Ordinal arithmetic (original) (raw)
Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin – tím se zabývá kardinální aritmetika. V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin – tím se zabývá kardinální aritmetika. V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů. (cs) En el camp matemàtic de la teoria de conjunts, l'aritmètica ordinal descriu les tres operacions habituals sobre nombres ordinals: addició, multiplicació i exponenciació. Cadascuna d'aquestes operacions es pot definir, bàsicament, de dues maneres: sigui construint un que representi l'operació, sigui per . La forma normal de Cantor proporciona una manera estàndard d'escriure ordinals. Les així anomenades operacions aritmètiques "naturals" preserven la commutativitat a expenses de la continuïtat. (ca) Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht. Die Addition und die Multiplikation von Ordinalzahlen ist von Cantor (1897) durch Komposition eingeführt worden, das Potenzieren dagegen funktional mittels Grenzübergang. Die erste ausführliche und systematische Studie über transfinite Arithmetik stammt von Ernst Jacobsthal („Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik“, Math. Ann., 1909). Sie zeigt, dass beide Methoden – die funktionale und die Kompositionsmethode – zu denselben Rechenoperationen führen. (de) En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales. Cada operación puede definirse bien por recursión transfinita, bien definiendo los conjuntos bien ordenados que las representan. (es) In the mathematical field of set theory, ordinal arithmetic describes the three usual operations on ordinal numbers: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set that represents the result of the operation or by using transfinite recursion. Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals. In addition to these usual ordinal operations, there are also the and the . (en) Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich. Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe. Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie. (pl) 我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://mtnmath.com/ord https://books.google.com/books%3Fid=WTAl997XDb4C&q=%22ordinal+arithmetic%22%7Cdate=21 |
| dbo:wikiPageID | 2139226 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 30657 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1102932388 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Cartesian_product dbr:Power_set dbr:Bitwise_operation dbr:Aleph_naught dbr:Peano_axioms dbr:Remainder dbr:Limit_ordinal dbr:Thomas_Jech dbr:Pentation dbr:Commutative dbr:Mathematics dbr:Ernst_Jacobsthal dbr:Order_type dbr:Class_(set_theory) dbr:Epsilon_numbers_(mathematics) dbr:Gerhard_Hessenberg dbr:Multiplication dbr:Coproduct dbr:Ordinal_notation dbr:Linear_order dbr:Ordered_pair dbr:Successor_ordinal dbr:Additively_indecomposable_ordinal dbc:Set_theory dbr:Tuple dbr:Well-order dbr:Well-quasi-ordering dbr:Large_countable_ordinal dbr:Addition dbr:Euclidean_domain dbr:Exponentiation dbr:Field_(mathematics) dbr:First-order_logic dbr:Nimber dbr:Cardinality dbr:Hexation dbr:Tetration dbr:Ring_(algebra) dbc:Ordinal_numbers dbr:John_Conway dbr:Kenneth_Kunen dbr:Support_(mathematics) dbr:Surreal_numbers dbr:Transfinite_recursion dbr:Distributivity dbr:Mex_(mathematics) dbr:Natural_numbers dbr:Associative dbr:Ordinal_number dbr:Semiring dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_theory dbr:Union_(set_theory) dbr:Near-semiring dbr:First_uncountable_ordinal dbr:Lexicographical_order dbr:Veblen_function dbr:Zero-product_property dbr:Free_commutative_monoid dbr:Proof-theoretic_strength dbr:Order-type dbr:Ordered_group dbr:Positional_numeral_system dbr:Absoluteness_(mathematical_logic) dbr:Left-cancellative dbr:Left_division dbr:Primitive_recursive_ordinal_function dbr:Infinite_union dbr:Cardinal_exponentiation |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Sectionlink dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Harv dbt:Main dbt:Math dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Isbn |
| dct:subject | dbc:Set_theory dbc:Ordinal_numbers |
| rdf:type | yago:WikicatBasicConceptsInInfiniteSetTheory yago:WikicatOrdinalNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:Concept105835747 yago:Content105809192 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Idea105833840 yago:Measure100033615 yago:Number113582013 yago:OrdinalNumber113597280 yago:PsychologicalFeature100023100 |
| rdfs:comment | Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin – tím se zabývá kardinální aritmetika. V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů. (cs) En el camp matemàtic de la teoria de conjunts, l'aritmètica ordinal descriu les tres operacions habituals sobre nombres ordinals: addició, multiplicació i exponenciació. Cadascuna d'aquestes operacions es pot definir, bàsicament, de dues maneres: sigui construint un que representi l'operació, sigui per . La forma normal de Cantor proporciona una manera estàndard d'escriure ordinals. Les així anomenades operacions aritmètiques "naturals" preserven la commutativitat a expenses de la continuïtat. (ca) En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales. Cada operación puede definirse bien por recursión transfinita, bien definiendo los conjuntos bien ordenados que las representan. (es) In the mathematical field of set theory, ordinal arithmetic describes the three usual operations on ordinal numbers: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set that represents the result of the operation or by using transfinite recursion. Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals. In addition to these usual ordinal operations, there are also the and the . (en) 我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。 (zh) Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht. Die Addition und die Multiplikation von Ordinalzahlen ist von Cantor (1897) durch Komposition eingeführt worden, das Potenzieren dagegen funktional mittels Grenzübergang. Die erste ausführliche und systematische Studie über transfinite Arithmetik stammt von Ernst Jacobsthal („Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik“, Math. Ann., 1909). Sie zeigt, dass beide Methoden – die funktionale und die Kompositionsme (de) Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich. Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe. (pl) |
| rdfs:label | Aritmètica ordinal (ca) Ordinální aritmetika (cs) Transfinite Arithmetik (de) Aritmética ordinal (es) Opérations arithmétiques sur les ordinaux (fr) 서수의 산술 (ko) Ordinal arithmetic (en) Arytmetyka liczb porządkowych (pl) 序數算術 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Ordinal arithmetic yago-res:Ordinal arithmetic wikidata:Ordinal arithmetic dbpedia-ca:Ordinal arithmetic dbpedia-cs:Ordinal arithmetic dbpedia-de:Ordinal arithmetic dbpedia-es:Ordinal arithmetic dbpedia-fr:Ordinal arithmetic dbpedia-ko:Ordinal arithmetic dbpedia-pl:Ordinal arithmetic dbpedia-zh:Ordinal arithmetic https://global.dbpedia.org/id/CCCp |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Ordinal_arithmetic?oldid=1102932388&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Ordinal_arithmetic |
| is dbo:knownFor of | dbr:Gerhard_Hessenberg |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Transfinite_arithmetic dbr:Natural_product_of_ordinals dbr:Natural_sum_of_ordinals dbr:Ordinal_addition dbr:Cantor_normal_form dbr:Cantor_normal_form_theorem dbr:Ordinal_exponentiation dbr:Ordinal_multiplication dbr:Arithmetic_of_ordinals dbr:Natural_operation_(ordinal_arithmetic) dbr:Hessenberg_product dbr:Hessenberg_sum dbr:Prime_ordinal dbr:Product_of_ordinals |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:On_Numbers_and_Games dbr:Von_Neumann_cardinal_assignment dbr:Limit_ordinal dbr:Normal_function dbr:Ordinal_collapsing_function dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:Gentzen's_consistency_proof dbr:Georg_Cantor dbr:Gerhard_Hessenberg dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Constructive_set_theory dbr:Epsilon_number dbr:Ordinal_notation dbr:Anne_C._Morel dbr:Successor_ordinal dbr:Surreal_number dbr:Actual_infinity dbr:Additively_indecomposable_ordinal dbr:Distributive_property dbr:Karl_Hessenberg dbr:Large_countable_ordinal dbr:Adolf_Lindenbaum dbr:Baire_space_(set_theory) dbr:Transfinite_arithmetic dbr:Transfinite_number dbr:Natural_product_of_ordinals dbr:Natural_sum_of_ordinals dbr:Ordinal_addition dbr:Ordinal_number dbr:Semiring dbr:Kleene's_O dbr:Near-semiring dbr:List_of_things_named_after_Georg_Cantor dbr:First_uncountable_ordinal dbr:Veblen_function dbr:Cantor_normal_form dbr:Cantor_normal_form_theorem dbr:Ordinal_exponentiation dbr:Ordinal_multiplication dbr:Arithmetic_of_ordinals dbr:Natural_operation_(ordinal_arithmetic) dbr:Hessenberg_product dbr:Hessenberg_sum dbr:Prime_ordinal dbr:Product_of_ordinals |
| is dbp:knownFor of | dbr:Gerhard_Hessenberg |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Ordinal_arithmetic |