Special unitary group (original) (raw)
En matemàtiques, el grup unitari especial (o grup especial unitari) de grau n, denominat SU(n), és el grup de matrius unitàries n x n i amb determinant igual a 1, amb nombres complexos als elements del cos C i amb l'operació de grup donada per la multiplicació de matrius. És un subgrup del grup unitari U(n), que és ell mateix un subgrup del grup lineal general GL(n, C). Els grups especials unitaris són de gran importància en física teòrica on múltiples simetries són representades per grups SU(n).
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| dbo:abstract | En matemàtiques, el grup unitari especial (o grup especial unitari) de grau n, denominat SU(n), és el grup de matrius unitàries n x n i amb determinant igual a 1, amb nombres complexos als elements del cos C i amb l'operació de grup donada per la multiplicació de matrius. És un subgrup del grup unitari U(n), que és ell mateix un subgrup del grup lineal general GL(n, C). Els grups especials unitaris són de gran importància en física teòrica on múltiples simetries són representades per grups SU(n). (ca) Die spezielle unitäre Gruppe besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe sowie der speziellen linearen Gruppe . (de) En matemáticas, el grupo unitario especial (o grupo especial unitario) de grado n es el grupo de matrices unitarias n x n con determinante igual a 1, con las entradas en el cuerpo C de los números complejos y con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. Se escribe como SU(n). Es un subgrupo del grupo unitario U(n), a su vez un subgrupo del grupo lineal general GL(n, C). De ahora en adelante supondremos n ≥ 2. (es) En mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E. De manière générale, on peut définir le groupe spécial unitaire d'une forme sesquilinéaire hermitienne complexe non dégénérée, ou d'une forme sesquilinéaire hermitienne ou antihermitienne non dégénérée sur un espace vectoriel de dimension finie sur certains corps (commutatifs ou non) relativement à une involution. (fr) In mathematics, the special unitary group of degree n, denoted SU(n), is the Lie group of n × n unitary matrices with determinant 1. The more general unitary matrices may have complex determinants with absolute value 1, rather than real 1 in the special case. The group operation is matrix multiplication. The special unitary group is a normal subgroup of the unitary group U(n), consisting of all n×n unitary matrices. As a compact classical group, U(n) is the group that preserves the standard inner product on . It is itself a subgroup of the general linear group, . The SU(n) groups find wide application in the Standard Model of particle physics, especially in the electroweak interaction and in quantum chromodynamics.The groups SU(2n) are important in quantum computing, as they represent the possible quantum logic gate operations in a quantum circuit with qubits and thus basis states. (Alternatively, the more general unitary group can be used, sincemultiplying by a global phase factor does not change the expectation values of a quantum operator.) The simplest case, SU(1), is the trivial group, having only a single element. The group SU(2) is isomorphic to the group of quaternions of norm 1, and is thus diffeomorphic to the 3-sphere. Since unit quaternions can be used to represent rotations in 3-dimensional space (up to sign), there is a surjective homomorphism from SU(2) to the rotation group SO(3) whose kernel is {+I, −I}. SU(2) is also identical to one of the symmetry groups of spinors, Spin(3), that enables a spinor presentation of rotations. (en) 수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다. (ko) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad , genoteerd als , de groep van unitaire -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep van unitaire -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep . De groepen vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de in de elektro-zwakke interactie en in de kwantumchromodynamica. Het simpelste geval, , is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van met de rotatiegroep , waarvan de kern gelijk is aan . (nl) n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。 特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。 特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。 (ja) In matematica, il gruppo unitario speciale di grado è il gruppo delle matrici unitarie con determinante dotato della consueta moltiplicazione. Il gruppo speciale unitario, indicato con , è un sottogruppo del gruppo unitario , che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale . Il caso più semplice, ovvero , è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è . (it) Specjalna grupa unitarna stopnia oznaczana symbolem jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci czyli liczbę o module 1). Istnieją różne reprezentacje danej grupy tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym: (1) Reprezentacja fundamentalna grupy składa się z macierzy wymiaru (2) Inne reprezentacje grupy składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej). Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy – niezależnie od reprezentacji – wynosi Każdą specjalną macierz unitarną grupy dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej parametrów gdzie: jest wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych, jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze nazywa się generatorami grupy przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru jest także równy Grupę definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy są inne niż dla itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy są macierzami wymiaru (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów: (pl) Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером обозначается . Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы , состоящей из всех унитарных матриц . (ru) Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas n por n unitárias e com determinante um. A operação de grupo é o produto de matrizes. O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,). O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é . (pt) 在数学中， 阶特殊酉群（英語：special unitary group），记作 ，是行列式为 1 的 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 酉矩阵组成的酉群 的一个子群，酉群又是一般线性群 ) 的一个子群。 群 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 在电弱相互作用与 在量子色动力学中。 最简单的情形 ，是平凡群，只有一个元素。群 同构于範數为 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 到旋转群 ，其核为 。 (zh) Спеціальна унітарна група SU(n) — група унітарних матриць рангу n із одиничним визначником. — звичайне множення матриць. Модуль визначника унітарної матриці завжди дорівнює 1, але в групи SU(n) входять тільки ті з них, для яких сам визначник дорівнює 1. Тобто, група SU(n) є підгрупою групи U(n). Група SU(1) складається із одного елемента — числа 1. Група SU(2) ізоморфна групі кватерніонів з модулем рівним одиниці. (uk) |
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(de) En matemáticas, el grupo unitario especial (o grupo especial unitario) de grado n es el grupo de matrices unitarias n x n con determinante igual a 1, con las entradas en el cuerpo C de los números complejos y con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. Se escribe como SU(n). Es un subgrupo del grupo unitario U(n), a su vez un subgrupo del grupo lineal general GL(n, C). De ahora en adelante supondremos n ≥ 2. (es) 수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다. (ko) n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。 特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。 特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。 (ja) Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером обозначается . Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы , состоящей из всех унитарных матриц . (ru) 在数学中， 阶特殊酉群（英語：special unitary group），记作 ，是行列式为 1 的 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 酉矩阵组成的酉群 的一个子群，酉群又是一般线性群 ) 的一个子群。 群 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 在电弱相互作用与 在量子色动力学中。 最简单的情形 ，是平凡群，只有一个元素。群 同构于範數为 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 到旋转群 ，其核为 。 (zh) Спеціальна унітарна група SU(n) — група унітарних матриць рангу n із одиничним визначником. — звичайне множення матриць. Модуль визначника унітарної матриці завжди дорівнює 1, але в групи SU(n) входять тільки ті з них, для яких сам визначник дорівнює 1. Тобто, група SU(n) є підгрупою групи U(n). Група SU(1) складається із одного елемента — числа 1. Група SU(2) ізоморфна групі кватерніонів з модулем рівним одиниці. (uk) En mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E. (fr) In mathematics, the special unitary group of degree n, denoted SU(n), is the Lie group of n × n unitary matrices with determinant 1. The more general unitary matrices may have complex determinants with absolute value 1, rather than real 1 in the special case. The group operation is matrix multiplication. The special unitary group is a normal subgroup of the unitary group U(n), consisting of all n×n unitary matrices. As a compact classical group, U(n) is the group that preserves the standard inner product on . It is itself a subgroup of the general linear group, . (en) In matematica, il gruppo unitario speciale di grado è il gruppo delle matrici unitarie con determinante dotato della consueta moltiplicazione. Il gruppo speciale unitario, indicato con , è un sottogruppo del gruppo unitario , che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale . (it) Specjalna grupa unitarna stopnia oznaczana symbolem jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci czyli liczbę o module 1). Istnieją różne reprezentacje danej grupy tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym: (1) Reprezentacja fundamentalna grupy składa się z macierzy wymiaru gdzie: jest wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych, jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze nazywa się generatorami grupy (pl) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad , genoteerd als , de groep van unitaire -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep van unitaire -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep . De groepen vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de in de elektro-zwakke interactie en in de kwantumchromodynamica. (nl) Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas n por n unitárias e com determinante um. 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