Hopf fibration (original) (raw)
اهتزاز هوبف في المجال الرياضي للطوبولوجيا التفاضلية، يصف اهتزاز هوبف (المعروف أيضًا بعدة أسماء وهي حزمة هوبف أو خريطة هوبف) كرة ثلاثية (كرة زائدة في فضاء رباعي الأبعاد) من حيث الدوائر والمجال العادي.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | اهتزاز هوبف في المجال الرياضي للطوبولوجيا التفاضلية، يصف اهتزاز هوبف (المعروف أيضًا بعدة أسماء وهي حزمة هوبف أو خريطة هوبف) كرة ثلاثية (كرة زائدة في فضاء رباعي الأبعاد) من حيث الدوائر والمجال العادي. (ar) Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche: (de) En la rama de las matemáticas denominada topología, la fibración de Hopf (también denominada el haz de Hopf o mapa de Hopf) describe una 3-esfera (una hiperesfera en el espacio de cuatro dimensiones) mediante circunferencias y una esfera ordinaria. Descubierta en 1931 por Heinz Hopf, es un ejemplo inicial importante de un haz de fibras. Técnicamente, Hopf descubrió una función continua (o "mapa") de varios a uno de la 3-esfera en la 2-esfera tal que cada punto en particular de la 2-esfera proviene de una circunferencia específica de la 3-esfera. Por lo tanto la 3-esfera se compone de fibras, donde cada fibra es una circunferencia — uno para cada punto de la 2-esfera. Esta estructura de haz de fibras queda expresada mediante la expresión que significa que el espacio de fibra S1 (un círculo) se encuentra encajado en el espacio total S3 (la 3-esfera), y p: S3→S2 (Mapa de Hopf) proyecta S3 en el espacio base S2 (la 2-esfera ordinaria). La fibración de Hopf, al igual que todo haz de fibras, posee la propiedad que es un producto espacial local. Sin embargo es un haz de fibras no trivial, o sea S3 no es en sentido global un producto de S2 y S1 aunque a nivel local es indistinguible de este.Existen numerosas generalizaciones de la fibración de Hopf. La esfera unidad en Cn+1 se fibra naturalmente en CPn con circunferencias como fibras, existen también versiones de estas fibraciones reales, cuaterniónicas, y octoniónicas. En particular, la fibraciónn de Hopf corresponde a una familia de cuatro haces de fibras en los cuales el espacio total, el espacio base, y el espacio fibra son todos esferas: Según establece el estas fibraciones solo pueden presentarse en estas dimensiones. La fibración de Hopf es importante en el ámbito de la teoría de twistores. (es) In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3-sphere (a hypersphere in four-dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many-to-one continuous function (or "map") from the 3-sphere onto the 2-sphere such that each distinct point of the 2-sphere is mapped from a distinct great circle of the 3-sphere. Thus the 3-sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2-sphere. This fiber bundle structure is denoted meaning that the fiber space S1 (a circle) is embedded in the total space S3 (the 3-sphere), and p : S3 → S2 (Hopf's map) projects S3 onto the base space S2 (the ordinary 2-sphere). The Hopf fibration, like any fiber bundle, has the important property that it is locally a product space. However it is not a trivial fiber bundle, i.e., S3 is not globally a product of S2 and S1 although locally it is indistinguishable from it. This has many implications: for example the existence of this bundle shows that the higher homotopy groups of spheres are not trivial in general. It also provides a basic example of a principal bundle, by identifying the fiber with the circle group. Stereographic projection of the Hopf fibration induces a remarkable structure on R3, in which all of 3-dimensional space, except for the z-axis, is filled with nested tori made of linking Villarceau circles. Here each fiber projects to a circle in space (one of which is a line, thought of as a "circle through infinity"). Each torus is the stereographic projection of the inverse image of a circle of latitude of the 2-sphere. (Topologically, a torus is the product of two circles.) These tori are illustrated in the images at right. When R3 is compressed to the boundary of a ball, some geometric structure is lost although the topological structure is retained (see Topology and geometry). The loops are homeomorphic to circles, although they are not geometric circles. There are numerous generalizations of the Hopf fibration. The unit sphere in complex coordinate space Cn+1 fibers naturally over the complex projective space CPn with circles as fibers, and there are also real, quaternionic, and octonionic versions of these fibrations. In particular, the Hopf fibration belongs to a family of four fiber bundles in which the total space, base space, and fiber space are all spheres: By Adams's theorem such fibrations can occur only in these dimensions. The Hopf fibration is important in twistor theory. (en) En géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions S3 par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur S3. L'espace de base est la sphère à 2-dimensions S2, la fibre modèle est un cercle S1. Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de S3 sur S2, telle que les images réciproques de chaque point de S2 soient des cercles. Cette structure a été découverte par Heinz Hopf en 1931. Cette fibration peut aussi être interprétée comme un fibré principal, dont le groupe structural est le groupe S1 des complexes de module 1. (fr) 위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다. (ko) In geometria, la fibrazione di Hopf è una particolare mappa dalla sfera tridimensionale a quella bidimensionale, tale che la controimmagine di ogni punto è una circonferenza. (it) No campo matemático da topologia, a fibração de Hopf (também conhecida como fibrado de Hopf ou mapa de Hopf) descreve uma 3-esfera (uma hiperesfera no espaço quadri-dimensional) em termos de círculos e uma esfera ordinária. Descoberto por Heinz Hopf em 1931, é um exemplo primordial influente de fibrado de linhas. Tecnicamente, Hopf encontrou uma função contínua (ou "mapa") de "muitos para um" da 3-esfera para a 2-esfera tal que cada ponto distinto da 2-esfera torna-se um círculo distinto da 3-esfera. Assim a 3-esfera é composta de "fibras", onde cada "fibra" é um círculo — um para cada ponto da 2-esfera. Esta estrutura de fibras é denotada o que quer dizer que a fibra S¹ (um círculo) está imersa no espaço total S³ (a 3-esfera), e p: S³→S² (mapa de Hopf) projeta S³ na base S² (a 2-esfera ordinária). A fibração de Hopf, como qualquer fibrado, tem a propriedade de ser um espaço produto. Todavia este não é um fibrado trivial, i.e., S³ não é (globalmente) o produto de S² e S¹. Isto apresenta algumas implicações: por exemplo, a existência deste fibrado mostra que os mais altos não são triviais em geral. Também provê um exemplo básico de fibrado principal pela identificação da fibra com o . A projeção estereográfica do fibrado de Hopf induz a uma estrutura marcante em R³, na qual o espaço é preenchido com toros aninhados feitos de interligados. Aqui cada fibra é projetada num círculo no espaço (um dos quais é um "círculo passando pelo infinito" — uma reta). Cada toro é a projeção estereográfica da imagem inversa de um círculo de latitude da 2-esfera. (Topologicamente, um toro é o produto de dois círculos.) Estes toros são ilustrados pelas imagens à direita. Quando o R3 é comprimido numa bola, sua estrutura geométrica é perdida mas a estrutura topológica se mantém (ver Topologia e Geometria). Os laços são a círculos, apesar de não serem círculos geométricos. Há inúmeras generalizações da fibração de Hopf. A esfera unitária em Cn+1 projeta-se naturalmente em CPn tendo círculos como fibras, e há também versões reais, em e em destas fibrações. Em particular, a fibração de Hopf pertence a uma família de quatro fibrados cujo espaço total, a base e a fibra são todos esferas: Pelo , tais fibrações podem ocorrer apenas nestas dimensões. A fibração de Hopf é importante na Teoria dos twistores. (pt) Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью: . Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения. Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение: и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы : , где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел: . (ru) Розшарування Хопфа — приклад локально тривіального розшарування тривимірної сфери над двовимірною з шаром-колом: . Розшарування Хопфа не є тривіальним. Є також важливим прикладом головного розшарування. Одним з найпростіших способів завдання цього розшарування є представлення тривимірної сфери як одиничної сфери в , а двовимірної сфери як комплексної проєктивної прямої . Тоді відображення: і задає розшарування Хопфа. При цьому шарами розшарування будуть орбіти вільної дії групи : , де коло представлена як множина одиничних за модулем комплексних чисел: . (uk) 在拓扑学中，霍普夫纖維化（Hopf fibration，亦称霍普夫纖維丛）是最早提出的纤维化，其中的纤维是圆圈（1-球面，S1），基空间是三维空间中的球面（2-球面，S2），而全空间是四维空间中的超球面（3-球面，S3）。容易验证，它是非平凡的。即全空间S3与积空间S1×S2不是拓扑同构的。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Hopf_Fibration.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.youtube.com/watch%3Fv=MFXRRW9goTs/ http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx%3Fc=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 http://dimensions-math.org/Dim_reg_AM.htm https://nilesjohnson.net/hopf-articles/Lyons_Elem-intro-Hopf-fibration.pdf https://quantum.lvc.edu/lyons/pubs/hopf_paper_preprint.pdf https://wgxli.github.io/hopf-fibration/ http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/Movies/600cell.mp4 https://archive.org/details/collmathpapers01caylrich https://books.google.com/books%3Fid=m_wrjoweDTgC&q=%22The+Topology+of+Fibre+Bundles%22 https://www.youtube.com/watch%3Fv=AKotMPGFJYk/ http://www.digizeitschriften.de/index.php%3Fid=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=363429&L=2 |
| dbo:wikiPageID | 580384 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 35431 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1113345027 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Princeton_University_Press dbr:Projective_space dbr:Quantum_mechanics dbr:Quaternion dbr:Qubit dbr:Robotics dbr:Antipodal_point dbr:Homeomorphic dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_link dbr:Unit_quaternion dbr:Versor dbc:Differential_geometry dbr:Complex_number dbr:Continuous_function dbr:SU(2) dbr:Origin_(mathematics) dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Circle dbr:Circles dbr:Geometry dbr:Great_circle dbr:N-sphere dbr:Probabilistic_roadmap dbr:Magnetic_monopole dbr:Magnetohydrodynamics dbr:Stereographic_projection dbr:Complex_conjugate dbr:Complex_coordinate_space dbr:Complex_projective_space dbr:Embedding dbr:Fundamenta_Mathematicae dbr:Hopf_invariant dbr:Mathematische_Annalen dbr:Spin_group dbr:Symplectic_group dbr:Two-level_system dbr:Automation dbr:Torus dbr:Division_algebra dbr:File:Villarceau_circles.gif dbr:3-sphere dbr:3-torus dbc:Algebraic_topology dbr:Equivalence_relation dbr:Euclidean_space dbr:Euler_angles dbr:Exotic_sphere dbr:Fiber_bundle dbr:Four-dimensional_space dbr:PDF dbr:Cayley_plane dbr:Differential_topology dbr:Double_covering_group dbr:Journal_of_Geometry_and_Physics dbr:Journal_of_Physics_A dbr:Flat_torus dbr:Quadcopter dbr:Quotient_space_(topology) dbc:Geometric_topology dbc:Homotopy_theory dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Heinz_Hopf dbr:Isometry dbr:Riemann_sphere dbc:Fiber_bundles dbr:John_Milnor dbr:Bloch_sphere dbr:Homeomorphism dbr:Homotopy_group dbr:Tautological_line_bundle dbr:Rotation_group_SO(3) dbr:Diffeomorphic dbr:Disjoint_union dbr:Special_unitary_group dbr:Sphere dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Circle_group dbr:Natural_number dbr:Navier–Stokes_equations dbr:Octonion dbr:Orthogonal_matrix dbr:Real_number dbr:Real_projective_line dbr:Real_projective_space dbr:Hypersphere dbr:Mathematics_Magazine dbr:Soliton dbr:Twistor_theory dbr:Villarceau_circles dbr:Principal_bundle dbr:Philosophical_Magazine dbr:Point_at_infinity dbr:Inverse_image dbr:Subset dbr:Transitive_group_action dbr:Vector_subspace dbr:One_point_compactification dbr:Point_(mathematics) dbr:Quotient_map dbr:Principal_circle_bundle dbr:Product_space dbr:Null-homotopic dbr:Complex_projective_line dbr:Locally_trivial dbr:Neighborhood_(topology) dbr:File:Hopf_Fibration.png dbr:Octonionic_projective_line dbr:File:Hopfkeyrings.jpg |
| dbp:id | p/h047980 (en) |
| dbp:title | Hopf fibration (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:! dbt:= dbt:Citation dbt:Cite_arXiv dbt:Harv dbt:Harvtxt dbt:Math dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Differential_geometry dbc:Algebraic_topology dbc:Geometric_topology dbc:Homotopy_theory dbc:Fiber_bundles |
| rdf:type | yago:WikicatSpheres yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Environment113934596 yago:Situation113927383 yago:Sphere114514039 yago:State100024720 |
| rdfs:comment | اهتزاز هوبف في المجال الرياضي للطوبولوجيا التفاضلية، يصف اهتزاز هوبف (المعروف أيضًا بعدة أسماء وهي حزمة هوبف أو خريطة هوبف) كرة ثلاثية (كرة زائدة في فضاء رباعي الأبعاد) من حيث الدوائر والمجال العادي. (ar) Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche: (de) 위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다. (ko) In geometria, la fibrazione di Hopf è una particolare mappa dalla sfera tridimensionale a quella bidimensionale, tale che la controimmagine di ogni punto è una circonferenza. (it) Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью: . Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения. Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение: и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы : , где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел: . (ru) Розшарування Хопфа — приклад локально тривіального розшарування тривимірної сфери над двовимірною з шаром-колом: . Розшарування Хопфа не є тривіальним. Є також важливим прикладом головного розшарування. Одним з найпростіших способів завдання цього розшарування є представлення тривимірної сфери як одиничної сфери в , а двовимірної сфери як комплексної проєктивної прямої . Тоді відображення: і задає розшарування Хопфа. При цьому шарами розшарування будуть орбіти вільної дії групи : , де коло представлена як множина одиничних за модулем комплексних чисел: . (uk) 在拓扑学中，霍普夫纖維化（Hopf fibration，亦称霍普夫纖維丛）是最早提出的纤维化，其中的纤维是圆圈（1-球面，S1），基空间是三维空间中的球面（2-球面，S2），而全空间是四维空间中的超球面（3-球面，S3）。容易验证，它是非平凡的。即全空间S3与积空间S1×S2不是拓扑同构的。 (zh) In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3-sphere (a hypersphere in four-dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many-to-one continuous function (or "map") from the 3-sphere onto the 2-sphere such that each distinct point of the 2-sphere is mapped from a distinct great circle of the 3-sphere. Thus the 3-sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2-sphere. (en) En la rama de las matemáticas denominada topología, la fibración de Hopf (también denominada el haz de Hopf o mapa de Hopf) describe una 3-esfera (una hiperesfera en el espacio de cuatro dimensiones) mediante circunferencias y una esfera ordinaria. Descubierta en 1931 por Heinz Hopf, es un ejemplo inicial importante de un haz de fibras. Técnicamente, Hopf descubrió una función continua (o "mapa") de varios a uno de la 3-esfera en la 2-esfera tal que cada punto en particular de la 2-esfera proviene de una circunferencia específica de la 3-esfera. Por lo tanto la 3-esfera se compone de fibras, donde cada fibra es una circunferencia — uno para cada punto de la 2-esfera. (es) En géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions S3 par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur S3. L'espace de base est la sphère à 2-dimensions S2, la fibre modèle est un cercle S1. Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de S3 sur S2, telle que les images réciproques de chaque point de S2 soient des cercles. (fr) No campo matemático da topologia, a fibração de Hopf (também conhecida como fibrado de Hopf ou mapa de Hopf) descreve uma 3-esfera (uma hiperesfera no espaço quadri-dimensional) em termos de círculos e uma esfera ordinária. Descoberto por Heinz Hopf em 1931, é um exemplo primordial influente de fibrado de linhas. Tecnicamente, Hopf encontrou uma função contínua (ou "mapa") de "muitos para um" da 3-esfera para a 2-esfera tal que cada ponto distinto da 2-esfera torna-se um círculo distinto da 3-esfera. Assim a 3-esfera é composta de "fibras", onde cada "fibra" é um círculo — um para cada ponto da 2-esfera. (pt) |
| rdfs:label | اهتزاز هوبف (ar) Hopf-Faserung (de) Fibración de Hopf (es) Hopf fibration (en) Fibration de Hopf (fr) Fibrazione di Hopf (it) 호프 올뭉치 (ko) Fibração de Hopf (pt) Расслоение Хопфа (ru) Розшарування Гопфа (uk) 霍普夫纤维化 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Hopf fibration yago-res:Hopf fibration wikidata:Hopf fibration dbpedia-ar:Hopf fibration dbpedia-de:Hopf fibration dbpedia-es:Hopf fibration dbpedia-fr:Hopf fibration dbpedia-it:Hopf fibration dbpedia-ko:Hopf fibration dbpedia-pt:Hopf fibration dbpedia-ru:Hopf fibration dbpedia-uk:Hopf fibration dbpedia-zh:Hopf fibration https://global.dbpedia.org/id/baor |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hopf_fibration?oldid=1113345027&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Hopfkeyrings.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Hopf_Fibration.png wiki-commons:Special:FilePath/Villarceau_circles.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hopf_fibration |
| is dbo:knownFor of | dbr:Heinz_Hopf |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hopf_bundle dbr:Hopf_line_bundle dbr:Hopf_map |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Barratt–Priddy_theorem dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_link dbr:Versor dbr:Duocylinder dbr:120-cell dbr:16-cell dbr:Symplectic_cut dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Clifford_torus dbr:N-sphere dbr:Congruence_(manifolds) dbr:Lagrangian_(field_theory) dbr:Berger's_sphere dbr:Boerdijk–Coxeter_helix dbr:Complex_projective_space dbr:Fubini–Study_metric dbr:Harmonic_superspace dbr:Hopfion dbr:Kervaire_invariant dbr:Line_bundle dbr:Linear_fractional_transformation dbr:24-cell dbr:3-sphere dbr:600-cell dbr:Fiber_bundle dbr:Grand_antiprism dbr:Projective_Hilbert_space dbr:Riemannian_submersion dbr:Heinz_Hopf dbr:A_Topological_Picturebook dbr:Bloch_sphere dbr:Homotopy_group dbr:Circle_bundle dbr:Fibration dbr:Brunnian_link dbr:Navier–Stokes_equations dbr:Villarceau_circles dbr:Whitehead_product dbr:Serre_spectral_sequence dbr:Seifert_conjecture dbr:Ε-quadratic_form dbr:The_Geometry_of_the_Octonions dbr:Hopf_bundle dbr:Hopf_line_bundle dbr:Hopf_map |
| is dbp:knownFor of | dbr:Heinz_Hopf |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hopf_fibration |
