Poincaré metric (original) (raw)
数学におけるポアンカレ計量（ポアンカレけいりょう、英: Poincaré metric）は、アンリ・ポアンカレにその名を因む、二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。 二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, la mètrica de Poincaré, anomenada així en honor del matemàtic i físic francès d'Henri Poincaré, és el tensor mètric que descriu una superfície bidimensional de curvatura negativa constant. És la mètrica natural comunament utilitzada en una varietat de càlculs en geometria hiperbòlica o superfícies de Riemann. Hi ha tres representacions equivalents comunament utilitzades en la geometria hiperbòlica bidimensional: * El , que defineix un model d'espai hiperbòlic al . * El defineix un model d'espai hiperbòlic al . El disc i el semiplà superior estan relacionats per un mapa conforme, i les isometries es donen per . * Una tercera representació es troba al disc perforat, on s'expressen de vegades les relacions per als . A continuació es revisen aquests diversos formularis. (ca) In mathematics, the Poincaré metric, named after Henri Poincaré, is the metric tensor describing a two-dimensional surface of constant negative curvature. It is the natural metric commonly used in a variety of calculations in hyperbolic geometry or Riemann surfaces. There are three equivalent representations commonly used in two-dimensional hyperbolic geometry. One is the Poincaré half-plane model, defining a model of hyperbolic space on the upper half-plane. The Poincaré disk model defines a model for hyperbolic space on the unit disk. The disk and the upper half plane are related by a conformal map, and isometries are given by Möbius transformations. A third representation is on the punctured disk, where relations for q-analogues are sometimes expressed. These various forms are reviewed below. (en) En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en géométrie hyperbolique ou sur des surfaces de Riemann. Deux représentations équivalentes sont le plus souvent utilisées en géométrie hyperbolique à deux dimensions : le demi-plan de Poincaré, modèle munissant d'une métrique hyperbolique le demi-plan (complexe) supérieur, et le disque de Poincaré, modèle défini sur le disque unité (le disque et le demi-plan sont isométriques par une transformation conforme, et leurs isométries sont données par des transformations de Mobius). Par ailleurs, le disque épointé, muni d'une métrique hyperbolique induite par la fonction exponentielle sur le demi-plan, est un exemple d'ouvert non simplement connexe (une couronne en l'occurrence) portant une métrique hyperbolique. (fr) 数学におけるポアンカレ計量（ポアンカレけいりょう、英: Poincaré metric）は、アンリ・ポアンカレにその名を因む、二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。 二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。 (ja) Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов. (ru) Метрика Пуанкаре на гіперболічній рімановій поверхні - узгоджена з метрика постійної від'ємної кривини на ній. На одиничному диску D задається формулою На будь-яку іншу поверхню S, універсальним накриттям над якою є диск, метрика Пуанкаре коректно спускається факторизацією, оскільки метрика на диску інваріантна відносно його автоморфізмів. (uk) 数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在上，通常表示为与 （Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/J-inv-modulus.jpeg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 1487868 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 9756 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1053026259 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Volume_element dbr:Prime_geodesic dbr:Riemann_surface dbr:Volume_form dbc:Riemann_surfaces dbr:Mathematics dbr:Nome_(mathematics) dbr:Q-analog dbr:SL2(R) dbr:Geodesics dbr:Geometry dbr:Möbius_transformation dbr:Conformal_map dbr:Contraction_mapping dbr:Cross-ratio dbr:Fuchsian_group dbr:Fuchsian_model dbr:Half-period_ratio dbr:Schwarz–Ahlfors–Pick_theorem dbr:Curvature dbc:Conformal_geometry dbc:Hyperbolic_geometry dbr:Upper_half-plane dbr:Henri_Poincaré dbr:Isometry dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Riemann_sphere dbc:Riemannian_geometry dbr:Laplace_operator dbr:Laplace–Beltrami_operator dbr:Codomain dbr:Poincaré_disk_model dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Punctured_disk dbr:Metric_tensor dbr:Kleinian_group dbr:Kleinian_model dbc:Henri_Poincaré dbr:Exterior_product dbr:Svetlana_Katok dbr:Schwarz_lemma dbr:Unit_disk dbr:Ricci_scalar_curvature dbr:Geodesic_flow dbr:Unit_disc dbr:Anosov_flow dbr:File:J-inv-modulus.jpeg dbr:File:J-inv-poincare.jpeg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:ISBN dbt:Main dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Riemann_surfaces dbc:Conformal_geometry dbc:Hyperbolic_geometry dbc:Riemannian_geometry dbc:Henri_Poincaré |
| gold:hypernym | dbr:Tensor |
| rdf:type | yago:Artifact100021939 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Surface104362025 yago:Whole100003553 yago:WikicatRiemannSurfaces |
| rdfs:comment | 数学におけるポアンカレ計量（ポアンカレけいりょう、英: Poincaré metric）は、アンリ・ポアンカレにその名を因む、二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。 二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。 (ja) Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов. (ru) Метрика Пуанкаре на гіперболічній рімановій поверхні - узгоджена з метрика постійної від'ємної кривини на ній. На одиничному диску D задається формулою На будь-яку іншу поверхню S, універсальним накриттям над якою є диск, метрика Пуанкаре коректно спускається факторизацією, оскільки метрика на диску інваріантна відносно його автоморфізмів. (uk) 数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在上，通常表示为与 （Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。 (zh) En matemàtiques, la mètrica de Poincaré, anomenada així en honor del matemàtic i físic francès d'Henri Poincaré, és el tensor mètric que descriu una superfície bidimensional de curvatura negativa constant. És la mètrica natural comunament utilitzada en una varietat de càlculs en geometria hiperbòlica o superfícies de Riemann. Hi ha tres representacions equivalents comunament utilitzades en la geometria hiperbòlica bidimensional: A continuació es revisen aquests diversos formularis. (ca) En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en géométrie hyperbolique ou sur des surfaces de Riemann. (fr) In mathematics, the Poincaré metric, named after Henri Poincaré, is the metric tensor describing a two-dimensional surface of constant negative curvature. It is the natural metric commonly used in a variety of calculations in hyperbolic geometry or Riemann surfaces. (en) |
| rdfs:label | Mètrica de Poincaré (ca) Métrique de Poincaré (fr) ポワンカレ計量 (ja) Poincaré metric (en) Метрика Пуанкаре (ru) Метрика Пуанкаре (uk) 庞加莱度量 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Poincaré metric wikidata:Poincaré metric dbpedia-ca:Poincaré metric dbpedia-fr:Poincaré metric dbpedia-ja:Poincaré metric dbpedia-ru:Poincaré metric dbpedia-uk:Poincaré metric dbpedia-zh:Poincaré metric https://global.dbpedia.org/id/3VGgo |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Poincaré_metric?oldid=1053026259&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/J-inv-modulus.jpeg wiki-commons:Special:FilePath/J-inv-poincare.jpeg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Poincaré_metric |
| is dbo:knownFor of | dbr:Henri_Poincaré |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Poincare_metric dbr:Hyperbolic_Laplacian dbr:Constant_negative_curvature |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Beltrami_equation dbr:Beltrami–Klein_model dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:List_of_things_named_after_Henri_Poincaré dbr:Cusp_neighborhood dbr:Volume_form dbr:Nome_(mathematics) dbr:Boundedly_generated_group dbr:Clifford_analysis dbr:Complex_dynamics dbr:Denjoy–Wolff_theorem dbr:Surface_(topology) dbr:Zonal_spherical_function dbr:Carathéodory_metric dbr:Killing_vector_field dbr:Kobayashi_metric dbr:Upper_half-plane dbr:Henri_Poincaré dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Bloch's_principle dbr:Differential_geometry_of_surfaces dbr:Artin_billiard dbr:Bosonic_string_theory dbr:Poincare_metric dbr:Poincaré_disk_model dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Orbifold dbr:Poisson_boundary dbr:Schwarz_lemma dbr:Mumford's_compactness_theorem dbr:Hyperbolic_Laplacian dbr:Constant_negative_curvature |
| is dbp:knownFor of | dbr:Henri_Poincaré |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Poincaré_metric |
