Cumulant (original) (raw)
Kumulanten sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Kenngrößen der Verteilung einer Zufallsvariablen, die in Bezug auf die Summenbildung von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen einfachen Rechengesetzen genügen. Die Folge der Kumulanten beginnt mit dem Erwartungswert und der Varianz.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In probability theory and statistics, the cumulants κn of a probability distribution are a set of quantities that provide an alternative to the moments of the distribution. Any two probability distributions whose moments are identical will have identical cumulants as well, and vice versa. The first cumulant is the mean, the second cumulant is the variance, and the third cumulant is the same as the third central moment. But fourth and higher-order cumulants are not equal to central moments. In some cases theoretical treatments of problems in terms of cumulants are simpler than those using moments. In particular, when two or more random variables are statistically independent, the n-th-order cumulant of their sum is equal to the sum of their n-th-order cumulants. As well, the third and higher-order cumulants of a normal distribution are zero, and it is the only distribution with this property. Just as for moments, where joint moments are used for collections of random variables, it is possible to define joint cumulants. (en) Kumulanten sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Kenngrößen der Verteilung einer Zufallsvariablen, die in Bezug auf die Summenbildung von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen einfachen Rechengesetzen genügen. Die Folge der Kumulanten beginnt mit dem Erwartungswert und der Varianz. (de) En teoría de la probabilidad y estadística, los cumulantes κn de una distribución de probabilidad son un conjunto de cantidades que proporcionan una alternativa a los momentos de una distribución. Los momentos determinan los cumulantes en el sentido de que dadas dos distribuciones de probabilidad cuyos momentos sean idénticos, también tendrán cumulantes idénticos, y de manera similar, los cumulantes determinan los momentos. El primer cumulante es la media, el segundo cumulante es la varianza, y el tercer cumulante es el mismo que el tercer momento central. Pero los cumulantes de cuarto orden o superiores no son iguales a los momentos centrales. En algunos casos, los tratamientos teóricos de los problemas en términos de cumulantes son más simples que los que usan momentos. En particular, cuando dos o más variables aleatorias son independientes, el cumulante de orden nésimo de su suma es igual a la suma de sus cumulantes de orden nésimo. Además, los cumulantes de tercer y mayor orden de una distribución normal son cero, siendo la única distribución con esta propiedad. Al igual que para los momentos, donde se utilizan momentos conjuntos cuando se trabaja con múltiples variables aleatorias, es posible definir cumulantes conjuntos. (es) En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, les cumulants d'une loi de probabilité sont des coefficients qui ont un rôle similaire à celui des moments. Les cumulants déterminent entièrement les moments et vice versa, c'est-à-dire que deux lois ont les mêmes cumulants si et seulement si elles ont les mêmes moments. L'espérance constitue le premier cumulant, la variance le deuxième et le troisième moment centré constitue le troisième cumulant. En revanche les cumulants d'ordres 4 ou plus ne correspondent plus aux moments centrés. L'utilisation des cumulants peut s'avérer utile car ils vérifient notamment la propriété suivante : le n-ième cumulant d'une somme de variables indépendantes est égal à la somme des n-ièmes cumulants de chaque variable de la somme. Une loi avec des cumulants κn donnés peut être approchée par un développement d'Edgeworth. (fr) 確率論や統計学において、キュムラント（きゅむらんと、英: cumulant）は、分布を特徴付ける特性値の一つ。キュムラント母関数を級数展開した際の係数として定義する。その性質を研究したT. N. ティエレに因み、ティエレの半不変数(英: semi-invariant)とも呼ぶ。 (ja) In calcolo della probabilità, data una variabile aleatoria , si chiamano cumulanti determinate combinazioni dei suoi momenti, definite in modo da "separare" l'informazione apportata da ciascuno di essi. In particolare il cumulante n-esimo rappresenta l'informazione aggiuntiva apportata "dall'ordine n". La conoscenza progressiva dei cumulanti di una variabile permette quindi di ricostruire la funzione di distribuzione di probabilità in modo sempre più dettagliato. (it) In de kansrekening worden de cumulanten van een stochastische variabele of een kansverdeling voortgebracht door de cumulantgenererende functie , gedefinieerd als de natuurlijke logaritme van de momentgenererende functie , mits deze bestaat; dan is: De -de cumulant is dan gedefinieerd door: . Directe berekening leert: en . Noemt men en , dan is de Maclaurinreeks-ontwikkeling van de cumulantgenererende functie: Op alternatieve wijze kunnen cumulanten ook gedefinieerd worden in termen van de karakteristieke functie Er geldt: (nl) Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki. Kumulantami rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność: gdzie jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest -tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty. Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie. (pl) Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд Маклорена. (ru) Seja X uma variável aleatória, e E o operador esperança. Então os cumulantes são definidos através da expansão em série de Taylor de , ou seja: Como casos particulares, é a média e é a variância. (pt) 在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量κn(英語：Cumulant)是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。 对于随机变量而言，一阶累积量等于期望值，二阶累积量等于方差，三阶累积量等于三阶中心矩，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的阶累积量的和等于它们和的阶累积量。另外，服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为。 (zh) |
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