Spherical harmonics (original) (raw)
Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření. (cs) في علم الرياضيات، يشير مصطلح التوافقات الكروية إلى الجزء الذي يمثل زوايا مجموعة من حلول معادلة لابلاس. إن اتوافقات الكروية للإبلاس والمتمثلة في نظام من الإحداثيات الكروية، عبارة عن مجموعة من التوافقات الكروية التي تشكل نظامًا متعامدًا، تم تقديمه لأول مرة بواسطة بيير سيمون دي لابلاس عام 1782. تظهر أهمية التوافقات الكروية في الكثير من التطبيقات النظرية والعملية، بالأخص في حساب المدار الذري وتكوينات الإلكترون وتمثيل حقل الجاذبية والجيود والحقل المغناطيسي للكوكب والنجوم وخصائص خلفية الموجات شديدة القصر للكون. تلعب التوافقات الكروية دورًا هامًا في الرسومات ثلاثية الأبعاد بالكمبيوتر، ويتمثل ذلك في مجموعة واسعة من الموضوعات التي تتضمن الإضاءة غير المباشرة (الانسداد المحيطي والإضاءة الشاملة والنقل الإشعاعي سابق الحساب وما إلى ذلك) والتعرف على الأشكال ثلاثية الأبعاد. (ar) En matemáticas, los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas. Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que la función de onda de los electrones contiene armónicos esféricos) y en la teoría del potencial, que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática. (es) Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet: Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen , dabei sind Normierungsfaktoren und die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten): Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet. (de) En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières, c'est-à-dire des fonctions dont le laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations. Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2 l + 1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques (r, θ, φ) comme des combinaisons linéaires des (2 l + 1) fonctions : , avec . Les coordonnées sphériques (r,θ,φ) sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude. Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S2. Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques. C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici. Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal SO(3)) et que le laplacien entre en jeu : * en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs) ; * en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique, gravimétrie) ; * en géophysique (représentation du globe terrestre, météorologie) ; * en cristallographie pour la texture ; * en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène) ; * en cosmologie (représentation du ciel, en particulier pour l'analyse du fond diffus cosmologique), etc. (fr) In mathematics and physical science, spherical harmonics are special functions defined on the surface of a sphere. They are often employed in solving partial differential equations in many scientific fields. Since the spherical harmonics form a complete set of orthogonal functions and thus an orthonormal basis, each function defined on the surface of a sphere can be written as a sum of these spherical harmonics. This is similar to periodic functions defined on a circle that can be expressed as a sum of circular functions (sines and cosines) via Fourier series. Like the sines and cosines in Fourier series, the spherical harmonics may be organized by (spatial) angular frequency, as seen in the rows of functions in the illustration on the right. Further, spherical harmonics are basis functions for irreducible representations of SO(3), the group of rotations in three dimensions, and thus play a central role in the group theoretic discussion of SO(3). Spherical harmonics originate from solving Laplace's equation in the spherical domains. Functions that are solutions to Laplace's equation are called harmonics. Despite their name, spherical harmonics take their simplest form in Cartesian coordinates, where they can be defined as homogeneous polynomials of degree in that obey Laplace's equation. The connection with spherical coordinates arises immediately if one uses the homogeneity to extract a factor of radial dependence from the above-mentioned polynomial of degree ; the remaining factor can be regarded as a function of the spherical angular coordinates and only, or equivalently of the orientational unit vector specified by these angles. In this setting, they may be viewed as the angular portion of a set of solutions to Laplace's equation in three dimensions, and this viewpoint is often taken as an alternative definition. Notice, however, that spherical harmonics are not functions on the sphere which are harmonic with respect to the Laplace-Beltrami operator for the standard round metric on the sphere: the only harmonic functions in this sense on the sphere are the constants, since harmonic functions satisfy the Maximum principle. Spherical harmonics, as functions on the sphere, are eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator (see the section Higher dimensions below). A specific set of spherical harmonics, denoted or , are known as Laplace's spherical harmonics, as they were first introduced by Pierre Simon de Laplace in 1782. These functions form an orthogonal system, and are thus basic to the expansion of a general function on the sphere as alluded to above. Spherical harmonics are important in many theoretical and practical applications, including the representation of multipole electrostatic and electromagnetic fields, electron configurations, gravitational fields, geoids, the magnetic fields of planetary bodies and stars, and the cosmic microwave background radiation. In 3D computer graphics, spherical harmonics play a role in a wide variety of topics including indirect lighting (ambient occlusion, global illumination, precomputed radiance transfer, etc.) and modelling of 3D shapes. (en) 수학과 물리학에서 구면 조화 함수(球面調和函數, 영어: spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다. 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 이다. (ko) De bolfuncties, sferisch harmonischen, of ook wel sferische harmonieken, vormen een verzameling oplossingen van de laplacevergelijking als die wordt uitgedrukt in bolcoördinaten en wordt beperkt tot een bol met straal gelijk aan 1. De bolfuncties hangen dus nog af van twee hoeken, te vergelijken met de lengte- en breedteligging op het aardoppervlak. Ze vormen een orthogonaal stelsel functies, dat voor het eerst werd ingevoerd door Pierre-Simon Laplace in 1782. Bolfuncties worden gebruikt in tal van theoretische en praktische toepassingen zoals de elektronenconfiguratie van het waterstofatoom, vervormingen van bolvormige lichamen, trillingen in dergelijke lichamen en driedimensionale grafische computertoepassingen. De bolfuncties kunnen op diverse manieren gevisualiseerd worden, afhankelijk van de manier waarop ze gebruikt worden. (nl) 球面調和関数（きゅうめんちょうわかんすう、英: spherical harmonics）あるいは球関数（きゅうかんすう、英: spherical functions）は以下のいずれかを意味する関数である： 1. * n 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。 2. * 次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 (r, θ, φ) で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 Y nk (θ, φ). 本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。 (ja) In analisi matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782. Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84. Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari e . Sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre. (it) Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych: gdzie: – parametr równania, przy czym wartość współrzędnej radialnej współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr musi przyjmować wartości dyskretne takie że gdzie Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy jest stałą separacji tej metody. (pl) En klotytefunktion, klotytfunktion eller sfäriskt harmonisk funktion är i matematiken vinkeldelen av en uppsättning ortogonala lösningar till Laplaces ekvation representerad i sfäriska koordinater. Klotytefunktioner är viktiga i många teoretiska och praktiska tillämpningar, speciellt inom fysiken. Exempel är beräkningar på och modeller för atomorbitaler, jordens magnetfält, geoiden och den kosmiska bakgrundsstrålningen. En klotytefunktion är produkten av en trigonometrisk funktion och en associerad Legendrefunktion: där är klotytefunktionen av grad och ordning m, är en associerad Legendrefunktion, N är en normaliseringskonstant, och θ och φ är de två vinklar som bestämmer position på ett klot, kolatitud respektive longitud. (sv) Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas. Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática. (pt) Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физическихявлений в пространственных областях, ограниченных сферическимиповерхностями и при решении физических задач, обладающихсферической симметрией.Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения. (ru) Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних і , які складають повний базис функцій сферичного кута. Сферичні гармоніки позначаються , де l = 0,1,2…, а m пробігаєзначення від -l до l. , де - приєднані поліноми Лежандра. Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту. Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування , де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а - символ Кронекера. (uk) 球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Spherical_Harmonics.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.boost.org/doc/libs/1_66_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/sf_poly/sph_harm.html https://www.quantum-physics.polytechnique.fr/sphericalHarmonics.php%3Flang=1 http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html http://www.numdam.org/item/AIF_2007__57_7_2345_0/ http://apps.nrbook.com/empanel/index.html%23pg=292 https://archive.org/details/introductiontofo0000stei https://archive.org/details/angularmomentumi0000edmo |
| dbo:wikiPageID | 203056 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 76038 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121486087 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Cartesian_coordinates dbr:Quantum_mechanics dbr:Electromagnetic_field dbr:Electron_configuration dbr:Treatise_on_Natural_Philosophy dbr:Angular_momentum_quantization dbr:Basis_function dbr:Derivative dbc:Fourier_analysis dbr:Annales_de_l'Institut_Fourier dbr:Homogeneous_function dbr:Riesz_potential dbr:Cubic_harmonic dbr:Cylindrical_harmonics dbr:Vector_space dbr:Degree_of_a_polynomial dbr:Lie_group dbr:Quaternions dbr:Peter_Guthrie_Tait dbr:Cosmic_microwave_background_radiation dbc:Harmonic_analysis dbr:MathWorld dbr:Mathematical_induction dbr:Mathematics dbr:Maximum_principle dbr:SO(3) dbr:Geodesy dbr:Geoid dbr:Orientation_(geometry) dbr:Orthogonal dbr:Edward_Condon dbr:Eigenfunction dbr:English_draughts dbr:Giulio_Racah dbr:Gravitational_field dbr:Gravitational_potential dbr:Minkowski_space dbr:Multipole_expansion dbr:Möbius_transformation dbr:N-sphere dbr:Conformal_geometry dbr:Orthogonal_functions dbr:Orthonormality dbr:Angular_momentum_operator dbr:Legendre_function dbr:Legendre_polynomials dbr:Longitude dbr:Lorentz_group dbr:Lp_space dbr:Magnetic_field dbr:Signal_processing dbr:Sobolev_space dbr:Stone–Weierstrass_theorem dbr:Sturm–Liouville_theory dbr:Dense_set dbr:Densely_defined_operator dbr:Clebsch-Gordan_coefficients dbr:Harmonic_polynomial dbr:Orthonormal_basis dbr:Phase_factor dbr:Polarization_of_an_algebraic_form dbr:Precomputed_Radiance_Transfer dbr:Subgroup dbr:Symmetric_space dbr:Zonal_spherical_function dbr:Azimuth dbr:Ball_(mathematics) dbr:Trigonometric_function dbr:Trigonometric_functions dbr:Wave_equation dbr:Wigner_D-matrix dbr:William_Thomson,_1st_Baron_Kelvin dbr:William_Whewell dbr:Irreducible_representation dbr:Linear_combination dbr:3-sphere dbr:Adrien-Marie_Legendre dbr:3D_computer_graphics dbc:Rotational_symmetry dbr:Ambient_occlusion dbr:Euler's_formula dbr:Exponential_decay dbr:Fourier_series dbr:Angular_frequency dbc:Atomic_physics dbr:Normal_distribution dbr:Parseval's_theorem dbr:Partial_differential_equation dbr:Celestial_sphere dbr:Global_illumination dbr:Double_cover_(topology) dbr:Tensor_contraction dbr:Uniform_convergence dbr:Newton's_law_of_universal_gravitation dbr:Point_reflection dbr:Positive_operator dbr:Rational_function dbr:Group_(mathematics) dbr:Gustav_Herglotz dbr:Harmonic_function dbr:Heat_equation dbr:Hilbert_space dbr:Taylor_series dbr:Tensor dbr:Tensor_product dbr:Riemann_sphere dbr:Atomic_orbital dbr:Atomic_orbitals dbr:A_Course_of_Modern_Analysis dbc:Partial_differential_equations dbr:Acoustics dbc:Special_hypergeometric_functions dbr:Ladder_operator dbr:Laplace's_equation dbr:Laplace–Beltrami_operator dbr:Laplacian dbr:Laurent_series dbr:Colatitude dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Symmetric_tensor dbr:Rotation_group_SO(3) dbr:Wigner-Eckart_theorem dbr:Associated_Legendre_polynomials dbr:Solid_harmonics dbr:Special_function dbr:Special_linear_Lie_algebra dbr:Special_unitary_group dbr:Spectral_theorem dbr:Sphere dbr:Spherical_basis dbr:Spherical_coordinate_system dbr:Spin-weighted_spherical_harmonics dbr:Spin_representation dbr:Spinor_spherical_harmonics dbr:Group_representation dbr:Group_theory dbr:Infinitely_differentiable dbr:Kronecker_delta dbr:Self-adjoint_operator dbr:Separation_of_variables dbr:Unit_vector dbr:Magnetism dbr:Vector_spherical_harmonics dbr:Newtonian_potential dbr:Table_of_spherical_harmonics dbr:Slater_integrals dbr:Square-integrable_function dbr:Poisson_kernel dbr:Vibrating_string dbr:Irreducible_representations dbr:Periodic_function dbr:Outline_of_physical_science dbr:Stokes_theorem dbr:Zonal_spherical_harmonics dbr:Laplace-Beltrami_operator dbr:Two-sphere dbr:Associated_Legendre_function dbr:Associated_Legendre_polynomial dbr:Asymptotics dbr:Raising_and_lowering_operators dbr:Gegenbauer_polynomial dbr:Hypergeometric_series dbr:Pierre-Simon_de_Laplace dbr:Pierre_Simon_de_Laplace dbr:Racah_coefficients dbr:3-jm_symbol dbr:3j-symbol dbr:Zonal_spherical_harmonic dbr:Legendre_polynomial dbr:Real_analytic dbr:Sobolev_embedding_theorem dbr:Solid_spherical_harmonics dbr:Nodal_line dbr:Spherical_symmetry dbr:Spherical_tensor_operator dbr:Sturm–Liouville_problem dbr:File:Spherical_harmonics_positive_negative.svg dbr:File:Laplace,_Pierre-Simon,_marquis_de.jpg dbr:File:Spherical_Harmonics.png dbr:File:Plot_of_the_spherical_harmonic_Y_l^m(theta,phi)_with_n dbr:File:Rotation_of_octupole_vector_function.svg dbr:File:Sphericalfunctions.svg dbr:Gelfand-Tsetlin-basis dbr:File:Rotating_spherical_harmonics.gif dbr:File:Spherical_harmonics.png |
| dbp:first | E.D. (en) |
| dbp:id | S/s086690 (en) |
| dbp:last | Solomentsev (en) |
| dbp:title | Spherical harmonics (en) |
| dbp:urlname | SphericalHarmonic (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:! dbt:Anchor dbt:Citation dbt:Colend dbt:Commons_category dbt:Disputed_section dbt:I_sup dbt:Main dbt:Math dbt:MathWorld dbt:More_citations_needed_section dbt:Mvar dbt:NumBlk dbt:Redirect dbt:See_also dbt:Short_description dbt:EquationRef dbt:Harvnb dbt:Isbn dbt:Su dbt:Abs dbt:EquationNote dbt:Cols |
| dbp:year | 2001 (xsd:integer) |
| dct:subject | dbc:Fourier_analysis dbc:Harmonic_analysis dbc:Rotational_symmetry dbc:Atomic_physics dbc:Partial_differential_equations dbc:Special_hypergeometric_functions |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatOrthogonalPolynomials yago:WikicatPartialDifferentialEquations yago:WikicatSpecialFunctions yago:WikicatSpecialHypergeometricFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:PartialDifferentialEquation106670866 yago:Polynomial105861855 yago:Relation100031921 yago:WikicatFunctionsAndMappings yago:WikicatHyperbolicPartialDifferentialEquations yago:WikicatHypergeometricFunctions yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření. (cs) في علم الرياضيات، يشير مصطلح التوافقات الكروية إلى الجزء الذي يمثل زوايا مجموعة من حلول معادلة لابلاس. إن اتوافقات الكروية للإبلاس والمتمثلة في نظام من الإحداثيات الكروية، عبارة عن مجموعة من التوافقات الكروية التي تشكل نظامًا متعامدًا، تم تقديمه لأول مرة بواسطة بيير سيمون دي لابلاس عام 1782. تظهر أهمية التوافقات الكروية في الكثير من التطبيقات النظرية والعملية، بالأخص في حساب المدار الذري وتكوينات الإلكترون وتمثيل حقل الجاذبية والجيود والحقل المغناطيسي للكوكب والنجوم وخصائص خلفية الموجات شديدة القصر للكون. تلعب التوافقات الكروية دورًا هامًا في الرسومات ثلاثية الأبعاد بالكمبيوتر، ويتمثل ذلك في مجموعة واسعة من الموضوعات التي تتضمن الإضاءة غير المباشرة (الانسداد المحيطي والإضاءة الشاملة والنقل الإشعاعي سابق الحساب وما إلى ذلك) والتعرف على الأشكال ثلاثية الأبعاد. (ar) En matemáticas, los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas. Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que la función de onda de los electrones contiene armónicos esféricos) y en la teoría del potencial, que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática. (es) 수학과 물리학에서 구면 조화 함수(球面調和函數, 영어: spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다. 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 이다. (ko) 球面調和関数（きゅうめんちょうわかんすう、英: spherical harmonics）あるいは球関数（きゅうかんすう、英: spherical functions）は以下のいずれかを意味する関数である： 1. * n 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。 2. * 次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 (r, θ, φ) で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 Y nk (θ, φ). 本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。 (ja) Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas. Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática. (pt) Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физическихявлений в пространственных областях, ограниченных сферическимиповерхностями и при решении физических задач, обладающихсферической симметрией.Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения. (ru) Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних і , які складають повний базис функцій сферичного кута. Сферичні гармоніки позначаються , де l = 0,1,2…, а m пробігаєзначення від -l до l. , де - приєднані поліноми Лежандра. Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту. Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування , де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а - символ Кронекера. (uk) 球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。 (zh) Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet: Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen , dabei sind Normierungsfaktoren und die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten): (de) In mathematics and physical science, spherical harmonics are special functions defined on the surface of a sphere. They are often employed in solving partial differential equations in many scientific fields. A specific set of spherical harmonics, denoted or , are known as Laplace's spherical harmonics, as they were first introduced by Pierre Simon de Laplace in 1782. These functions form an orthogonal system, and are thus basic to the expansion of a general function on the sphere as alluded to above. (en) En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières, c'est-à-dire des fonctions dont le laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations. Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2 l + 1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques (r, θ, φ) comme des combinaisons linéaires des (2 l + 1) fonctions : , avec . (fr) In analisi matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782. Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84. (it) De bolfuncties, sferisch harmonischen, of ook wel sferische harmonieken, vormen een verzameling oplossingen van de laplacevergelijking als die wordt uitgedrukt in bolcoördinaten en wordt beperkt tot een bol met straal gelijk aan 1. De bolfuncties hangen dus nog af van twee hoeken, te vergelijken met de lengte- en breedteligging op het aardoppervlak. Ze vormen een orthogonaal stelsel functies, dat voor het eerst werd ingevoerd door Pierre-Simon Laplace in 1782. (nl) Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych: gdzie: – parametr równania, przy czym wartość współrzędnej radialnej współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr musi przyjmować wartości dyskretne takie że gdzie (pl) En klotytefunktion, klotytfunktion eller sfäriskt harmonisk funktion är i matematiken vinkeldelen av en uppsättning ortogonala lösningar till Laplaces ekvation representerad i sfäriska koordinater. Klotytefunktioner är viktiga i många teoretiska och praktiska tillämpningar, speciellt inom fysiken. Exempel är beräkningar på och modeller för atomorbitaler, jordens magnetfält, geoiden och den kosmiska bakgrundsstrålningen. En klotytefunktion är produkten av en trigonometrisk funktion och en associerad Legendrefunktion: (sv) |
| rdfs:label | توافقات كروية (ar) Sférické harmonické funkce (cs) Kugelflächenfunktionen (de) Armónicos esféricos (es) Harmonique sphérique (fr) Armoniche sferiche (it) 구면 조화 함수 (ko) 球面調和関数 (ja) Bolfunctie (nl) Harmoniki sferyczne (pl) Spherical harmonics (en) Harmônicos esféricos (pt) Сферические функции (ru) Klotytefunktion (sv) 球谐函数 (zh) Сферичні гармоніки (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Spherical_basis |
| owl:sameAs | freebase:Spherical harmonics yago-res:Spherical harmonics wikidata:Spherical harmonics dbpedia-ar:Spherical harmonics dbpedia-cs:Spherical harmonics dbpedia-de:Spherical harmonics dbpedia-es:Spherical harmonics dbpedia-fa:Spherical harmonics dbpedia-fr:Spherical harmonics dbpedia-he:Spherical harmonics http://hi.dbpedia.org/resource/गोलीय_प्रसंवादी http://hy.dbpedia.org/resource/Գնդային_ֆունկցիաներ dbpedia-it:Spherical harmonics dbpedia-ja:Spherical harmonics dbpedia-kk:Spherical harmonics dbpedia-ko:Spherical harmonics dbpedia-nl:Spherical harmonics dbpedia-pl:Spherical harmonics dbpedia-pt:Spherical harmonics dbpedia-ru:Spherical harmonics dbpedia-sr:Spherical harmonics dbpedia-sv:Spherical harmonics dbpedia-tr:Spherical harmonics http://tt.dbpedia.org/resource/Sferik_funktsiälär dbpedia-uk:Spherical harmonics http://uz.dbpedia.org/resource/Sferik_funksiyalar dbpedia-zh:Spherical harmonics https://global.dbpedia.org/id/525K7 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Spherical_harmonics?oldid=1121486087&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Laplace,_Pierre-Simon,_marquis_de.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Rotating_spherical_harmonics.gif wiki-commons:Special:FilePath/Spherical_harmonics_positive_negative.svg wiki-commons:Special:FilePath/Rotation_of_octupole_vector_function.svg wiki-commons:Special:FilePath/Spherical_Harmonics.png wiki-commons:Special:FilePath/Spherical_harmonics.png wiki-commons:Special:FilePath/Sphericalfunctions.svg wiki-commons:Special:FilePath/pi_in_the_complex_pla...atica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Spherical_harmonics |
| is dbo:knownFor of | dbr:Pierre-Simon_Laplace |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Spherical_functions dbr:Spherical_harmonic dbr:Tesseral_harmonics dbr:Tesseral_spherical_harmonics dbr:Spherical_Harmonics dbr:Laplace_Series dbr:Laplace_series dbr:Ylm dbr:Sectorial_harmonics dbr:Sectorial_spherical_harmonics dbr:Spherical_harmonic_function dbr:Spherical_harmonics_function dbr:Spherical_harmony dbr:Spheroidal_Harmonics dbr:Spheroidal_function dbr:Spheroidal_harmonics |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Probability_amplitude dbr:Quantum_harmonic_oscillator dbr:Romanovski_polynomials dbr:Rotation_matrix dbr:Electrically_small_antenna dbr:Electron_configuration dbr:David_Hilbert dbr:Annie_Leuch-Reineck dbr:Hydrogen_atom dbr:Representation_of_a_Lie_group dbr:Representation_theory_of_the_Lorentz_group dbr:Rhon_psion dbr:Cubic_harmonic dbr:Cylindrical_harmonics dbr:Uniqueness_theorem_for_Poisson's_equation dbr:Double_Fourier_sphere_method dbr:Earth_Gravitational_Model dbr:Index_of_physics_articles_(S) dbr:Infraparticle dbr:List_of_important_publications_in_geology dbr:List_of_important_publications_in_physics dbr:List_of_mathematical_functions dbr:List_of_named_differential_equations dbr:Gauss_separation_algorithm dbr:Gaussian_grid dbr:Gaussian_orbital dbr:Gegenbauer_polynomials dbr:Generalized_Wiener_filter dbr:Geodetic_datum dbr:Spherical_Harmonic dbr:Radial_function dbr:Radiative_transfer_equation_and_diffus...photon_transport_in_biological_tissue dbr:Seismic_wave dbr:Spherical_multipole_moments dbr:Classical_field_theory dbr:Clebsch–Gordan_coefficients dbr:CoRoT dbr:Edward_Condon dbr:Electromagnetic_wave_equation dbr:Function_of_several_real_variables dbr:GRACE_and_GRACE-FO dbr:Generalized_hypergeometric_function dbr:Geomagnetic_secular_variation dbr:Geopotential dbr:Gleason's_theorem dbr:Gravimetry dbr:Misorientation dbr:Moment_(physics) dbr:Multipole_expansion dbr:Muneer_Ahmad_Rashid dbr:N-sphere dbr:Conical_function dbr:Cosmic_microwave_background dbr:Orbital_mechanics dbr:Bateman_Manuscript_Project dbr:Legendre_polynomials dbr:Luminous_Engine dbr:Comparison_of_3D_computer_graphics_software dbr:Funk_transform dbr:Harmonic dbr:Harmonic_(mathematics) dbr:Harmonic_polynomial dbr:Harmonic_tensors dbr:Spherical_function dbr:Stokes_flow dbr:Addition_theorem dbr:Wave_equation dbr:Wave_function dbr:Wigner_D-matrix dbr:Gamow_factor dbr:HEALPix dbr:Ionospheric_dynamo_region dbr:Laplace_expansion_(potential) dbr:Lebedev_quadrature dbr:Linearized_augmented-plane-wave_method dbr:3D_rotation_group dbr:Alfred_Clebsch dbr:Alfred_Tauber dbr:3-j_symbol dbr:E._W._Hobson dbr:Earth's_magnetic_field dbr:Eduard_Heine dbr:Ambisonic_data_exchange_formats dbr:Fourier_optics dbr:Fourier_series dbr:Particle_in_a_spherically_symmetric_potential dbr:Fast_Fourier_transform dbr:Fluctuation_X-ray_scattering dbr:Gravity_of_Mars dbr:Hankel_transform dbr:Rotational_diffusion dbr:Orbital_angular_momentum_of_free_electrons dbr:Harmonic_function dbr:Helmholtz_equation dbr:Hilbert_space dbr:Asteroseismology dbr:Atmospheric_wave dbr:Hydrogen-like_atom dbr:Atomic_orbital dbr:Albrecht_Unsöld dbr:Ladder_operator dbr:Laplace's_equation dbr:Laplace_operator dbr:Lara_Croft dbr:Biological_small-angle_scattering dbr:SymPy dbr:YLM dbr:Spheroidal_wave_function dbr:Spectral_concentration_problem dbr:Associated_Legendre_polynomials dbr:Manifold dbr:Bondi–Metzner–Sachs_group dbr:Pierre-Simon_Laplace dbr:Pomeranchuk_instability dbr:Solid_harmonics dbr:Spherical_basis dbr:Spherical_coordinate_system dbr:Spherical_functions dbr:Spherical_harmonic dbr:Spin-weighted_spherical_harmonics dbr:Spin_(physics) dbr:Spinor_spherical_harmonics dbr:Tesseral_harmonics dbr:Tesseral_spherical_harmonics dbr:Olinde_Rodrigues dbr:Separation_of_variables dbr:World_Geodetic_System dbr:Xiangliu_(moon) dbr:Lorentz-violating_neutrino_oscillations dbr:Maps_of_manifolds dbr:Rigid_rotor dbr:Slater-type_orbital dbr:Vector_spherical_harmonics dbr:Neutron_transport dbr:Seismic_tomography dbr:Table_of_spherical_harmonics dbr:FEE_method dbr:Gustav_Conrad_Bauer dbr:Oblate_spheroidal_coordinates dbr:Plane-wave_expansion dbr:Spherical_Harmonics dbr:Spectral_shape_analysis dbr:Multipole_density_formalism dbr:Multipole_radiation dbr:Multitaper dbr:Physics_of_magnetic_resonance_imaging dbr:Thermosphere dbr:Zernike_polynomials dbr:Restricted_representation dbr:Subdwarf_B_star dbr:Peter–Weyl_theorem dbr:Tensor_operator dbr:Spherical_harmonic_lighting dbr:SPHARM-PDM dbr:Zonal_spherical_harmonics dbr:Zeeman–Doppler_imaging dbr:Laplace_Series dbr:Laplace_series dbr:Ylm dbr:Sectorial_harmonics dbr:Sectorial_spherical_harmonics dbr:Spherical_harmonic_function dbr:Spherical_harmonics_function dbr:Spherical_harmony dbr:Spheroidal_Harmonics dbr:Spheroidal_function dbr:Spheroidal_harmonics |
| is dbp:knownFor of | dbr:Pierre-Simon_Laplace |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Spherical_harmonics |
