Associated Legendre polynomials (original) (raw)
수학에서 르장드르 연관 함수(영어: Associated Legendre polynomials)란, 다음 연관 르장드르 미분방정식의 답으로 얻어지는 함수이다. 다른 표현: 여기에서 기호 과 m(이들은 일반적으로 복소수까지 확장 할 수 있다)은 각각 연관 르장드르 함수의 degree와 order로 부른다. 이 방정식들은 [−1, 1]에서 과 m 이 정수이면서 0 ≤ m ≤ 일 때만 무한대로 발산하지 않는다.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, els polinomis associats de Legendre són les solucions de l'equació associada de Legendre o, de forma equivalent, on els índexs ℓ i m (els quals són enters) són, respectivament, el grau i l'ordre del polinomi associat de Legendre. Aquesta equació té solucions diferents de zero que són no singulars en [−1, 1] només si ℓ i m són enters amb 0 ≤ m ≤ ℓ, o amb valors negatius trivialment equivalents. Si a més m és parell, la funció és un polinomi. Quan m és zero i ℓ enter, aquestes funcions són idèntiques als . En general, quan ℓ i m són enters, les solucions regulars de vegades són anomenades "polinomis associats de Legendre", fins i tot quan aquestes no són polinomis en el cas que m sigui imparell. La classe de funcions en el cas general amb valors reals o complexos de ℓ i m s'anomenen . En aquest cas els paràmetres s'acostumen a escriure amb lletres gregues. L'equació diferencial ordinària de Legendre es troba freqüentment en física, a més d'altres camps. En particular, aquesta equació apareix quan se soluciona l'equació de Laplace (o equacions en derivades parcials similars) en coordenades esfèriques. Els polinomis associats de Legendre exerceixen un paper vital en la definició dels . (ca) In mathematics, the associated Legendre polynomials are the canonical solutions of the general Legendre equation or equivalently where the indices ℓ and m (which are integers) are referred to as the degree and order of the associated Legendre polynomial respectively. This equation has nonzero solutions that are nonsingular on [−1, 1] only if ℓ and m are integers with 0 ≤ m ≤ ℓ, or with trivially equivalent negative values. When in addition m is even, the function is a polynomial. When m is zero and ℓ integer, these functions are identical to the Legendre polynomials. In general, when ℓ and m are integers, the regular solutions are sometimes called "associated Legendre polynomials", even though they are not polynomials when m is odd. The fully general class of functions with arbitrary real or complex values of ℓ and m are Legendre functions. In that case the parameters are usually labelled with Greek letters. The Legendre ordinary differential equation is frequently encountered in physics and other technical fields. In particular, it occurs when solving Laplace's equation (and related partial differential equations) in spherical coordinates. Associated Legendre polynomials play a vital role in the definition of spherical harmonics. (en) Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen. Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung: Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall nur dann, wenn und ganzzahlig sind mit . Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms. (de) En mathématiques, un polynôme associé de Legendre, noté , est une solution particulière de l'équation générale de Legendre : laquelle n'a de solution régulière que sur l'intervalle [–1, 1] et si –m ≤ ℓ ≤ m avec ℓ et m entiers. Elle se réduit à l'équation différentielle de Legendre si m = 0. Cette fonction est un polynôme si m est un entier pair. Toutefois, l’appellation de « polynôme », bien qu'incorrecte, est quand même conservée dans le cas où m est un entier impair. L'équation générale de Legendre est rencontrée notamment en physique, par exemple dans la résolution de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques. En particulier, les polynômes associés de Legendre jouent un rôle important dans la définition des harmoniques sphériques. (fr) En matemáticas, los polinomios asociados de Legendre son las soluciones canónicas de la ecuación de Legendre o de forma equivalente donde los índices ℓ y m (los cuales son enteros) son el grado y el orden del polinomio asociado de Legendre respectivamente. Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que son no singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ, o con valores negativos trivialmente equivalentes. Si además m es par, la función es un polinomio. Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre. En general, cuando ℓ y m son enteros, las soluciones regulares a veces son llamadas "polinomios asociados de Legendre", incluso cuando estas no son polinomios en el caso de que m sea impar. La clase de funciones en el caso completamente general con valores reales o complejos de ℓ y m son llamadas funciones de Legendre. En este caso los parámetros son usualmente etiquetados con letras griegas. La ecuación diferencial ordinaria de Legendre es encontrada frecuentemente en física además de otros campos. En particular, esta ecuación aparece cuando se soluciona la ecuación de Laplace (y ecuaciones en derivadas parciales similares). Los polinomios asociados de Legendre desempeñan un papel vital en la definición de los armónicos esféricos. (es) 수학에서 르장드르 연관 함수(영어: Associated Legendre polynomials)란, 다음 연관 르장드르 미분방정식의 답으로 얻어지는 함수이다. 다른 표현: 여기에서 기호 과 m(이들은 일반적으로 복소수까지 확장 할 수 있다)은 각각 연관 르장드르 함수의 degree와 order로 부른다. 이 방정식들은 [−1, 1]에서 과 m 이 정수이면서 0 ≤ m ≤ 일 때만 무한대로 발산하지 않는다. (ko) ルジャンドルの微分方程式（るじゃんどるのびぶんほうていしき）とは、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である。 これはガウスの微分方程式において、α = ν + 1, β = -ν, γ = 1 と選び、x → (1-x)/2 と置き換えた場合と同じである。 この解は偶関数と奇関数になる事が知られていて、それぞれ以下のようになる。 * * また特別なケースとして ν = 0, 1, 2, ... の場合に解は ν 次多項式となる。この多項式のことをルジャンドルの多項式と呼ぶ。 (ja) De geassocieerde Legendrepolynomen of geassocieerde Legendreveeltermen zijn een familie wiskundige functies die gebruikt worden in de toegepaste wiskunde en de theoretische natuurkunde. Zij zijn een oplossing van de geassocieerde Legendrevergelijking. Ofschoon deze functies ook de vierkantswortel van kunnen bevatten worden ze toch polynomen genoemd. Ze worden gekenmerkt door twee geheelwaardige parameters. De meest bekende toepassing is te vinden in de kwantummechanische beschrijving van het waterstofatoom, waar ze een deel van de oplossing van de schrödingervergelijking geven. De geassocieerde Legendrefuncties zijn de algemene vorm van de geassocieerde Legendrepolynomen. Deze voldoen aan de dezelfde differentiaalvergelijking, namelijk de geassocieerde Legendrevergelijking, maar de twee parameters hoeven dan geen gehele getallen meer te zijn. (nl) I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai polinomi di Legendre, il cui impiego è particolarmente utile nella descrizione delle armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in meccanica quantistica. (it) Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a) – funkcje zmiennej rzeczywistej będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a gdzie – parametry równania. Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych takich że (1) oraz (2) są liczbami całkowitymi, takimi że Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a zależnością Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych. (pl) Os polinômios associados de Legendre são uma família de que são soluções da equação diferencial de Legendre (que aparece no estudo do modelo quântico do átomo de hidrogênio): Para , a solução da equação é da forma Onde são os já mencionados polinômios associados de Legendre, dados pela fórmula de Olinde Rodrigues: para m positivo. Para m negativo, Em geral, a resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas tem como solução esta equação, mas a equação de Laplace é escrita de forma diferente. Fazendo , teremos (pt) Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas Pμλ, Qμλ são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros. (pt) Приєднані функції Лежандра — канонічні розв'язки узагальненого рівняння Лежандра , або , де індекси ℓ та m називають степінню та порядком, відповідно. У разі, коли ℓ ціле, а m — не тільки ціле, а парне ці функції зводяться до поліномів Лежандра, томі їх часто неформально називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча для довільних ℓ та m вони поліномами не є. Загалом узагальнене рівняння Лежандра має аналітичний розв'язок на інтревалі on [−1, 1] лише для цілих ℓ та m. Рівняння Лежандра часто зустрічається фізиці та суміжних дисциплінах. Зокрема вони виникають при розв'язанні рівняння Лапласа в сферичній системі координат. Вони важливі для визначення сферичних гармонік. (uk) 伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。 因上述方程仅当 和 均为整数且满足 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 和 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 和/或 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。 当 、为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。 注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。 (zh) |
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Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych takich że (1) oraz (2) są liczbami całkowitymi, takimi że Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a zależnością Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych. (pl) Os polinômios associados de Legendre são uma família de que são soluções da equação diferencial de Legendre (que aparece no estudo do modelo quântico do átomo de hidrogênio): Para , a solução da equação é da forma Onde são os já mencionados polinômios associados de Legendre, dados pela fórmula de Olinde Rodrigues: para m positivo. Para m negativo, Em geral, a resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas tem como solução esta equação, mas a equação de Laplace é escrita de forma diferente. Fazendo , teremos (pt) Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas Pμλ, Qμλ são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros. (pt) 伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。 因上述方程仅当 和 均为整数且满足 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 和 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 和/或 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。 当 、为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。 注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。 (zh) En matemàtiques, els polinomis associats de Legendre són les solucions de l'equació associada de Legendre o, de forma equivalent, on els índexs ℓ i m (els quals són enters) són, respectivament, el grau i l'ordre del polinomi associat de Legendre. Aquesta equació té solucions diferents de zero que són no singulars en [−1, 1] només si ℓ i m són enters amb 0 ≤ m ≤ ℓ, o amb valors negatius trivialment equivalents. Si a més m és parell, la funció és un polinomi. Quan m és zero i ℓ enter, aquestes funcions són idèntiques als . En general, quan ℓ i m són enters, les solucions regulars de vegades són anomenades "polinomis associats de Legendre", fins i tot quan aquestes no són polinomis en el cas que m sigui imparell. La classe de funcions en el cas general amb valors reals o complexos de ℓ i m s' (ca) In mathematics, the associated Legendre polynomials are the canonical solutions of the general Legendre equation or equivalently where the indices ℓ and m (which are integers) are referred to as the degree and order of the associated Legendre polynomial respectively. This equation has nonzero solutions that are nonsingular on [−1, 1] only if ℓ and m are integers with 0 ≤ m ≤ ℓ, or with trivially equivalent negative values. When in addition m is even, the function is a polynomial. When m is zero and ℓ integer, these functions are identical to the Legendre polynomials. In general, when ℓ and m are integers, the regular solutions are sometimes called "associated Legendre polynomials", even though they are not polynomials when m is odd. The fully general class of functions with arbitrary real (en) Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen. Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung: Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall nur dann, wenn und ganzzahlig sind mit . (de) En matemáticas, los polinomios asociados de Legendre son las soluciones canónicas de la ecuación de Legendre o de forma equivalente donde los índices ℓ y m (los cuales son enteros) son el grado y el orden del polinomio asociado de Legendre respectivamente. Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que son no singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ, o con valores negativos trivialmente equivalentes. Si además m es par, la función es un polinomio. Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre. En general, cuando ℓ y m son enteros, las soluciones regulares a veces son llamadas "polinomios asociados de Legendre", incluso cuando estas no son polinomios en el caso de que m sea impar. La clase de funciones en el caso completam (es) En mathématiques, un polynôme associé de Legendre, noté , est une solution particulière de l'équation générale de Legendre : laquelle n'a de solution régulière que sur l'intervalle [–1, 1] et si –m ≤ ℓ ≤ m avec ℓ et m entiers. Elle se réduit à l'équation différentielle de Legendre si m = 0. Cette fonction est un polynôme si m est un entier pair. Toutefois, l’appellation de « polynôme », bien qu'incorrecte, est quand même conservée dans le cas où m est un entier impair. (fr) De geassocieerde Legendrepolynomen of geassocieerde Legendreveeltermen zijn een familie wiskundige functies die gebruikt worden in de toegepaste wiskunde en de theoretische natuurkunde. Zij zijn een oplossing van de geassocieerde Legendrevergelijking. Ofschoon deze functies ook de vierkantswortel van kunnen bevatten worden ze toch polynomen genoemd. Ze worden gekenmerkt door twee geheelwaardige parameters. De meest bekende toepassing is te vinden in de kwantummechanische beschrijving van het waterstofatoom, waar ze een deel van de oplossing van de schrödingervergelijking geven. (nl) Приєднані функції Лежандра — канонічні розв'язки узагальненого рівняння Лежандра , або , де індекси ℓ та m називають степінню та порядком, відповідно. У разі, коли ℓ ціле, а m — не тільки ціле, а парне ці функції зводяться до поліномів Лежандра, томі їх часто неформально називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча для довільних ℓ та m вони поліномами не є. Загалом узагальнене рівняння Лежандра має аналітичний розв'язок на інтревалі on [−1, 1] лише для цілих ℓ та m. (uk) |
| rdfs:label | Polinomis associats de Legendre (ca) Zugeordnete Legendrepolynome (de) Polinomios asociados de Legendre (es) Associated Legendre polynomials (en) Funzione associata di Legendre (it) Polynôme associé de Legendre (fr) ルジャンドルの微分方程式 (ja) 르장드르 연관 함수 (ko) Geassocieerde Legendrepolynoom (nl) Stowarzyszone funkcje Legendre’a (pl) Polinômios associados de Legendre (pt) Função de Legendre (pt) 伴随勒让德多项式 (zh) Приєднані функції Лежандра (uk) |
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