Schur's lemma (original) (raw)
Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen einfachen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist.
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| dbo:abstract | Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen einfachen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist. (de) En matemáticas, el lema de Schur es una proposición elemental pero muy utilizada en la teoría de representaciones de grupos y álgebras. En el caso de grupos este dice que si M y N son dos de dimensión finita de un grupo G y φ es un mapeo lineal de M a N que conmuta con la acción del grupo, entonces φ es , o φ = 0. Un caso especial ocurre cuando M = N y φ es un automapeo. El lema lleva el nombre de Issai Schur quien lo uso para probar las y desarrolló las bases de la . El lema de Schur admite generalizaciones hacia los grupos de Lie y el álgebra de Lie. (es) En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de Schur est un lemme technique utilisé particulièrement dans la théorie de la représentation des groupes. Il a été démontré en 1907 par Issai Schur dans le cadre de ses travaux sur la théorie des représentations d'un groupe fini. Ce lemme est à la base de l'analyse d'un caractère d'une représentation d'un groupe fini ; il permet, par exemple, de caractériser les groupes abéliens finis. (fr) In mathematics, Schur's lemma is an elementary but extremely useful statement in representation theory of groups and algebras. In the group case it says that if M and N are two finite-dimensional irreducible representations of a group G and φ is a linear map from M to N that commutes with the action of the group, then either φ is invertible, or φ = 0. An important special case occurs when M = N, i.e. φ is a self-map; in particular, any element of the center of a group must act as a scalar operator (a scalar multiple of the identity) on M. The lemma is named after Issai Schur who used it to prove the Schur orthogonality relations and develop the basics of the representation theory of finite groups. Schur's lemma admits generalisations to Lie groups and Lie algebras, the most common of which are due to Jacques Dixmier and Daniel Quillen. (en) 슈어 보조정리(Schur's lemma)는 군 표현론에서 기약 표현 사이의 군의 작용과 가환하는 선형사상은 이거나 0이라는 보조정리다. (ko) In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se e sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo e è un morfismo lineare da a che commuta con l'azione del gruppo, allora è invertibile oppure . Un importante caso particolare è quello in cui e quindi è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jacques Dixmier. (it) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het lemma van Schur een elementair, maar zeer nuttig lemma in de representatietheorie van groepen en algebra's. In het groepsgeval zegt het lemma van Schur: als en twee eindig-dimensionale, niet-reduceerbare representaties zijn van een groep en een lineaire afbeelding van naar is die commuteert met de groepsbewerking, dan is of inverteerbaar, of Een belangrijk speciaal geval doet zich voor als Het lemma is genoemd naar Issai Schur, die zijn lemma gebruikte om de te bewijzen en om de basis van de te ontwikkelen. Het lemma van Schur laat zich veralgemenen naar Lie-groepen en Lie-algebra's, waarvan de meest voorkomende is geformuleerd door Jacques Dixmier. (nl) 数学において、シューアの補題（シューアのほだい、英: Schur's lemma）とは、群の表現や代数の表現に関する基本的できわめて有用な定理である。群の場合には、シューアの補題は M と N が群 G の有限次元既約表現加群であり、φ が群の作用と可換な M から N への線型写像とすると、φ は可逆であるか、または φ = 0 である、となる。重要な場合が、M = N で φ が自己準同型のときに起きる。シューアの補題は、イサイ・シューアの名前に因んでいる。彼はこの補題を使い、大直交性定理を証明し、有限群の表現論の基礎を確立した。シューアの補題は、リー群やリー代数へ一般化されており、多くの部分はによるものである。 代数 A 上の既約加群 M, N の間の A-準同型写像 ρ: M → N の場合、シューアの補題を一言でいうと、準同型写像 ρ は、同型か、または、零準同型であるとなる。特に、ρ ≠ 0 かつ k が代数的閉体で既約加群 M と N が k 上有限次元であれば、M から N への A-準同型写像は ρ のスカラー倍に限ること意味する。 (ja) Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп. (uk) Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп. (ru) 在数学中，舒尔引理（Schur's lemma）是群与代数的表示论中一个初等但非常有用的命题。在群的情形是说，如果M与N是群G的两个有限维不可约表示，φ是从M到N的与群作用可交换的线性映射，那么φ 可逆或φ = 0。一个重要的特例是M = N而φ是一个到自身的映射。这个引理以（Issai Schur）命名，他使用这个引理证明了舒尔正交关系，奠定了有限群的表示论的基石。舒尔引理可推广到李群与李代数，其形式由雅克·迪克斯米爾推導。 (zh) |
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