr:Dimension_theorem_for_vector_spaces dbr:Axiom_of_choice dbr:Polynomial dbr:Polynomial_ring dbr:Independent_and_identically_distributed_random_variables dbr:Indexed_family dbr:Inner_product_space dbr:Canonical_basis dbr:Real_number dbr:Real_numbers dbr:Sequence dbr:Sequence_(mathematics) dbr:Set_(mathematics) dbr:YouTube dbr:General_linear_position dbr:Expression_(mathematics) dbr:Linearly_independent dbr:Polytope dbr:Partial_order dbr:Inverse_image dbr:Subset dbr:Uncountable dbr:Orthonormal_bases dbr:Basis_of_a_linear_program dbr:Springer-Verlag dbr:Spanning_set dbr:Ultrafilter_lemma dbr:With_probability_one dbr:File:3d_two_bases_same_vector.svg dbr:File:Basis_graph_(no_label).svg dbr:File:Random_almost_orthogonal_sets.png |
| dbp:id | p/b015350 (en) |
| dbp:title | Basis (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:! dbt:Anchor dbt:Annotated_link dbt:Cbignore dbt:Citation dbt:Cite_web dbt:Em dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:NumBlk dbt:Redirect dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Slink dbt:Visible_anchor dbt:Tensors dbt:Linear_algebra |
| dcterms:subject | dbc:Axiom_of_choice dbc:Articles_containing_proofs dbc:Linear_algebra |
| gold:hypernym | dbr:Combination |
| rdf:type | yago:WikicatVectorSpaces yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 dbo:Drug yago:Space100028651 |
| rdfs:comment | A àlgebra lineal, es diu que un conjunt ordenat B és base d'un espai vectorial V si es compleixen les condicions següents: * Tots els elements de la base B han de pertànyer a l'espai vectorial V. * Tots els elements de la base B han de ser linealment independents. * Tot element de V es pot escriure com una combinació lineal dels elements de la base B, és a dir B és un sistema generador de V. (ca) في الجبر الخطي، قاعدةٌ (بالإنجليزية: Basis) هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا، والتي بواسطة تركيبة خطية، يمكن لها أن تعبر عن أي متجه منتم إلى فضاء متجهي معين. لتكن V قاعدة ما لفضاء متجهي ما. جميع عناصر V يُمكن أن يعبر عنها بشكل وحيد بواسطة تأليفة خطية لمتجهات القاعدة. الأعداد المستعملة خلال هذه التأليفة الخطية تسمى إحداثيات المتجهة. يمكن لفضاء متجهي ما أن يملك العديد من القواعد، ولكن جميع هذه القواعد تملك نفس العدد من العناصر. لا يمكن لفضاء متجهي أن يملك قاعدة بعنصرين وقاعدة أخرى بثلاث عناصر. عدد عناصر القاعدة يسمى بُعد الفضاء المتجهي. (ar) Práci s vektorovými prostory i samotnými vektory lze velmi ulehčit zavedením pojmu báze vektorového prostoru (krátce jen báze, angl. basis, pl. bases). Jedná se o množinu jistým způsobem výjimečných vektorů z daného vektorového prostoru, pomocí níž jsme schopni vyjádřit libovolný vektor tohoto prostoru. Pojem báze úzce souvisí s pojmem dimenze vektorového prostoru. Zatímco dimenze nám říká, kolik parametrů potřebujeme na popsání libovolného vektoru v daném prostoru, báze je množina vektorů, ze kterých jsme schopni tento vektor sestrojit, známe-li tyto parametry. (cs) En lineara algebro, bazo estas minimuma aro da vektoroj, kiuj, kiam kombinitaj, povas adresi ĉiun vektoron en donita spacon. Pli detale, bazo de vektora spaco estas aro da lineare sendependaj vektoroj, kiu generas la tutan spacon. (eo) En álgebra lineal, una base de un espacio vectorial sobre un campo es un subconjunto de y cumple las siguientes condiciones: * Todos los elementos de pertenecen al espacio vectorial . * Los elementos de forman un sistema linealmente independiente. * Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base (es decir, es un sistema generador de ). (es) Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat". (in) En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. (fr) 선형대수학에서, 어떤 벡터 공간의 기저(基底, 영어: basis)는 그 벡터 공간을 선형생성하는 선형독립인 벡터들이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로서 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다. (ko) 線型代数学における基底（きてい、英: basis）とは、線型独立なベクトルから成る集合あるいは組で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。 (ja) Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe. Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych. (pl) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In modo equivalente, ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base. Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita. In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio. (it) En mängd sägs vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) V om den är linjärt oberoende och spänner upp V, det vill säga varje element i V är en linjärkombination av element ur basen. Det går att byta mellan baser genom basbyten. En basvektor v i ett vektorrum V med dimensionen d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende. Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade. (sv) Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço. (pt) 在线性代数中，基（英文：basis，又称基底) 是描述、刻画向量空间的基本概念。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。 通过基底可以直接地描述向量空间。比如说，在讨论一个向量空间上定义的线性变换时，可以考察变换作用在的一组基上的效果。经此掌握，就能了解到作用在中任意元素的效果。 事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。 (zh) In mathematics, a set B of vectors in a vector space V is called a basis if every element of V may be written in a unique way as a finite linear combination of elements of B. The coefficients of this linear combination are referred to as components or coordinates of the vector with respect to B. The elements of a basis are called basis vectors. Equivalently, a set B is a basis if its elements are linearly independent and every element of V is a linear combination of elements of B. In other words, a basis is a linearly independent spanning set. (en) In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor, besteht der Vektorraum aus Funktionen, werden die Elemente im Speziellen auch Basisfunktionen genannt. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z. B. der Schauderbasis) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis (nach Georg Hamel). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation. Die Hamelbasis sollte nicht mit der Basis eines Koordinatensystems verwechselt werden, da dies (de) In de lineaire algebra is een basis van een vectorruimte een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren die de vectorruimte voortbrengen. Een element uit een basis wordt een basisvector genoemd. Voor een gegeven basis is iedere vector uit de vectorruimte een eenduidige eindige lineaire combinatie van de basisvectoren. De coëfficiënten van deze lineaire combinatie heten de coördinaten van de vector ten opzichte van de gegeven basis. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling vectoren die de hele vectorruimte voortbrengen. Een vectorruimte heeft in het algemeen meerdere bases. Ter onderscheiding van andere typen basis (die overigens meestal alleen bij oneindigdimensionale vectorruimten verschillen), wordt de hier gedefinieerde basis ook Hamelbasis (naar Georg Ha (nl) Ба́зис (др.-греч. βάσις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами. В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения: В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают. (ru) Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації: Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису . Ця рівність зазвичай записується скорочено: . Тобто так само, як і для запису матриць. Якщо та - деяке дійсне число, то Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису. Вектори базису є лінійно незалежними. (uk) |
| rdfs:label | قاعدة (جبر خطي) (ar) Base (àlgebra) (ca) Báze (lineární algebra) (cs) Basis (Vektorraum) (de) Bazo (lineara algebro) (eo) Basis (linear algebra) (en) Base (álgebra) (es) Base (algèbre linéaire) (fr) Basis (aljabar linear) (in) Base (algebra lineare) (it) 基底 (線型代数学) (ja) 기저 (선형대수학) (ko) Baza (przestrzeń liniowa) (pl) Basis (lineaire algebra) (nl) Base (álgebra linear) (pt) Базис (ru) Bas (linjär algebra) (sv) Базис (математика) (uk) 基 (線性代數) (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Basis (linear algebra) yago-res:Basis (linear algebra) wikidata:Basis (linear algebra) dbpedia-ar:Basis (linear algebra) dbpedia-bar:Basis (linear algebra) dbpedia-be:Basis (linear algebra) dbpedia-bg:Basis (linear algebra) http://bs.dbpedia.org/resource/Baza_(linearna_algebra) dbpedia-ca:Basis (linear algebra) dbpedia-cs:Basis (linear algebra) http://cv.dbpedia.org/resource/Базис dbpedia-de:Basis (linear algebra) dbpedia-eo:Basis (linear algebra) dbpedia-es:Basis (linear algebra) dbpedia-et:Basis (linear algebra) dbpedia-fa:Basis (linear algebra) dbpedia-fi:Basis (linear algebra) dbpedia-fr:Basis (linear algebra) dbpedia-gl:Basis (linear algebra) dbpedia-he:Basis (linear algebra) dbpedia-hr:Basis (linear algebra) dbpedia-hu:Basis (linear algebra) dbpedia-id:Basis (linear algebra) dbpedia-it:Basis (linear algebra) dbpedia-ja:Basis (linear algebra) dbpedia-kk:Basis (linear algebra) dbpedia-ko:Basis (linear algebra) dbpedia-lmo:Basis (linear algebra) dbpedia-nl:Basis (linear algebra) dbpedia-nn:Basis (linear algebra) dbpedia-no:Basis (linear algebra) dbpedia-pl:Basis (linear algebra) dbpedia-pt:Basis (linear algebra) dbpedia-ro:Basis (linear algebra) dbpedia-ru:Basis (linear algebra) dbpedia-sh:Basis (linear algebra) dbpedia-simple:Basis (linear algebra) dbpedia-sk:Basis (linear algebra) dbpedia-sl:Basis (linear algebra) dbpedia-sr:Basis (linear algebra) dbpedia-sv:Basis (linear algebra) http://ta.dbpedia.org/resource/திசையன்_வெளியின்_அடுக்களம் dbpedia-tr:Basis (linear algebra) dbpedia-uk:Basis (linear algebra) http://ur.dbpedia.org/resource/بنیاد_سمتیہ dbpedia-vi:Basis (linear algebra) dbpedia-zh:Basis (linear algebra) https://global.dbpedia.org/id/pHGc |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Basis_(linear_algebra)?oldid=1117296620&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/3d_two_bases_same_vector.svg wiki-commons:Special:FilePath/Basis_graph_(no_label).svg wiki-commons:Special:FilePath/Random_almost_orthogonal_sets.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Basis_(linear_algebra) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Basis |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Coordinate_(vector_space) dbr:Vector_decomposition dbr:Hamel_bases dbr:Hamel_basis dbr:Convex_basis dbr:Component_of_a_vector dbr:Cone_basis dbr:Linear_Algebra/Basis_for_a_Vector_Space dbr:Linear_algebra/Basis_for_a_vector_space dbr:Linear_basis dbr:Basis_(algebra) dbr:Basis_(mathematics) dbr:Basis_(vector_space) dbr:Basis_element dbr:Basis_of_a_vector_space dbr:Basis_vector dbr:Basis_vectors dbr:Vector_basis dbr:Vector_space_basis dbr:Ordered_basis dbr:Algebraic_basis |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Precession dbr:Pseudo-Euclidean_space dbr:Quantum_entanglement dbr:Quantum_logic_gate dbr:Quantum_number dbr:Quantum_state dbr:Quaternion dbr:Quaternionic_analysis dbr:Qubit dbr:Root_of_unity dbr:Rotation_formalisms_in_three_dimensions dbr:Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space dbr:Row_and_column_spaces dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Schur_polynomial dbr:List_of_algorithms dbr:Module_(mathematics) dbr:Multilinear_map dbr:Numerical_linear_algebra dbr:Metabolic_network_modelling dbr:Monomial dbr:Monomial_basis dbr:Monomial_order dbr:One-way_quantum_computer dbr:Particle_number_operator dbr:Representation_theory dbr:Wigner's_friend dbr:Principal_homogeneous_space dbr:Primordial_element_(algebra) dbr:Vector-valued_differential_form dbr:Barycentric_coordinate_system dbr:Basic_subgroup dbr:Basis_function dbr:Bilinear_form dbr:Bloch's_theorem dbr:Bra–ket_notation dbr:Degenerate_bilinear_form dbr:Dehn_invariant dbr:Derivations_of_the_Lorentz_transformations dbr:Determinant dbr:Algebra_over_a_field dbr:Holonomic_basis dbr:List_of_mathematical_jargon dbr:Pauli_matrices dbr:Per_Enflo dbr:Periodic_graph_(geometry) dbr:Relativistic_quantum_mechanics dbr:Representation_of_a_Lie_group dbr:Representation_theory_of_the_Lorentz_group dbr:Revised_simplex_method dbr:Ricci_calculus dbr:Ring_of_integers dbr:Characteristic_polynomial dbr:Cubic_harmonic dbr:Curvature_invariant dbr:Cycle_(graph_theory) dbr:Cycle_basis dbr:Cycle_space dbr:Dagger_compact_category dbr:Uncertainty_principle dbr:Vector_space dbr:Defective_matrix dbr:Degree_of_a_field_extension dbr:Incidence_algebra dbr:Integer-valued_polynomial dbr:Invariant_basis_number dbr:Invariant_subspace dbr:Reciprocal_lattice dbr:Lexicographic_code dbr:Lindbladian dbr:List_of_mathematical_proofs dbr:List_of_mathematical_uses_of_Latin_letters dbr:Nuclear_structure dbr:Null_vector dbr:Position_and_momentum_spaces dbr:Stanley_symmetric_function dbr:Pseudo-spectral_method dbr:Similarity_invariance dbr:Companion_matrix dbr:Complexification dbr:Compound_matrix dbr:Conjugate_gradient_method dbr:Covariant_transformation dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication dbr:Chevalley_basis dbr:Elliptic_boundary_value_problem dbr:Essential_dimension dbr:General_linear_group dbr:Generalized_flag_variety dbr:Generating_set_of_a_module dbr:Generator_matrix dbr:Geometric_hashing dbr:Penrose_graphical_notation dbr:Symmetric_matrix dbr:Rotation_operator_(quantum_mechanics) dbr:Quantum_clustering dbr:Quantum_key_distribution dbr:Quantum_tomography dbr:Quaternionic_vector_space dbr:Qutrit dbr:Radial_basis_function_interpolation dbr:Clifford_algebra dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Eigenvalues_and_eigenvectors dbr:Equatorial_coordinate_system dbr:Function_of_several_real_variables dbr:GF(2) dbr:Generalized_eigenvector dbr:Glossary_of_Lie_groups_and_Lie_algebras dbr:Glossary_of_aerospace_engineering dbr:Glossary_of_engineering:_M–Z dbr:Glossary_of_linear_algebra dbr:Gluon_field dbr:Minkowski_space dbr:Multidimensional_sampling dbr:Corner_reflector dbr:Miller_index dbr:Milnor_number dbr:Orthogonal_functions dbr:Order_(ring_theory) dbr:Orthogonal_basis dbr:Orthogonality_(mathematics) dbr:Orthonormal_function_system dbr:Orthonormality dbr:Andreas_Blass dbr:Angular_momentum_operator dbr:Arnoldi_iteration dbr:Basis_(universal_algebra) dbr:Basis_of_a_matroid dbr:Bernstein_polynomial dbr:Lieb–Robinson_bounds dbr:Linear_algebra dbr:Linear_differential_equation dbr:Linear_form dbr:Lorentz_transformation dbr:Simplex dbr:Stéphane_Mallat dbr:Sufficient_dimension_reduction dbr:Commutative_magma dbr:Commutative_ring dbr:Commuting_matrices dbr:Compressed_sensing dbr:Density_matrix dbr:Zero_object_(algebra) dbr:Harmonic_wavelet_transform dbr:Identity_matrix dbr:Kernel_(algebra) dbr:Normal_basis dbr:Orthonormal_basis dbr:Schauder_basis dbr:Standard_basis dbr:Overdetermined_system dbr:Plane_(geometry) dbr:Pole_figure dbr:Polynomial_chaos dbr:Polynomial_identity_ring dbr:Spectral_theory dbr:Spectrum_of_a_matrix dbr:Spline_(mathematics) dbr:Staggered_fermion dbr:Stirling_number dbr:Stokes_parameters dbr:Substitution_cipher dbr:Supercell_(crystal) dbr:Symplectic_vector_space dbr:Matrix_ring dbr:Matrix_unit dbr:Matroid dbr:Active_and_passive_transformation dbr:Cayley–Hamilton_theorem dbr:Three-dimensional_space dbr:Trace_(linear_algebra) dbr:Transpose dbr:Wave_function dbr:Weak_charge dbr:Wigner–Eckart_theorem dbr:Dual_basis dbr:Dual_basis_in_a_field_extension dbr:Galerkin_method dbr:Hadamard_transform dbr:Hecke_algebra_of_a_finite_group dbr:Heisenberg_picture dbr:K-frame dbr:Lattice_(group) dbr:Lattice_problem dbr:Lattice_reduction dbr:Linear_code dbr:Linear_combination dbr:Linear_complex_structure dbr:Linear_independence dbr:Linear_span dbr:Linearly_disjoint dbr:Lippmann–Schwinger_equation dbr:Locally_finite_operator dbr:Scalar_projection dbr:Ring_of_polynomial_functions dbr:Adjugate_matrix dbr:Affine_connection dbr:Affine_transformation dbr:Affine_variety dbr:Cut_(graph_theory) dbr:Dual_graph dbr:Dual_space dbr:Duality_(mathematics) dbr:E8_(mathematics) dbr:Euclidean_vector dbr:Euler_angles dbr:Exponentiation dbr:Exterior_algebra dbr:Field_(mathematics) dbr:Fock_state dbr:Four-vector dbr:Fourier_series dbr:Frame_of_reference dbr:Angles_between_flats dbr:Angular_momentum_coupling dbr:Basic_feasible_solution dbr:Partition_function_(statistical_mechanics) dbr:Cauchy's_functional_equation dbr:Center_manifold dbr:Basis dbr:Basis_set dbr:Differential_(mathematics) dbr:Differential_poset dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Dirac–Kähler_equation dbr:Direction_cosine dbr:Forgetful_functor dbr:Frame_(linear_algebra) dbr:Frame_fields_in_general_relativity dbr:Hilbert's_syzygy_theorem dbr:Isomorphic_keyboard dbr:Isospin dbr:Iterative_method dbr:Jordan_normal_form dbr:Korkine–Zolotarev_lattice_basis_reduction_algorithm dbr:Lenstra–Lenstra–Lovász_lattice_basis_reduction_algorithm dbr:Coordinate_(vector_space) dbr:Matrix_congruence dbr:Principal_component_analysis dbr:Tangential_and_normal_components dbr:Wave_function_collapse dbr:Tensor_density dbr:Vector_decomposition dbr:Matrix_equivalence dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Hamel dbr:Position_(geometry) dbr:Primitive_element_theorem dbr:Product_(mathematics) dbr:Projection_(linear_algebra) dbr:Quantum_error_correction dbr:Quotient_space_(linear_algebra) dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Regular_representation dbr:Relational_quantum_mechanics dbr:Ring_(mathematics) dbr:Vector_projection dbr:Gröbner_basis dbr:Tensor dbr:Tensor_product dbr:Hydrogen-like_atom dbr:Hamel_bases dbr:Hamel_basis dbr:Vector-valued_function dbr:Steinitz_exchange_lemma dbr:Change_of_basis dbr:Character_theory dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Language_of_mathematics dbr:Bicomplex_number dbr:Bilinear_map dbr:Biquaternion dbr:Bivector_(complex) dbr:Symmetric_polynomial dbr:Symplectic_matrix dbr:Coalgebra dbr:Coefficient dbr:Eigenspinor dbr:Eisenbud–Levine–Khimshiashvili_signature_formula dbr:Hidden_Field_Equations dbr:Hollow_matrix dbr:Holographic_algorithm dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Symmetric_tensor dbr:Tensor_(intrinsic_definition) dbr:Tetrad_formalism dbr:Toeplitz_matrix dbr:Toeplitz_operator dbr:Transform_theory dbr:Weyr_canonical_form dbr:Wilson_loop dbr:Zassenhaus_algorithm dbr:Zorn's_lemma dbr:Modular_representation_theory dbr:Rank_factorization dbr:Symmetric_bilinear_form dbr:Split-octonion dbr:Reducing_subspace |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Basis_(linear_algebra) |
