Frobenius theorem (differential topology) (original) (raw)
In der Mathematik gibt der Satz von Frobenius eine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für die vollständige Integrierbarkeit von , also für die Existenz einer maximalen Menge unabhängiger Lösungen zu einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen. Es wurde 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen. Er behandelt darin das Pfaffsche Problem für den Fall, dass die Jacobi-Determinante des Systems und einiger Untersysteme verschwindet.
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| dbo:abstract | In der Mathematik gibt der Satz von Frobenius eine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für die vollständige Integrierbarkeit von , also für die Existenz einer maximalen Menge unabhängiger Lösungen zu einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen. Es wurde 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen. Er behandelt darin das Pfaffsche Problem für den Fall, dass die Jacobi-Determinante des Systems und einiger Untersysteme verschwindet. (de) In mathematics, Frobenius' theorem gives necessary and sufficient conditions for finding a maximal set of independent solutions of an overdetermined system of first-order homogeneous linear partial differential equations. In modern geometric terms, given a family of vector fields, the theorem gives necessary and sufficient integrability conditions for the existence of a foliation by maximal integral manifolds whose tangent bundles are spanned by the given vector fields. The theorem generalizes the existence theorem for ordinary differential equations, which guarantees that a single vector field always gives rise to integral curves; Frobenius gives compatibility conditions under which the integral curves of r vector fields mesh into coordinate grids on r-dimensional integral manifolds. The theorem is foundational in differential topology and calculus on manifolds. (en) Le théorème de Frobenius donne une condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité locale d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre dont le membre de droite dépend des variables, des inconnues, mais ne dépend pas de dérivées partielles de ces inconnues : un tel système d'équations aux dérivées partielles est appelé un « système de Pfaff ». Les fonctions du second membre sont supposées seulement de classe , ce qui rend impossible l'application du théorème de Cauchy-Kowalevski, qui suppose ces fonctions analytiques. Le théorème de Frobenius a des liens étroits avec le lemme de Poincaré pour les 1-formes, ce lemme indiquant alors sous quelle condition une 1-forme différentielle est localement exacte. Le théorème de Frobenius conduit à considérer les « variétés intégrales » de la géométrie différentielle et peut s'exprimer dans ce langage. Ces variétés intégrales conduisent à la notion de feuilletage. Le « théorème de Frobenius » a en réalité été établi par (en) en 1840, dans un article approfondissant les travaux de Johann Friedrich Pfaff et de Charles Gustave Jacob Jacobi sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre (remontant quant à eux à 1815 et 1827 respectivement) et qui est passé inaperçu jusqu'à ce que Ferdinand Georg Frobenius l'exhume en 1875. Le (en) et celui de Hector Sussmann, datant de 1938-39 et 1973 respectivement, étudient l'existence de variétés intégrales pour des « p-champs » singuliers ; ils sont, comme le théorème de Frobenius, très utilisés pour étudier la commandabilité des systèmes non linéaires (le lien entre cette question de commandabilité et le théorème de Frobenius a en premier lieu été noté par (en) en 1963). (fr) 数学の微分位相幾何学において 、 フロベニウスの定理（フロベニウスのていり、英語: the Frobenius theorem）は、における線型な一階偏微分方程式の独立な解のMaximal setを求めるための必要十分条件を与える。 現代の幾何学的に言えば、この定理は、積分曲線が単一のベクトル場によって与えられるのと同様に最大の接束が微分方程式系の可積分条件を満たすベクトル場によって張られ、葉層構造を有することへの必要十分条件を与える。この定理は微分トポロジーと多様体上の微積分学の基礎である。 (ja) Теоремою Фробеніуса у математиці називають кілька пов'язаних результатів у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і диференційній геометрії. В своїй загальній формі теорема є одним з основних результатів сучасної диференційної геометрії і має також застосування в диференційній топології і теорії груп Лі. (uk) 弗罗贝尼乌斯定理指出（光滑的情况）： U为Rn的开集，F是Ω1(U)的r阶的子模。则F可积当且仅当对每个p ∈ U茎(stalk)Fp由r个恰当微分形式给出。 几何上来看，它说每个1-形式的r阶可积模和一个余维为r的层相同。这是研究向量场和层理论的基本工具之一。 这个结论在解析1-形式和和乐情况下也成立，但要把R换成C。它可以推广到高阶的微分形式，在有些条件下，也可以推广到有奇点的情况。 也有用向量场表达的定理。存在和如下向量场相切的V的子流形的充分条件 X1, X2, ..., Xr, 可以表达为任意两个场的李括号 [Xi,Xj] 包含在这些场撑成的空间中。因为李括号可在子空间上取，这个条件也是必要的。定理的这两种表述是因为李括号和外微分是相关的。 上面最后这个表述可以用来表明向量场在流形上的可积性。定理的这个变种表明流形M上的任何光滑向量场X可以积分，得到一个单参数族的曲线。这个可积性是因为定义曲线的方程是一阶常微分方程，所以可积性有皮卡-林德洛夫定理保证。 (zh) |
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