Frobenius endomorphism (original) (raw)
Frobeniův endomorfismus je speciální endomorfismus v a teorii těles, podoborech matematiky. Je pojmenován po Ferdinandu Frobeniovi a definován pro komutativní okruhy s prvočíselnou charakteristikou p a to tak, že každý prvek zobrazuje na jeho ptou mocninu. V některých případech se jedná o automorfismus, který se pak nazývá Frobeniův automorfismus.
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| dbo:abstract | En àlgebra commutativa i teoria de cossos l'endomorfisme de Frobenius és un endomorfisme d'anells de característica un nombre primer. En certs contextos és un automorfisme, però aquest fet no és cert en general. Sigui R un anell commutatiu de característica un nombre primer p (la característica és sempre un nombre primer quan R és un domini d'integritat, per exemple). L'endomorfisme de Frobenius F es defineix com F(r)=rp per a tot r de R. Es pot veure com aquesta aplicació respecta la multiplicació d'elements de R: F(rs)=(rs)p = rpsp així com la suma en R. L'expressió (r + s)p pot ser desenvolupada fent servir el teorema del binomi, i com que p és primer, els coeficients de tots els termes excepte rp i sp són divisibles per p, la característica, pel que són iguals a zero. Finalment veiem que clarament F(1)=1, pel que acabem de demostrar que F és un homomorfisme d'anells. En general, F no és un automorfisme. Per exemple, sigui K el cos Fp(t), és a dir, un cos finit amb p elements junt amb un sol . Podemo afirmar que la imatge de F no conté t. Demostrarem aquest fet per contradicció: Suposem que existeix un element de K la imatge del qual en aplicar-li F és t. Aquest element és una funció racional q(t)/r(t) la potència p-èsima del qual (q(t)/r(t))p és igual a t. Això implica que p(deg q - deg r) = 1, la qual cosa és impossible. Per el que F no és exhaustiva (suprajectiva) i per tant no és un automorfisme. Fins i tot és possible que F no sigui injectiva. Això succeeix si i només si R té un element nilpotent d'ordre inferior o igual a p. (ca) Frobeniův endomorfismus je speciální endomorfismus v a teorii těles, podoborech matematiky. Je pojmenován po Ferdinandu Frobeniovi a definován pro komutativní okruhy s prvočíselnou charakteristikou p a to tak, že každý prvek zobrazuje na jeho ptou mocninu. V některých případech se jedná o automorfismus, který se pak nazývá Frobeniův automorfismus. (cs) Der Frobeniushomomorphismus oder Frobenius-Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt. (de) En álgebra conmutativa y teoría de cuerpos, que son ramas de las matemáticas, el endomorfismo de Frobenius (llamado así en honor de Ferdinand Georg Frobenius) es un endomorfismo de anillos de característica un número primo. En ciertos contextos es un automorfismo, pero este hecho no es cierto en general. (es) In commutative algebra and field theory, the Frobenius endomorphism (after Ferdinand Georg Frobenius) is a special endomorphism of commutative rings with prime characteristic p, an important class which includes finite fields. The endomorphism maps every element to its p-th power. In certain contexts it is an automorphism, but this is not true in general. (en) En mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme. Il est généralement utilisé en théorie algébrique des nombres, par exemple pour la démonstration de la loi de réciprocité quadratique. (fr) 可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、英: Frobenius endomorphism, Frobenius map) （フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ）は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 p をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を p 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。 (ja) In de commutatieve algebra en de theorie van lichamen/velden, deelgebieden van de wiskunde, is het frobenius-endomorfisme een speciaal endomorfisme van commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek dat elk element afbeeldt. op zijn -de macht. In bepaalde contexten is een frobenius-endomorfisme een automorfisme, maar dit is in het algemeen niet het geval. Commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek vormen een belangrijke klasse die in het bijzonder de lichamen/velden omvat. Het frobenius-endomorfisme is genoemd naar Ferdinand Georg Frobenius. Voor eindige lichamen van karakteristiek is het frobenius-endomorfisme van speciaal belang, en is het zelfs zo dat de gehele groep van automorfismen wordt voortgebracht door het frobenius-endomorfisme Er geldt , aangezien alle andere termen in het binomium deelbaar zijn door . Dus is Ook is: en Er zijn niet meer dan automorfismen, omdat de multiplicatieve groep cyclisch is. (nl) 가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다. (ko) Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego -tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka. (pl) In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che: Se è un anello commutativo con caratteristica , con numero primo, allora , per ogni e appartenenti ad . cioè che l'applicazione preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà e , dunque si caratterizza come un endomorfismo di in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius. (it) Em álgebra comutativa e teoria dos corpos, que são ramos da matemática, o endomorfismo de Frobenius é um endomorfismo de anéis de característica um número primo. Em certos contextos é um automorfismo, mas esta afirmação não é correta no geral. O endomorfismo de Frobenius é a função que leva cada elemento na sua p-ésima potência: Esta função é um endomorfismo em corpos de característica p, porque, nestes, vale a expressão Restrito a , este endomorfismo é a função identidade, mas para qualquer outro elemento (caso contrário o polinômio teria mais de p raízes). (pt) Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики , задаётся формулой . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так. (ru) 在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（Frobenius，简称弗罗贝尼乌斯）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。 在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。 (zh) Ендоморфізм Фробеніуса — ендоморфізм комутативного кільця простий характеристики p, задається формулою . У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так. (uk) |
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(es) In commutative algebra and field theory, the Frobenius endomorphism (after Ferdinand Georg Frobenius) is a special endomorphism of commutative rings with prime characteristic p, an important class which includes finite fields. The endomorphism maps every element to its p-th power. In certain contexts it is an automorphism, but this is not true in general. (en) 可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、英: Frobenius endomorphism, Frobenius map) （フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ）は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 p をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を p 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。 (ja) 가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다. (ko) Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego -tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka. (pl) In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che: Se è un anello commutativo con caratteristica , con numero primo, allora , per ogni e appartenenti ad . cioè che l'applicazione preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà e , dunque si caratterizza come un endomorfismo di in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius. (it) Em álgebra comutativa e teoria dos corpos, que são ramos da matemática, o endomorfismo de Frobenius é um endomorfismo de anéis de característica um número primo. Em certos contextos é um automorfismo, mas esta afirmação não é correta no geral. O endomorfismo de Frobenius é a função que leva cada elemento na sua p-ésima potência: Esta função é um endomorfismo em corpos de característica p, porque, nestes, vale a expressão Restrito a , este endomorfismo é a função identidade, mas para qualquer outro elemento (caso contrário o polinômio teria mais de p raízes). (pt) Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики , задаётся формулой . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так. (ru) 在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（Frobenius，简称弗罗贝尼乌斯）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。 在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。 (zh) Ендоморфізм Фробеніуса — ендоморфізм комутативного кільця простий характеристики p, задається формулою . У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так. (uk) En àlgebra commutativa i teoria de cossos l'endomorfisme de Frobenius és un endomorfisme d'anells de característica un nombre primer. En certs contextos és un automorfisme, però aquest fet no és cert en general. Sigui R un anell commutatiu de característica un nombre primer p (la característica és sempre un nombre primer quan R és un domini d'integritat, per exemple). L'endomorfisme de Frobenius F es defineix com F(r)=rp (ca) En mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme. (fr) In de commutatieve algebra en de theorie van lichamen/velden, deelgebieden van de wiskunde, is het frobenius-endomorfisme een speciaal endomorfisme van commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek dat elk element afbeeldt. op zijn -de macht. In bepaalde contexten is een frobenius-endomorfisme een automorfisme, maar dit is in het algemeen niet het geval. Commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek vormen een belangrijke klasse die in het bijzonder de lichamen/velden omvat. Het frobenius-endomorfisme is genoemd naar Ferdinand Georg Frobenius. Ook is: en (nl) |
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