Motive (algebraic geometry) (original) (raw)
In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, geeft een motief (of soms op zijn Frans motif) enig essentieel deel van een algebraïsche variëteit. Tot op heden is men er wel in geslaagd pure motieven te definiëren, maar dit geldt niet voor de gemengde motieven. Pure motieven zijn (X, p, m), waar X een gladde projectieve variëteit, p : X ⊢ X een idempotente is, en m een geheel getal is. Een morfisme van (X, p, m) naar (Y, q, n) wordt door een correspondentie van de graad n - m gegeven.
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| dbo:abstract | In der algebraischen Geometrie ist die Theorie der Motive eine mutmaßlich universelle Kohomologietheorie von Schemata, aus der sich die De-Rham-Kohomologie, die und die der zu dem Schema über verschiedenen Körpern assoziierten algebraischen Varietäten gewinnen lassen. Die Theorie der Motive wurde von Alexander Grothendieck entwickelt und zuerst in einem Brief an Jean-Pierre Serre 1964 eingeführt. Sie soll ihre Verallgemeinerung in der Theorie der finden, deren derivierte Kategorie von Wladimir Wojewodski konstruiert wurde. Der Name stammt von Yuri Manin, der im Mai 1967 das Seminar von Grothendieck am IHES besuchte, auf dem er das Konzept der Motive von Grothendieck selbst lernte, und 1968 die erste Arbeit über das Thema veröffentlichte, in der er auch das Motiv einer berechnete ohne Grothendiecks zu benutzen. (de) In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where X is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree . A more object-focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple consisting of modules over the rings respectively, various comparison isomorphisms between the obvious base changes of these modules, filtrations , a -action on and a "Frobenius" automorphism of . This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective -variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained a motive. (en) La théorie des motifs est un domaine de recherche mathématique qui tente d'unifier les aspects combinatoires, topologiques et arithmétiques de la géométrie algébrique. Introduite au début des années 1960 et de manière conjecturale par Alexander Grothendieck afin de mettre au jour des propriétés supposées communes à différentes théories cohomologiques, elle se trouve au cœur de nombreux problèmes ouverts en mathématiques pures. En particulier, plusieurs propriétés des courbes elliptiques semblent motiviques par nature, comme la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. L'idée est de concevoir une théorie cohomologique, comme foncteur contravariant d'une catégorie (dont les éléments sont appelés motifs), universelle au sens que toute théorie cohomologique se factorise par elle. (fr) In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, geeft een motief (of soms op zijn Frans motif) enig essentieel deel van een algebraïsche variëteit. Tot op heden is men er wel in geslaagd pure motieven te definiëren, maar dit geldt niet voor de gemengde motieven. Pure motieven zijn (X, p, m), waar X een gladde projectieve variëteit, p : X ⊢ X een idempotente is, en m een geheel getal is. Een morfisme van (X, p, m) naar (Y, q, n) wordt door een correspondentie van de graad n - m gegeven. (nl) 모티브(영어: motive, 프랑스어: motif 모티프[*])는 대수기하학의 연구대상 중 한가지로, 직관적으로 말하자면, '대수다양체의 궁극적인 성질들을 가지고 있는 대상'을 뜻한다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 말하자면, '모티브 이론'이란 '대수다양체에 관한 범용 코호몰로지 이론(universal cohomology theory)'이다. 범주론의 관점에서 보자면, 모티브들은 어떤 (algebraic correspondences)들의 범주 안에서 사영자(projector)라고 불리는 멱등원(idempotent)들을 통해서 정의하려고 시도하던 것이 전통적인 방식이었다. 그러나, 이 방법은 수십 년간 큰 진전을 보지 못했는데, 그것은 알렉산더 그로텐디크의 들의 증명에 큰 진척이 없었기 때문이었다. 이 증명이 진척되지 않아서, 위에서 말한 들의 범주에서는 '충분히' 많은 사상(morphism)들을 만드는 것이 힘들었다. 알렉산더 그로텐디크가 활발하게 활동을 하던 1960년대에서 1970년대에는, 는 (universal Weil cohomology)이론이 될 것이라고 생각했으나, 이러한 기대는 아직까지 이루어지지는 못했다. 그러나, 많은 다른 수학자들에 의해서 지금은 모티브 코호몰로지는 기술적으로 적합한 다른 방식으로 정의되었다. 따라서, 엄격하게 말하자면, 아직은 '모티브 이론'은 완전하게 완성되지는 못했으나, 그런 가설속의 대상들인 모티브들 사이의 관계에 대해서는 제법 많은 것들을 알게 되었고, 이러한 사실들은 대수다양체들에 대한 일반적인 바탕 인프라스트럭처를 만드는 것으로 믿어지고 있다. (ko) 代数幾何学では、モチーフ(motive、ときにはフランス語の使いかたに従い motif とすることもある)は、代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。 ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ⊢ X はべき等な(idempotent)対応、m は整数である。(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、次数 n - m の対応により与えられる。 アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)に従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏で(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。 一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。 (ja) |
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