Altitude (triangle) (original) (raw)
S'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prové del grec ορθο (orto), recte, en referència a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | S'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prové del grec ορθο (orto), recte, en referència a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle. (ca) في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس المثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس بالقاعدة الممتدة لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم قدم الارتفاع. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم بإسقاط الارتفاع. إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي. يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية. في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس. من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز h (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر c يقسم الوتر إلى جزأين p و q . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ h c، فسنحصل على العلاقة في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة)، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث. (ar) Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen, d. h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken. Der Höhenschnittpunkt ist einer der vier klassischen ausgezeichneten Punkte des Dreiecks. In der Skizze sind die Höhen mit [AHa], [BHb] und [CHc] bezeichnet. Ist das gegebene Dreieck ABC spitzwinklig, so befindet sich der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks. Hat das Dreieck dagegen einen stumpfen Winkel (also einen Winkel über 90°), so liegt H außerhalb. Im rechtwinkligen Fall schließlich stimmt H mit dem Scheitel des rechten Winkels überein. (de) In geometry, an altitude of a triangle is a line segment through a vertex and perpendicular to (i.e., forming a right angle with) a line containing the base (the side opposite the vertex). This line containing the opposite side is called the extended base of the altitude. The intersection of the extended base and the altitude is called the foot of the altitude. The length of the altitude, often simply called "the altitude", is the distance between the extended base and the vertex. The process of drawing the altitude from the vertex to the foot is known as dropping the altitude at that vertex. It is a special case of orthogonal projection. Altitudes can be used in the computation of the area of a triangle: one half of the product of an altitude's length and its base's length equals the triangle's area. Thus, the longest altitude is perpendicular to the shortest side of the triangle. The altitudes are also related to the sides of the triangle through the trigonometric functions. In an isosceles triangle (a triangle with two congruent sides), the altitude having the incongruent side as its base will have the midpoint of that side as its foot. Also the altitude having the incongruent side as its base will be the angle bisector of the vertex angle. It is common to mark the altitude with the letter h (as in height), often subscripted with the name of the side the altitude is drawn to. In a right triangle, the altitude drawn to the hypotenuse c divides the hypotenuse into two segments of lengths p and q. If we denote the length of the altitude by hc, we then have the relation (Geometric mean theorem) For acute triangles the feet of the altitudes all fall on the triangle's sides (not extended). In an obtuse triangle (one with an obtuse angle), the foot of the altitude to the obtuse-angled vertex falls in the interior of the opposite side, but the feet of the altitudes to the acute-angled vertices fall on the opposite extended side, exterior to the triangle. This is illustrated in the adjacent diagram: in this obtuse triangle, an altitude dropped perpendicularly from the top vertex, which has an acute angle, intersects the extended horizontal side outside the triangle. (en) En geometrio, alto de triangulo estas streko kuniganta verticon kun la kontraŭa latero aŭ ĝia vastigaĵo, perpendikulara al la latero. Ĉi tiu latero estas la de la alto. Longo de la alto estas distanco inter la bazo kaj la vertico. En izocela triangulo (triangulo kun du lateroj de la sama longo), la alto de vertico kie kuniĝas kongruaj lateroj, intersekcas la kontraŭan lateron (la bazon) je ĝia mezpunkto. En egallatera triangulo ĉi tio veras por ĉiuj tri altoj. Longo de alto povas esti uzata por kalkuli areon de la triangulo. La areo estas egala al duono de produto de alta longo kaj ĝia baza longo. La rezulto estas la sama por ĉiu el la tri altoj. En orta triangulo, la alto al la hipotenuzo kiel bazo dividas la hipotenuzon en du partojn de longoj p kaj q tiel ke h2 = pq kie h estas longo de la alto. (eo) En geometría plana, una altura de un triángulo es cada uno de los segmentos que une un vértice con un punto de su lado opuesto o de su prolongación y es perpendicular a dicho lado. (es) Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo. El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas. El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo. (es) Ortozentroa (grezierazko ορθόκεντρο hitzetik) triangelu baten hiru garaierek elkar ebakitzen duten puntua da. Orto aurrizkiak zuzen esan nahi du grezieraz, eta oinarriak eta garaierak osatzen duten angeluari egiten dio erreferentzia. Triangelu zorrotzaren kasuan, ortozentroa barnean dago; triangelua zuzena bada, angelu zuzenaren erpinean bertan dago; eta kamutsa bada, kanpoan dago. ABC triangelua zeiharra bada —hau da, ez badu angelu zuzenik—, garaieren eta aldeen ebaki-puntuek abc beste triangelu bat osatzen dute, triangelu ortikoa edo garaieren triangelua deiturikoa. Bada, ortozentroak beste propietate bat du: irudian ikus daitekeenez, intzentroa da. (eu) En géométrie plane, on appelle hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé. On donne également le nom de hauteur * au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet * à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé. Pour une hauteur passant par un sommet donné (appelé apex), la base associée à cette hauteur est le côté opposé au sommet (ou sa longueur). (fr) 初等幾何学における三角形の頂垂線（ちょうすいせん、英: altitude）または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺（この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ）を含む直線へ垂直に引いた線分を言う。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長（線）」と呼ぶ。（頂）垂線と底辺（の延長線）との交点は、（頂）垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」（しばしばこれを「高さ」("the altitude") と呼ぶ）は、頂点と底辺（の延長線）との間の距離（すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離）を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(dropping the altitude) と言い、それは直交射影の特別の場合である。 高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。 二等辺三角形（二つの合同な辺を持つ三角形）において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。 頂垂線またはその長さを表すのにしばしば文字 h（height に由来) が用いられ、対応する頂点を表す記号をしばしば添字として付けてどの頂点からの垂線なのかを表す。 直角三角形において、直角を持つ頂点から斜辺 c へ引いた垂線によって斜辺を二つの線分（それぞれ長さ p および q）に分割する。この頂垂線の長さを hc と書けば、 なる関係が成り立つ（）。 鋭角三角形および直角三角形に対しては、すべての頂垂線の足は三角形の（延長線上でない）辺上に載っている。（一つの鈍角を含む）鈍角三角形においては、鈍角を持つ頂点からの垂線は対辺の内部に足を降ろすが、残りの鋭角を持つ二頂点からの垂線はそれぞれの対辺の延長線上（すなわち三角形の外）に足を降ろす。 * 三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り（６つ）、図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。 * 三角形においては、頂垂線（或いはその延長線）上における垂心から足まで長さと足から三角形の外接円と延長線上の交点（当該頂垂線が関わる頂点ではない側）までの長さが一致する。図の中の外接円が書かれた黄色の三角形の各辺の両側にある赤・青・緑の領域は、それぞれ辺を軸とする線対称な形となっている。 * ある三角形の頂垂線の足３箇所を円周上に持つ正円について、その円周上には同じ三角形の各辺を二等分する点３箇所も存在し、その面積は同じ三角形の外接円の面積の４分の１となっている。 * 三角形の三辺の位置と長さそのものを直径とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の頂垂線となる。 * 三角形の一辺が頂垂線の足で分割される場合、分割後の長さの辺を持つ正方形同士の面積の差分は、当該三角形の他の二辺で作られる正方形同士の面積の差分と等しくなっている。 * 鋭角三角形(橙)の各辺を用いた各正方形を係る辺の向かいの頂点からの頂垂線の延長線で分割した場合、分割後に生じる長方形について同色のもの同士の面積は互いに等しくなっている。 (ja) 기하학에서 수심(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다. (ko) 初等幾何学における垂心（すいしん、英: orthocenter）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。 (ja) Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt van de driehoek. De oppervlakte van een driehoek kan uitgedrukt worden met behulp van een hoogtelijn. De oppervlakte is gelijk aan de helft van het product van de lengte van een hoogtelijn (van hoek tot eventueel verlengde zijde) en de bijbehorende zijde. (nl) Het snijpunt van de hoogtelijnen van een driehoek heet het hoogtepunt. Het is het driehoekscentrum met Kimberling nummer X(4). Het hoogtepunt is het anticomplement van het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De hoekpunten van een driehoek samen met het hoogtepunt vormen een hoogtepuntssysteem. Hoogtepunt, zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel liggen op een rechte lijn. Dit is de rechte van Euler. Spiegel je het hoogtepunt in de drie zijden van de driehoek, dan liggen de beeldpunten op de omgeschreven cirkel. (nl) Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka. Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu prostokątnego wierzchołka na podstawę. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają odcinek wspólny z wnętrzem trójkąta, w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne, a w trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z kątów ostrych przecinają go tylko w wierzchołku. W trójkącie równobocznym o boku długości wszystkich wysokości są równej miary, która wynosi (pl) In geometria, l'ortocentro (simbolo H, sull'ETC X4) è il punto di incontro delle altezze di un triangolo. Fig.1 - Dimostrazione che l'ortocentro H del triangolo ABC coincide con il circocentro del triangolo A'B'C'. Per dimostrare che tutte e tre le altezze del triangolo si intersecano in un certo punto H, dato il triangolo ABC in Fig.1, si tracciano da ciascun vertice le parallele ai lati opposti, creando così un triangolo più grande A'B'C'.All'interno del nuovo triangolo si possono riconoscere i tre parallelogrammi ABA'C - BCB'A - CAC'B. Considerando che in ciascun parallelogramma i lati opposti sono di lunghezza uguale, si vede che i lati del nuovo triangolo risultano essere di lunghezza doppia rispetto ai lati del triangolo originale e sono divisi a metà dai vertici dello stesso.Si vede allora che le altezze del triangolo originale corrispondano agli assi (rette perpendicolari nel punto mediano) dei lati del nuovo triangolo. Poiché i tre assi dei lati del nuovo triangolo si devono intersecare in un punto che sia il centro della circonferenza circoscritta (vedi circocentro), questo deve valere anche per le altezze del triangolo iniziale. Quindi il punto di incontro delle altezze H (ortocentro) è unico, come si voleva dimostrare. (it) O ortocentro é o ponto onde se intersetam as 3 alturas relativas de um triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos). O nome deriva da expressão grega orto, que quer dizer reto, referindo-se ao ângulo formado entre as bases e as alturas. O ortocentro encontra-se na região interna do triângulo se este é , coincide com o vértice do ângulo reto se for retângulo e encontra-se fora do triângulo no caso deste ser . (pt) Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника. (ru) Med ortocentrum avses inom geometrin den gemensamma skärningspunkten för höjderna (eller dessas förlängningar) i en triangel. Med höjd avses sträckan (det räta linjesegmentet) från ett hörn till hörnets fotpunkt på den motstående sidan (eller dess förlängning). Höjden är en så kallad cevian. (sv) Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить сторону протилежну вершині, та перпендикулярний до неї. Висотою також називають довжину висоти трикутника, тобто відстань від вершини до протилежної сторони. Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, яка містить протилежну сторону. Висоту використовують для обчислення площі трикутника. Вона дорівнює половині добутку довжини висоти на довжину основи, тобто протилежної сторони: де — відповідно довжина сторони та висота трикутника ( від англ. height), опущена на цю сторону. Отже, найдовша висота трикутника буде лежати навпроти найкоротшої сторони трикутника. Висота пов'язана з довжинами сторін трикутника тригонометричними функціями. У рівнобедреному трикутнику (трикутнику, в якому дві сторони конгруентні), висота, проведена до неконгруентної сторони, потрапляє у середню точку цієї сторони. Також, ця висота буде бісектрисою кута трикутника, з вершини якого вона проведена. В прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу, ділить її на два відрізки довжини m і n. Якщо довжину висоти позначити через , то отримаємо співвідношення: (середнє геометричне) В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника. В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику дві висоти збігаються з катетами цього трикутника. Три висоти або їх продовження, перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр буде лежати всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут). (uk) Ортоцентр (от др.-греч. ὀρθός «прямой») — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой . В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4). (ru) Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою . В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Triangle.Orthocenter.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.mathopenref.com/constorthocenter.html http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html http://demonstrations.wolfram.com/FagnanosProblem/ |
| dbo:wikiPageID | 161241 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-de:Höhe_(Geometrie) dbpedia-he:גובה_(גאומטריה) |
| dbo:wikiPageLength | 21752 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122610781 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Midpoint dbr:Homothetic_transformation dbr:Hypotenuse dbr:Perpendicular dbr:Incenter dbr:Inverse_Pythagorean_theorem dbr:Line_segment dbr:Acute_triangle dbr:Collinear_points dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Geometric_mean_theorem dbr:Obtuse_triangle dbr:Circumcenter dbr:Equilateral_triangle dbr:Geometry dbr:Congruence_(geometry) dbr:Orthocentric_system dbr:Orthologic_triangles dbr:Rectangular_hyperbola dbr:Barycentric_coordinates_(mathematics) dbr:Pedal_triangle dbr:Acute_and_obtuse_triangles dbr:Centroid dbr:Cevian dbr:Trigonometric_functions dbr:Nine-point_circle dbc:Straight_lines_defined_for_a_triangle dbr:Euclidean_vector dbr:Excircle dbr:Base_(geometry) dbr:Parabola dbr:Isosceles_triangle dbr:Isotomic_conjugate dbr:Lemoine_point dbr:Directrix_(conic_section) dbr:Wolfram_Demonstrations_Project dbr:Circumradius dbr:Inradius dbr:Right_angle dbr:Heron's_formula dbr:Isogonal_conjugate dbr:James_Joseph_Sylvester dbr:Angle_bisector dbr:Triangle_center dbr:Triangle dbr:Trilinear_coordinates dbr:William_Chapple_(surveyor) dbr:Circumscribed_circle dbr:If_and_only_if dbr:Incircle dbr:Obtuse_angle dbr:Orthogonal_projection dbr:Medial_triangle dbr:Median_(geometry) dbr:Vertex_(geometry) dbr:Viviani's_theorem dbr:Euler_line dbr:Extended_side dbr:Fagnano's_problem dbr:Polar_circle_(geometry) dbr:Tangential_triangle dbr:Right_triangle dbr:Center_of_similitude dbr:Circumconic dbr:File:Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg dbr:File:Inverse_pythagorean_theorem.svg dbr:File:Orthocenter_of_obtuse_triangle.svg dbr:File:Rtriangle.svg dbr:File:Triangle.Orthocenter.svg |
| dbp:title | Altitude (en) |
| dbp:urlname | Altitude (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:! dbt:Citation dbt:Clear dbt:Main dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Mvar dbt:Redirect2 dbt:Reflist dbt:Rp dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Sub dbt:Right_angle_altitude.svg |
| dct:subject | dbc:Straight_lines_defined_for_a_triangle |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatTriangleCenters yago:WikicatTriangles yago:Abstraction100002137 yago:Area108497294 yago:Attribute100024264 yago:Center108523483 yago:Figure113862780 yago:Location100027167 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:PlaneFigure113863186 yago:Polygon113866144 yago:Region108630985 yago:YagoGeoEntity yago:YagoLegalActorGeo yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Shape100027807 yago:Triangle113879320 |
| rdfs:comment | S'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prové del grec ορθο (orto), recte, en referència a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle. (ca) En geometría plana, una altura de un triángulo es cada uno de los segmentos que une un vértice con un punto de su lado opuesto o de su prolongación y es perpendicular a dicho lado. (es) Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo. El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas. El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo. (es) 기하학에서 수심(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다. (ko) 初等幾何学における垂心（すいしん、英: orthocenter）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。 (ja) Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt van de driehoek. De oppervlakte van een driehoek kan uitgedrukt worden met behulp van een hoogtelijn. De oppervlakte is gelijk aan de helft van het product van de lengte van een hoogtelijn (van hoek tot eventueel verlengde zijde) en de bijbehorende zijde. (nl) Het snijpunt van de hoogtelijnen van een driehoek heet het hoogtepunt. Het is het driehoekscentrum met Kimberling nummer X(4). Het hoogtepunt is het anticomplement van het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De hoekpunten van een driehoek samen met het hoogtepunt vormen een hoogtepuntssysteem. Hoogtepunt, zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel liggen op een rechte lijn. Dit is de rechte van Euler. Spiegel je het hoogtepunt in de drie zijden van de driehoek, dan liggen de beeldpunten op de omgeschreven cirkel. (nl) O ortocentro é o ponto onde se intersetam as 3 alturas relativas de um triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos). O nome deriva da expressão grega orto, que quer dizer reto, referindo-se ao ângulo formado entre as bases e as alturas. O ortocentro encontra-se na região interna do triângulo se este é , coincide com o vértice do ângulo reto se for retângulo e encontra-se fora do triângulo no caso deste ser . (pt) Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника. (ru) Med ortocentrum avses inom geometrin den gemensamma skärningspunkten för höjderna (eller dessas förlängningar) i en triangel. Med höjd avses sträckan (det räta linjesegmentet) från ett hörn till hörnets fotpunkt på den motstående sidan (eller dess förlängning). Höjden är en så kallad cevian. (sv) Ортоцентр (от др.-греч. ὀρθός «прямой») — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой . В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4). (ru) Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою . В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута. (uk) في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس المثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس بالقاعدة الممتدة لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم قدم الارتفاع. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم بإسقاط الارتفاع. إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي. (ar) Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen, d. h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken. Der Höhenschnittpunkt ist einer der vier klassischen ausgezeichneten Punkte des Dreiecks. (de) In geometry, an altitude of a triangle is a line segment through a vertex and perpendicular to (i.e., forming a right angle with) a line containing the base (the side opposite the vertex). This line containing the opposite side is called the extended base of the altitude. The intersection of the extended base and the altitude is called the foot of the altitude. The length of the altitude, often simply called "the altitude", is the distance between the extended base and the vertex. The process of drawing the altitude from the vertex to the foot is known as dropping the altitude at that vertex. It is a special case of orthogonal projection. (en) En geometrio, alto de triangulo estas streko kuniganta verticon kun la kontraŭa latero aŭ ĝia vastigaĵo, perpendikulara al la latero. Ĉi tiu latero estas la de la alto. Longo de la alto estas distanco inter la bazo kaj la vertico. En izocela triangulo (triangulo kun du lateroj de la sama longo), la alto de vertico kie kuniĝas kongruaj lateroj, intersekcas la kontraŭan lateron (la bazon) je ĝia mezpunkto. En egallatera triangulo ĉi tio veras por ĉiuj tri altoj. En orta triangulo, la alto al la hipotenuzo kiel bazo dividas la hipotenuzon en du partojn de longoj p kaj q tiel ke h2 = pq (eo) Ortozentroa (grezierazko ορθόκεντρο hitzetik) triangelu baten hiru garaierek elkar ebakitzen duten puntua da. Orto aurrizkiak zuzen esan nahi du grezieraz, eta oinarriak eta garaierak osatzen duten angeluari egiten dio erreferentzia. Triangelu zorrotzaren kasuan, ortozentroa barnean dago; triangelua zuzena bada, angelu zuzenaren erpinean bertan dago; eta kamutsa bada, kanpoan dago. (eu) En géométrie plane, on appelle hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé. On donne également le nom de hauteur * au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet * à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé. (fr) In geometria, l'ortocentro (simbolo H, sull'ETC X4) è il punto di incontro delle altezze di un triangolo. Fig.1 - Dimostrazione che l'ortocentro H del triangolo ABC coincide con il circocentro del triangolo A'B'C'. (it) 初等幾何学における三角形の頂垂線（ちょうすいせん、英: altitude）または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺（この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ）を含む直線へ垂直に引いた線分を言う。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長（線）」と呼ぶ。（頂）垂線と底辺（の延長線）との交点は、（頂）垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」（しばしばこれを「高さ」("the altitude") と呼ぶ）は、頂点と底辺（の延長線）との間の距離（すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離）を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(dropping the altitude) と言い、それは直交射影の特別の場合である。 高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。 二等辺三角形（二つの合同な辺を持つ三角形）において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。 なる関係が成り立つ（）。 * * * * (ja) Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka. Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu prostokątnego wierzchołka na podstawę. (pl) Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить сторону протилежну вершині, та перпендикулярний до неї. Висотою також називають довжину висоти трикутника, тобто відстань від вершини до протилежної сторони. Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, яка містить протилежну сторону. Висоту використовують для обчислення площі трикутника. Вона дорівнює половині добутку довжини висоти на довжину основи, тобто протилежної сторони: (середнє геометричне) (uk) |
| rdfs:label | ارتفاع (مثلث) (ar) Ortocentre (ca) Höhenschnittpunkt (de) Alto (triangulo) (eo) Altitude (triangle) (en) Ortocentro (es) Ortozentro (eu) Altura (triángulo) (es) Garis tinggi segitiga (in) Ortocentro (it) Hauteur d'un triangle (fr) 수심 (기하학) (ko) 頂垂線 (三角形) (ja) 垂心 (ja) Hoogtepunt (meetkunde) (nl) Hoogtelijn (driehoek) (nl) Wysokość trójkąta (pl) Ortocentro (pt) Высота треугольника (ru) Ortocentrum (sv) Ортоцентр (ru) Ортоцентр (uk) 垂心 (zh) Висота трикутника (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Orthocentric_system |
| owl:sameAs | freebase:Altitude (triangle) yago-res:Altitude (triangle) wikidata:Altitude (triangle) wikidata:Altitude (triangle) dbpedia-ar:Altitude (triangle) dbpedia-be:Altitude (triangle) dbpedia-bg:Altitude (triangle) dbpedia-bg:Altitude (triangle) http://bs.dbpedia.org/resource/Visina_trougla dbpedia-ca:Altitude (triangle) http://ckb.dbpedia.org/resource/بەرزی_(سێگۆشە) http://cv.dbpedia.org/resource/Виçкĕтеслĕх_çӳллĕшĕ http://cv.dbpedia.org/resource/Ортоцентр dbpedia-de:Altitude (triangle) dbpedia-eo:Altitude (triangle) dbpedia-es:Altitude (triangle) dbpedia-es:Altitude (triangle) dbpedia-eu:Altitude (triangle) dbpedia-fa:Altitude (triangle) dbpedia-fi:Altitude (triangle) dbpedia-fr:Altitude (triangle) dbpedia-gl:Altitude (triangle) dbpedia-gl:Altitude (triangle) dbpedia-hr:Altitude (triangle) dbpedia-hu:Altitude (triangle) http://hy.dbpedia.org/resource/Եռանկյան_բարձրություն http://hy.dbpedia.org/resource/Օրթոկենտրոն dbpedia-id:Altitude (triangle) dbpedia-it:Altitude (triangle) dbpedia-ja:Altitude (triangle) dbpedia-ja:Altitude (triangle) dbpedia-kk:Altitude (triangle) dbpedia-ko:Altitude (triangle) http://lv.dbpedia.org/resource/Trijstūra_augstums dbpedia-mk:Altitude (triangle) dbpedia-nl:Altitude (triangle) dbpedia-nl:Altitude (triangle) dbpedia-pl:Altitude (triangle) dbpedia-pt:Altitude (triangle) dbpedia-ru:Altitude (triangle) dbpedia-ru:Altitude (triangle) dbpedia-sh:Altitude (triangle) dbpedia-sl:Altitude (triangle) dbpedia-sr:Altitude (triangle) dbpedia-sv:Altitude (triangle) http://ta.dbpedia.org/resource/குத்துக்கோடு_(முக்கோணம்) dbpedia-tr:Altitude (triangle) dbpedia-uk:Altitude (triangle) dbpedia-uk:Altitude (triangle) http://ur.dbpedia.org/resource/ارتفاع_(مثلث) dbpedia-vi:Altitude (triangle) dbpedia-zh:Altitude (triangle) https://global.dbpedia.org/id/8vHZ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Altitude_(triangle)?oldid=1122610781&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg wiki-commons:Special:FilePath/Inverse_pythagorean_theorem.svg wiki-commons:Special:FilePath/Orthocenter_of_obtuse_triangle.svg wiki-commons:Special:FilePath/Rtriangle.svg wiki-commons:Special:FilePath/Triangle.Orthocenter.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Altitude_(triangle) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Altitude_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Orthocenter dbr:Altitude_triangle dbr:Height_(triangle) dbr:Orthic_triangle dbr:Orthocentre dbr:Altitude_(geometry) dbr:Height_(geometry) dbr:Altitude_length_(triangle) dbr:Altitude_of_a_triangle |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Encyclopedia_of_Triangle_Centers dbr:Midpoint dbr:Mabel_Minerva_Young dbr:Antiparallel_(mathematics) dbr:List_of_numbers dbr:List_of_sums_of_reciprocals dbr:De_Finetti_diagram dbr:List_of_geometry_topics dbr:Quadratrix_of_Hippias dbr:Geometric_mean_theorem dbr:Van_Lamoen_circle dbr:Equilateral_triangle dbr:Concurrent_lines dbr:Orthocenter dbr:Orthocentric_system dbr:Orthodiagonal_quadrilateral dbr:Angle_bisector_theorem dbr:Altitude_(disambiguation) dbr:Altitude_triangle dbr:Similarity_(geometry) dbr:Collinearity dbr:Musselman's_theorem dbr:99_Points_of_Intersection dbr:Acute_and_obtuse_triangles dbr:Cevian dbr:Droz-Farny_line_theorem dbr:Height dbr:Johnson_circles dbr:Nine-point_center dbr:Nine-point_circle dbr:Acacia_(fraternity) dbr:Base_(geometry) dbr:Isosceles_triangle dbr:Kenneth_Wayne_Bushnell dbr:There_is_No_Natural_Religion dbr:Length dbr:Pythagorean_theorem dbr:Harmonic_mean dbr:Heron's_formula dbr:Hilbert_space dbr:Ternary_plot dbr:Hyperbolic_sector dbr:Triangle_center dbr:Tangential_quadrilateral dbr:Law_of_cosines dbr:Heronian_triangle dbr:Holditch's_theorem dbr:Triangle dbr:Dissection_into_orthoschemes dbr:Solution_of_triangles dbr:Special_right_triangle dbr:Square_root_of_3 dbr:Incircle_and_excircles_of_a_triangle dbr:Integer_triangle dbr:Height_(triangle) dbr:Median_(geometry) dbr:Viviani's_theorem dbr:Triangular_prism dbr:Euler_line dbr:Extended_side dbr:Fagnano's_problem dbr:List_of_theorems dbr:List_of_triangle_topics dbr:Trigonometry_of_a_tetrahedron dbr:Tangential_triangle dbr:Right_triangle dbr:Spieker_circle dbr:Orthic_triangle dbr:Orthocentre dbr:Altitude_(geometry) dbr:Height_(geometry) dbr:Altitude_length_(triangle) dbr:Altitude_of_a_triangle |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Altitude_(triangle) |
