Indefinite orthogonal group (original) (raw)
数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。 广义特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式为1的元素构成的子群。 度量的符号（p、q分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换p和q相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果p或q等于0，那么同构于普通正交群O(n)。我们假设下文中p和q均是正整数。 群O(p,q)定义在实向量空间上。对于複空间，所有群O(p,q; C)都同构于通常正交群O(p + q; C)，因为複共轭变换能改变二次型的惯性指数。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, the indefinite orthogonal group, O(p, q) is the Lie group of all linear transformations of an n-dimensional real vector space that leave invariant a nondegenerate, symmetric bilinear form of signature (p, q), where n = p + q. It is also called the pseudo-orthogonal group or generalized orthogonal group. The dimension of the group is n(n − 1)/2. The indefinite special orthogonal group, SO(p, q) is the subgroup of O(p, q) consisting of all elements with determinant 1. Unlike in the definite case, SO(p, q) is not connected – it has 2 components – and there are two additional finite index subgroups, namely the connected SO+(p, q) and O+(p, q), which has 2 components – see for definition and discussion. The signature of the form determines the group up to isomorphism; interchanging p with q amounts to replacing the metric by its negative, and so gives the same group. If either p or q equals zero, then the group is isomorphic to the ordinary orthogonal group O(n). We assume in what follows that both p and q are positive. The group O(p, q) is defined for vector spaces over the reals. For complex spaces, all groups O(p, q; C) are isomorphic to the usual orthogonal group O(p + q; C), since the transform changes the signature of a form. This should not be confused with the indefinite unitary group U(p, q) which preserves a sesquilinear form of signature (p, q). In even dimension n = 2p, O(p, p) is known as the . (en) In matematica, il gruppo ortogonale indefinito ovvero gruppo pseudo-ortogonale, denotato con O(p, q) , è il gruppo di Lie di tutti gli endomorfismi lineari di uno spazio vettoriale reale n-dimensionale che lasciano invariata una forma bilineare simmetrica di segnatura (p, q), dove n = p + q. La dimensione di questo gruppo è n(n − 1)/2. Il gruppo ortogonale indefinito speciale, SO(p, q) , è il sottogruppo di O(p, q) formato da tutti gli endomorfismi lineari con determinante uguale a 1. Diversamente del caso definito, il gruppo di Lie SO(p, q) non è connesso – infatti ha 2 componenti – ed inoltre contiene due sottogruppi di indice finito, cioè il sottogruppo connesso SO+(p, q) e il sottogruppo a 2 componenti O+(p, q). (it) Неопределённая ортогональная группа — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной с сигнатурой , где . Размерность группы равна . Неопределённая специальная ортогональная группа является подгруппой , состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная и , которая имеет две компоненты — см. раздел , в котором дано определение и доказан этот факт. Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны. Группа определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы изоморфны обычной ортогональной группе , поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы. В пространстве чётной размерности группа известна как . (ru) Невизначена ортогональна група — це група Лі всіх лінійних перетворень n-вимірного дійсного векторного простору, які залишають інваріантною невироджену симетричну білінійну форму з сигнатурою , де . Розмірність групи дорівнює . Невизначена спеціальна ортогональна група є підгрупою групи , що складається з усіх елементів з визначником 1. На відміну від особливого випадку група не зв'язна — вона має дві компоненти і є дві додаткові підгрупи зі скінченним індексом, а саме, зв'язна і , яка має дві компоненти. Сигнатура форми визначає групу з точністю до ізоморфізму. Перестановка p з q призводить до заміни метрики на її заперечення, що дає ту ж саму групу. Якщо p або q дорівнює нулю, група ізоморфна звичайній ортогональній групі O(n). Далі ми припускаємо, що і p, і q додатні. (uk) 数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。 广义特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式为1的元素构成的子群。 度量的符号（p、q分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换p和q相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果p或q等于0，那么同构于普通正交群O(n)。我们假设下文中p和q均是正整数。 群O(p,q)定义在实向量空间上。对于複空间，所有群O(p,q; C)都同构于通常正交群O(p + q; C)，因为複共轭变换能改变二次型的惯性指数。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/1.5.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.mathnet.ru/links/856008704d1b4844a21d3d20f25f3fdc/book1373.pdf |
| dbo:wikiPageID | 293609 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 12446 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1048138055 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Quantum_field_theory dbr:Electromagnetism dbr:Multiplicative_group dbr:Determinant dbr:Joseph_A._Wolf dbr:Vector_space dbr:Volume_form dbr:Lie_group dbr:Signature_of_a_quadratic_form dbr:Compact_real_form dbr:Compact_space dbr:Complex_number dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Generalized_flag_variety dbr:Symmetric_matrix dbr:Connected_space dbr:Lie_algebra dbr:Lorentz_group dbr:Fundamental_group dbr:Identity_component dbr:Steinberg_group_(Lie_theory) dbr:Subgroup dbr:Maximal_compact_subgroup dbr:Transpose dbc:Lie_groups dbr:Diagonal_matrix dbr:Isomorphism dbr:T-duality dbr:Chevalley_group dbr:Block_matrix dbr:Symmetric_bilinear_form dbr:Dirac_equation dbr:Special_relativity dbr:Split-complex_number dbr:Squeeze_mapping dbr:Group_of_Lie_type dbr:Inner_automorphism dbr:Inner_product dbr:Orthogonal_group dbr:Real_number dbr:Klein_four-group dbr:Indefinite_unitary_group dbr:Linear_transformation dbr:Poincaré_group dbr:Sesquilinear_form dbr:Unit_hyperbola dbr:Nondegenerate_form dbr:Orthochronous_Lorentz_group dbr:Split_real_form dbr:Anthony_Knapp dbr:Dimension_of_a_vector_space dbr:Split_Lie_group dbr:File:Squeeze_r=1.5.svg |
| dbp:authorLink | Vladimir L. Popov (en) |
| dbp:date | December 2020 (en) |
| dbp:first | V. L. (en) |
| dbp:id | O/o070300 (en) |
| dbp:last | Popov (en) |
| dbp:reason | Usually, the word orientation refers to the sign on the volume form, and the sign on that flips or not, depending on even or odd dimensions. This paragraph seems to be talking about two different parity transformations and not orientation. Also, it should be clarified whether these parity transformations are inner automorphisms or not. I think they are, but I'm not sure. Maybe they're only inner in some dimensions and not others? (en) |
| dbp:title | Orthogonal group (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Clarify dbt:Expand_section dbt:ISBN dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Short_description dbt:Slink |
| dct:subject | dbc:Lie_groups |
| rdf:type | yago:WikicatLieGroups yago:Abstraction100002137 yago:Group100031264 |
| rdfs:comment | 数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。 广义特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式为1的元素构成的子群。 度量的符号（p、q分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换p和q相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果p或q等于0，那么同构于普通正交群O(n)。我们假设下文中p和q均是正整数。 群O(p,q)定义在实向量空间上。对于複空间，所有群O(p,q; C)都同构于通常正交群O(p + q; C)，因为複共轭变换能改变二次型的惯性指数。 (zh) In mathematics, the indefinite orthogonal group, O(p, q) is the Lie group of all linear transformations of an n-dimensional real vector space that leave invariant a nondegenerate, symmetric bilinear form of signature (p, q), where n = p + q. It is also called the pseudo-orthogonal group or generalized orthogonal group. The dimension of the group is n(n − 1)/2. In even dimension n = 2p, O(p, p) is known as the . (en) In matematica, il gruppo ortogonale indefinito ovvero gruppo pseudo-ortogonale, denotato con O(p, q) , è il gruppo di Lie di tutti gli endomorfismi lineari di uno spazio vettoriale reale n-dimensionale che lasciano invariata una forma bilineare simmetrica di segnatura (p, q), dove n = p + q. La dimensione di questo gruppo è n(n − 1)/2. (it) Неопределённая ортогональная группа — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной с сигнатурой , где . Размерность группы равна . Неопределённая специальная ортогональная группа является подгруппой , состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная и , которая имеет две компоненты — см. раздел , в котором дано определение и доказан этот факт. (ru) Невизначена ортогональна група — це група Лі всіх лінійних перетворень n-вимірного дійсного векторного простору, які залишають інваріантною невироджену симетричну білінійну форму з сигнатурою , де . Розмірність групи дорівнює . Невизначена спеціальна ортогональна група є підгрупою групи , що складається з усіх елементів з визначником 1. На відміну від особливого випадку група не зв'язна — вона має дві компоненти і є дві додаткові підгрупи зі скінченним індексом, а саме, зв'язна і , яка має дві компоненти. (uk) |
| rdfs:label | Gruppo ortogonale indefinito (it) Indefinite orthogonal group (en) Неопределённая ортогональная группа (ru) Невизначена ортогональна група (uk) 广义正交群 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Indefinite orthogonal group yago-res:Indefinite orthogonal group wikidata:Indefinite orthogonal group dbpedia-it:Indefinite orthogonal group dbpedia-ru:Indefinite orthogonal group dbpedia-uk:Indefinite orthogonal group dbpedia-zh:Indefinite orthogonal group https://global.dbpedia.org/id/Ao8k |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Indefinite_orthogonal_group?oldid=1048138055&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/1.5.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Indefinite_orthogonal_group |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:SO(1,N) dbr:SO(1,n) dbr:SO(N,1) dbr:SO(n,1) dbr:Pseudo-orthogonal_group dbr:Split_orthogonal_group dbr:Generalized_orthogonal_group dbr:Generalized_special_orthogonal_group dbr:Special_indefinite_orthogonal_group |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cartan–Dieudonné_theorem dbr:Pseudo-Euclidean_space dbr:SO(1,N) dbr:SO(1,n) dbr:SO(N,1) dbr:SO(n,1) dbr:De_Sitter_space dbr:Versor dbr:De_Sitter_invariant_special_relativity dbr:Lie_sphere_geometry dbr:Gauge_covariant_derivative dbr:SL2(R) dbr:Classical_group dbr:Gamma_matrices dbr:Baum–Connes_conjecture dbr:Lorentz_group dbr:Lorentz_transformation dbr:Spin_group dbr:Structure_constants dbr:G-structure_on_a_manifold dbr:Killing_vector_field dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Quadratic_form dbr:Point_reflection dbr:History_of_Lorentz_transformations dbr:Hyperbolic_space dbr:Hyperboloid_model dbr:Simple_Lie_group dbr:K3_surface dbr:Reductive_group dbr:CCR_and_CAR_algebras dbr:Spin_representation dbr:Squeeze_mapping dbr:Orthogonal_group dbr:Rapidity dbr:Unitary_group dbr:Unit_hyperbola dbr:Outline_of_linear_algebra dbr:Pseudo-orthogonal_group dbr:Split_orthogonal_group dbr:Generalized_orthogonal_group dbr:Generalized_special_orthogonal_group dbr:Special_indefinite_orthogonal_group |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Indefinite_orthogonal_group |
