Morera's theorem (original) (raw)
En anàlisi complexa, una branca de les matemàtiques, el Teorema de Morera proporciona un criteri bàsic per demostrar que una funció és holomorfa. Deu el seu nom al matemàtic italià Giacinto Morera (1856-1909).
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| dbo:abstract | En anàlisi complexa, una branca de les matemàtiques, el Teorema de Morera proporciona un criteri bàsic per demostrar que una funció és holomorfa. Deu el seu nom al matemàtic italià Giacinto Morera (1856-1909). (ca) Morerova věta je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině. (cs) Der Satz von Morera, benannt nach Giacinto Morera, ist ein Satz aus der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit komplex differenzierbaren Funktionen und deren Eigenschaften. Ist offen und eine Funktion, dann heißt sie holomorph, wenn sie in jedem Punkt von komplex differenzierbar ist. Dies stellt eine sehr starke Eigenschaft dar, beispielsweise ist eine holomorphe Funktion auch gleichzeitig analytisch, d. h. lokal in eine Potenzreihe entwickelbar. Es gibt also verhältnismäßig wenige Funktionen, mit denen sich die Funktionentheorie beschäftigt. Unter anderem daher folgen aus einigermaßen geringen Voraussetzungen sehr starke Schlüsse. Einige solcher Schlüsse erlaubt der Satz von Morera. (de) En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, que recibe el nombre del matemático italiano Giacinto Morera (1856-1909), proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa. Sea una función de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo en el plano complejo que satisface para cada curva que sea a trozos en , entonces debe ser holomorfa en . La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que tiene una primitiva en . El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que se impongan hipótesis adicionales. El inverso se cumple, por ejemplo, si el dominio es simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, el cual establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero. El contraejemplo estándar es la función f(z) = , la cual es holomorfa en . En cualquier entorno simplemente conexo U en , tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = reiθ. Debido a la ambigüedad de θ bajo la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de en U. Dado que la derivada de una constante aditiva es 0, se le puede sumar cualquier constante a la primitiva, y el resultado continúa siendo una primitiva de . En cierto sentido, la función es un contraejemplo universal: para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que no tiene primitiva en . (es) In complex analysis, a branch of mathematics, Morera's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic. Morera's theorem states that a continuous, complex-valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies for every closed piecewise C1 curve in D must be holomorphic on D. The assumption of Morera's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D. The converse of the theorem is not true in general. A holomorphic function need not possess an antiderivative on its domain, unless one imposes additional assumptions. The converse does hold e.g. if the domain is simply connected; this is Cauchy's integral theorem, stating that the line integral of a holomorphic function along a closed curve is zero. The standard counterexample is the function f(z) = 1/z, which is holomorphic on C − {0}. On any simply connected neighborhood U in C − {0}, 1/z has an antiderivative defined by L(z) = ln(r) + iθ, where z = reiθ. Because of the ambiguity of θ up to the addition of any integer multiple of 2π, any continuous choice of θ on U will suffice to define an antiderivative of 1/z on U. (It is the fact that θ cannot be defined continuously on a simple closed curve containing the origin in its interior that is the root of why 1/z has no antiderivative on its entire domain C − {0}.) And because the derivative of an additive constant is 0, any constant may be added to the antiderivative and it's still an antiderivative of 1/z. In a certain sense, the 1/z counterexample is universal: For every analytic function that has no antiderivative on its domain, the reason for this is that 1/z itself does not have an antiderivative on C − {0}. (en) En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, le théorème de Morera (du nom du mathématicien italien Giacinto Morera) est « une réciproque utile du théorème intégral de Cauchy » ou plus précisément de son ingrédient principal, le lemme de Goursat. Il énonce qu'une fonction continue sur un ouvert est holomorphe dès que son intégrale le long de tout triangle inclus dans cet ouvert est nulle : Soit U un ouvert du plan complexe et soit f une fonction à valeurs complexes continue sur U. Si, pour tout triangle T dont la frontière est incluse dans U, on a alors f est holomorphe sur U. (fr) In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera. (it) 복소해석학에서 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다. (ko) 数学の一分野である複素解析におけるモレラの定理（モレラのていり、英: Morera's theorem）とは、の名にちなむ定理で、函数が正則であるか判別するための重要な指標を与えるものである。 (ja) Twierdzenie Morery – twierdzenie analizy zespolonej mówiące, że jeśli funkcja określona na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej o wartościach zespolonych jest ciągła oraz jeżeli dla dowolnego trójkąta całka krzywoliniowa po z tej funkcji jest równa zeru, tj. to funkcja ta jest holomorficzna w . Twierdzenie Morery jest w pewnym sensie odwróceniem lematu Goursata (twierdzenia całkowego Cauchy’ego). (pl) Em análise complexa, um ramo da matemática, o teorema de Morera, em homenagem a Giacinto Morera, dá um critério importante para provar que uma função é holomórfica. Teorema de Morera afirma que uma função complexa, contínua, de valor ƒ definida em um conjunto aberto simplesmente conexo D no plano complexo que satisfaz: em D, para cada curva seccionada fechada C1, deve ser holomórfico sobre D. (pt) У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика . (uk) Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так: Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области . (ru) 莫雷拉定理是一个用来判断函数是否全纯的定理。 如果f是一个连续的复值函数，定义在复平面上的开集D内，且对于所有D内的闭曲线C，都满足 则f在D内是全纯的。 莫雷拉定理的假设等于是说f在D内具有原函数。 该定理的逆命题不一定成立。全纯函数在定义域内并不一定有原函数，除非加上更多条件。例如，柯西积分定理说明全纯函数沿着一条闭曲线的路径积分为零，只要函数的定义域是单连通的。 (zh) |
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