Morse theory (original) (raw)
微分トポロジーにおいて、モース理論（モースりろん、英: Morse theory）は、多様体上の微分可能函数を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。 (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上のCW構造やを見つけたり、多様体のホモロジーの本質的な情報をもたらす。 モース以前は、アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) とジェームズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) がトポグラフィーの脈絡で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、測地線の理論（経路上のエネルギー汎函数の臨界点への応用であった。これらのテクニックは、ラウル・ボット (Raoul Bott) のの証明に使われた。 モース理論の複素多様体での類似が、ピカール・レフシェッツ理論である。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Η θεωρία Μορς αποτελεί τμήμα της διαφορικής γεωμετρίας, καθώς και της διαφορικής τοπολογίας στον κλάδο των μαθηματικών. Μέσω της συνάρτησης Μορς μελετάται η μορφή μιας διαφορικής πολλαπλότητας μέσα απο το πλήθος και το είδος των κρισίμων σημείων μιας συνάρτησης. Η θεωρία του Μορς αναδεικνύει την σχέση ανάμεσα στην τοπολογία της πολλαπλότητας στην οποία ορίζεται η συνάρτηση και το πλήθος των εμφανιζόμενων μη εκφυλισμένων κρίσιμων σημείων της. Πριν από τον Μορς ο (Arthur Cayley) και ο Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) ανέπτυξαν ορισμένες από τις ιδέες της θεωρίας Μορς στο πλαίσιο της τοπογραφίας. Ο Μορς εφαρμοστεί αρχικά την θεωρία του για την γεωδαιτική. Οι τεχνικές αυτές χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του (Raoul Bott) στο . Ανάλογη της θεωρίας Morse για πολύπλοκες πολλαπλότητες είναι η . (el) En topología diferencial, la Teoría de Morse permite analizar la topología de una variedad topológica a través del estudio de funciones diferenciables en esa variedad. De acuerdo con la idea básica de Marston Morse, un función diferenciable típica en una variedad reflejará de forma bastante precisa su topología.La teoría de Morse permite además encontrar CW-complejo y obtener información sustancial acerca de su homología.Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell desarrollaron algunas ideas de la teoría de Morse en el contexto de la topografía. Originalmente Morse aplicó su teoría a la geodesia (puntos críticos de energía funcional en las trayectorias). Estas técnicas fueron usadas en la demostración de Raoul Bott de su .De forma análoga a la teoría de Morse, está la para variedades complejas. (es) Die Morse-Theorie aus dem Bereich der Differentialtopologie gibt einen sehr direkten Zugang zur Analyse der Topologie einer Mannigfaltigkeit über das Studium differenzierbarer Funktionen auf dieser Mannigfaltigkeit. Die wesentlichen Einsichten dazu verdankt man dem US-amerikanischen Mathematiker Marston Morse. Die Theorie erlaubt es, CW-Strukturen (oder CW-Komplexe nach John Henry Constantine Whitehead) und Henkelzerlegungen (handle-decomposition) der Mannigfaltigkeit zu finden und so Informationen über deren Homologie zu erhalten. Davor hatten schon im 19. Jahrhundert Arthur Cayley und James Clerk Maxwell einige dieser Konzepte aus der Betrachtung topographischer Karten gewonnen (Bergsteigerformel). Morse wandte seine Theorie ursprünglich auf geodätische Kurven an (kritische Punkte des Energiefunktionals auf Wegen). Die Techniken der Morse-Theorie wurden in Raoul Botts berühmtem Beweis seines Periodizitätssatzes für die stabilen Homotopiegruppen der unitären, orthogonalen und symplektischen Gruppe benutzt. (de) In mathematics, specifically in differential topology, Morse theory enables one to analyze the topology of a manifold by studying differentiable functions on that manifold. According to the basic insights of Marston Morse, a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse theory allows one to find CW structures and handle decompositions on manifolds and to obtain substantial information about their homology. Before Morse, Arthur Cayley and James Clerk Maxwell had developed some of the ideas of Morse theory in the context of topography. Morse originally applied his theory to geodesics (critical points of the energy functional on the space of paths). These techniques were used in Raoul Bott's proof of his periodicity theorem. The analogue of Morse theory for complex manifolds is Picard–Lefschetz theory. (en) En mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, la théorie de Morse est un ensemble de techniques et de méthodes mises en place durant la seconde moitié du XXe siècle, permettant d'étudier la topologie d'une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d'une fonction définie sur cette variété. Le premier résultat d'importance est le lemme de Morse, qui donne le lien entre points critiques d'une fonction suffisamment générale et modification de la topologie de la variété. L'homologie de Morse systématise cette approche. Parmi les résultats les plus remarquables de la théorie de Morse doivent être mentionnés les inégalités de Morse (estimation du nombre de points critiques), et le (en) (étudiant la relation de cobordisme entre variétés). Cette branche des mathématiques porte le nom du mathématicien américain Marston Morse. « Pour ceux qui voient dans la mathématique une construction bien réglée, s'ordonnant logiquement selon une taxonomie bien établie, la théorie de Morse pose un problème. Elle touche à l'Analyse (au calcul des variations, à l'Analyse fonctionnelle), à l'analyse différentielle locale (théorie des singularités de fonctions), à la topologie globale (topologie différentielle et algébrique des variétés). Mais elle n'appartient en propre à aucune de ces disciplines ; elle est strictement inclassable ; sise à l'origine de presque tous les grands courants de la mathématique récente, elle domine, tel un énigmatique monolithe, une bonne part du paysage mathématique contemporain. Ce monolithe, nous n'avons pas fini de l'interroger. » - René Thom (1977) (fr) 微分トポロジーにおいて、モース理論（モースりろん、英: Morse theory）は、多様体上の微分可能函数を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。 (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上のCW構造やを見つけたり、多様体のホモロジーの本質的な情報をもたらす。 モース以前は、アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) とジェームズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) がトポグラフィーの脈絡で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、測地線の理論（経路上のエネルギー汎函数の臨界点への応用であった。これらのテクニックは、ラウル・ボット (Raoul Bott) のの証明に使われた。 モース理論の複素多様体での類似が、ピカール・レフシェッツ理論である。 (ja) 미분위상수학에서 모스 이론(Morse理論, 영어: Morse theory)은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지라고 한다. (ko) In de differentiaaltopologie, een deelgebied van de wiskunde, geven de technieken van de Morse-theorie een directe manier om de topologie van een variëteit te analyseren door de differentieerbare functies op die variëteit te bestuderen. Volgens de fundamentele inzichten van Marston Morse zal een differentieerbare functie op een variëteit, in een normaal geval, de topologie heel direct weergeven. De Morse-theorie maakt het mogelijk om CW-structuren en handvatdecomposities op variëteiten te vinden en om zo substantiële informatie over hun homologie te verkrijgen. (nl) Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках. Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (англ. variation calculus in large), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, ) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории. Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии, теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на , естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории. (ru) 在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量函数的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 (zh) Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе . (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Saddle_point.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf%7Ctitle=On https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hcobord.pdf https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hilldale.pdf%7Ctitle=On https://archive.org/details/morsehomology0000schw%7Curl-access=registration%7Cpublisher=Birkh%C3%A4user%7Cyear=1993%7Cisbn=9780817629045 http://www.numdam.org/item%3Fid=PMIHES_1988__68__99_0%7Ctitle=Morse |
| dbo:wikiPageID | 348560 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 22173 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124865339 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Saddle_points dbc:Lemmas dbr:Betti_number dbr:Sylvester's_law_of_inertia dbr:Compact_space dbr:Connected_component_(topology) dbr:Critical_point_(mathematics) dbr:Mathematics dbr:Generic_property dbr:Edward_Witten dbr:Function_(mathematics) dbr:Functional_(mathematics) dbr:Geodesic dbr:Georges_Reeb dbr:Gradient dbr:Bott_periodicity_theorem dbr:Monkey_saddle dbr:Connected_sum dbr:Contour_line dbr:Critical_value dbr:Homotopy_equivalent dbr:Level_set dbr:Singular_point_of_a_curve dbr:Smooth_function dbr:Embedding dbr:Closed_curve dbr:Mountain_pass dbr:Tangent_space dbr:Publications_Mathématiques_de_l'IHÉS dbr:Torus dbr:Linear_independence dbr:Linear_map dbr:Cylinder_(geometry) dbr:Euclidean_space dbr:Cellular_homology dbr:Differential_topology dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Floer_homology dbr:Gradient-like_vector_field dbr:Handle_decomposition dbr:Deformation_retract dbr:Isolated_point dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Reeb_sphere_theorem dbr:Riemannian_metric dbr:Hamiltonian_mechanics dbr:Jacobian_matrix dbr:James_Clerk_Maxwell dbr:Arthur_Cayley dbc:Smooth_functions dbr:Symplectic_geometry dbr:Eells–Kuiper_manifold dbr:Hessian_matrix dbr:Homology_(mathematics) dbr:Topography dbr:Diffeomorphic dbr:Differentiable_function dbr:Differentiable_manifold dbr:Disk_(mathematics) dbr:Manifold dbr:Marston_Morse dbr:Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society dbr:CW_complex dbr:Positive-definite_matrix dbr:Spectral_sequence dbc:Morse_theory dbr:Method_of_steepest_descent dbr:Raoul_Bott dbr:Real_projective_space dbr:Smooth_manifold dbr:Euler_characteristic dbr:Chart_(topology) dbr:Philosophical_Magazine dbr:Round_function dbr:Morse_homology dbr:Morse–Palais_lemma dbr:Picard–Lefschetz_theory dbr:Inverse_image dbr:Topological_space dbr:De_Rham_complex dbr:Differential_(calculus) dbr:Neighborhood_(topology) dbr:File:3D-Cylinder_with_handle_and_torus_with_hole.png dbr:Critical_set dbr:File:3D-Cylinder_and_disk_with_handle.png dbr:File:3D-Leveltorus.png dbr:File:Saddle_contours.svg dbr:File:Saddle_point.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Em dbt:Redirect dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Visible_anchor dbt:Em_dash dbt:Manifolds dbt:Kosinski_Differential_Manifolds_2007 dbt:Lang_Fundamentals_of_Differential_Geometry |
| dct:subject | dbc:Lemmas dbc:Smooth_functions dbc:Morse_theory |
| rdf:type | yago:WikicatLemmas yago:WikicatSmoothFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Function113783816 yago:Lemma106751833 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Relation100031921 yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | 微分トポロジーにおいて、モース理論（モースりろん、英: Morse theory）は、多様体上の微分可能函数を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。 (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上のCW構造やを見つけたり、多様体のホモロジーの本質的な情報をもたらす。 モース以前は、アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) とジェームズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) がトポグラフィーの脈絡で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、測地線の理論（経路上のエネルギー汎函数の臨界点への応用であった。これらのテクニックは、ラウル・ボット (Raoul Bott) のの証明に使われた。 モース理論の複素多様体での類似が、ピカール・レフシェッツ理論である。 (ja) 미분위상수학에서 모스 이론(Morse理論, 영어: Morse theory)은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지라고 한다. (ko) In de differentiaaltopologie, een deelgebied van de wiskunde, geven de technieken van de Morse-theorie een directe manier om de topologie van een variëteit te analyseren door de differentieerbare functies op die variëteit te bestuderen. Volgens de fundamentele inzichten van Marston Morse zal een differentieerbare functie op een variëteit, in een normaal geval, de topologie heel direct weergeven. De Morse-theorie maakt het mogelijk om CW-structuren en handvatdecomposities op variëteiten te vinden en om zo substantiële informatie over hun homologie te verkrijgen. (nl) 在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量函数的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 (zh) Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе . (uk) Η θεωρία Μορς αποτελεί τμήμα της διαφορικής γεωμετρίας, καθώς και της διαφορικής τοπολογίας στον κλάδο των μαθηματικών. Μέσω της συνάρτησης Μορς μελετάται η μορφή μιας διαφορικής πολλαπλότητας μέσα απο το πλήθος και το είδος των κρισίμων σημείων μιας συνάρτησης. Η θεωρία του Μορς αναδεικνύει την σχέση ανάμεσα στην τοπολογία της πολλαπλότητας στην οποία ορίζεται η συνάρτηση και το πλήθος των εμφανιζόμενων μη εκφυλισμένων κρίσιμων σημείων της. (el) Die Morse-Theorie aus dem Bereich der Differentialtopologie gibt einen sehr direkten Zugang zur Analyse der Topologie einer Mannigfaltigkeit über das Studium differenzierbarer Funktionen auf dieser Mannigfaltigkeit. Die wesentlichen Einsichten dazu verdankt man dem US-amerikanischen Mathematiker Marston Morse. Die Theorie erlaubt es, CW-Strukturen (oder CW-Komplexe nach John Henry Constantine Whitehead) und Henkelzerlegungen (handle-decomposition) der Mannigfaltigkeit zu finden und so Informationen über deren Homologie zu erhalten. (de) En mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, la théorie de Morse est un ensemble de techniques et de méthodes mises en place durant la seconde moitié du XXe siècle, permettant d'étudier la topologie d'une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d'une fonction définie sur cette variété. Le premier résultat d'importance est le lemme de Morse, qui donne le lien entre points critiques d'une fonction suffisamment générale et modification de la topologie de la variété. L'homologie de Morse systématise cette approche. Parmi les résultats les plus remarquables de la théorie de Morse doivent être mentionnés les inégalités de Morse (estimation du nombre de points critiques), et le (en) (étudiant la relation de cobordisme entre variétés). (fr) In mathematics, specifically in differential topology, Morse theory enables one to analyze the topology of a manifold by studying differentiable functions on that manifold. According to the basic insights of Marston Morse, a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse theory allows one to find CW structures and handle decompositions on manifolds and to obtain substantial information about their homology. The analogue of Morse theory for complex manifolds is Picard–Lefschetz theory. (en) En topología diferencial, la Teoría de Morse permite analizar la topología de una variedad topológica a través del estudio de funciones diferenciables en esa variedad. De acuerdo con la idea básica de Marston Morse, un función diferenciable típica en una variedad reflejará de forma bastante precisa su topología.La teoría de Morse permite además encontrar CW-complejo y obtener información sustancial acerca de su homología.Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell desarrollaron algunas ideas de la teoría de Morse en el contexto de la topografía. Originalmente Morse aplicó su teoría a la geodesia (puntos críticos de energía funcional en las trayectorias). Estas técnicas fueron usadas en la demostración de Raoul Bott de su .De forma análoga a la teoría de Morse, está la para varieda (es) Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках. Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии, теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на , естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории. (ru) |
| rdfs:label | Morse theory (en) Morse-Theorie (de) Θεωρία Μορς (γεωμετρία) (el) Teoría de Morse (es) Théorie de Morse (fr) 모스 이론 (ko) モース理論 (ja) Morse-theorie (nl) Теория Морса (ru) 莫尔斯理论 (zh) Теорія Морса (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Morse theory wikidata:Morse theory dbpedia-de:Morse theory dbpedia-el:Morse theory dbpedia-es:Morse theory dbpedia-fr:Morse theory dbpedia-ja:Morse theory dbpedia-ko:Morse theory dbpedia-nl:Morse theory dbpedia-ru:Morse theory dbpedia-tr:Morse theory dbpedia-uk:Morse theory dbpedia-zh:Morse theory https://global.dbpedia.org/id/2AHwN yago-res:Morse theory |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Morse_theory?oldid=1124865339&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/3D-Cylinder_with_handle_and_torus_with_hole.png wiki-commons:Special:FilePath/3D-Cylinder_and_disk_with_handle.png wiki-commons:Special:FilePath/3D-Leveltorus.png wiki-commons:Special:FilePath/Saddle_contours.svg wiki-commons:Special:FilePath/Saddle_point.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Morse_theory |
| is dbo:knownFor of | dbr:Marston_Morse dbr:Raoul_Bott |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Morse |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Morse's_lemma dbr:Morse_index dbr:Morse_inequalities dbr:Morse–Bott_function dbr:Morse-Bott dbr:Morse-Bott_function dbr:Morse-Bott_theory dbr:Morse_Theory dbr:Morse_function dbr:Morse_inequality dbr:Morse_lemma |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Calculus_of_variations dbr:Carlo_Masi dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Morse dbr:Morse's_lemma dbr:Morse_index dbr:Almgren–Pitts_min-max_theory dbr:John_R._Stallings dbr:Betti_number dbr:Dehn_surgery dbr:Introduction_to_3-Manifolds dbr:Jacobi_set dbr:List_of_lemmas dbr:List_of_mathematical_theories dbr:Sylvester's_law_of_inertia dbr:Novikov_ring dbr:Critical_point_(mathematics) dbr:Elmer_Rees dbr:Gauge_theory_(mathematics) dbr:Generalizations_of_the_derivative dbr:Geometric_group_theory dbr:Geometric_topology dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Edward_Witten dbr:Fritz_John dbr:Function_of_several_complex_variables dbr:Georges_Reeb dbr:Gilbert_Ames_Bliss dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Bott_periodicity_theorem dbr:Conley_index_theory dbr:Theory dbr:Sard's_theorem dbr:Milnor_number dbr:Nilpotent dbr:Anthony_Morse dbr:Likelihood_function dbr:Singular_point_of_a_curve dbr:Stationary-action_principle dbr:Stephen_Smale dbr:Stratified_Morse_theory dbr:Sridhar_Tayur dbr:Symplectic_manifold dbr:Topological_data_analysis dbr:Weil_conjectures dbr:List_of_Brown_University_faculty dbr:Perverse_sheaf dbr:Stein_manifold dbr:Albert_Schwarz dbr:Fernando_Codá_Marques dbr:Paolo_Piccione dbr:Differential_topology dbr:Digital_Morse_theory dbr:Discrete_Morse_theory dbr:Edward_Norman_Dancer dbr:Floer_homology dbr:Global_analysis dbr:Gradient-like_vector_field dbr:Handle_decomposition dbr:Handlebody dbr:Hilbert's_twenty-third_problem dbr:History_of_variational_principles_in_physics dbr:Isolated_point dbr:Lefschetz_hyperplane_theorem dbr:List_of_Cornell_University_faculty dbr:Theodore_Frankel dbr:Reeb_graph dbr:Reeb_sphere_theorem dbr:Grigori_Perelman dbr:Backtracking_line_search dbr:Surgery_theory dbr:Cobordism dbr:Eells–Kuiper_manifold dbr:Hessian_matrix dbr:Homology_(mathematics) dbr:Arthur_Everett_Pitcher dbr:Manifold dbr:Marston_Morse dbr:Solomon_Lefschetz dbr:Circle-valued_Morse_theory dbr:Method_of_steepest_descent dbr:Michael_Atiyah dbr:Michael_Spivak dbr:Raoul_Bott dbr:Cerf_theory dbr:Serguei_Barannikov dbr:Shiing-Shen_Chern dbr:Séminaire_Nicolas_Bourbaki_(1950–1959) dbr:Lusternik–Schnirelmann_category dbr:Slice_knot dbr:List_of_variational_topics dbr:Odd_number_theorem dbr:Symplectomorphism dbr:Torus_action dbr:Nancy_Cole_(mathematician) dbr:Morse_inequalities dbr:Morse–Bott_function dbr:Morse–Palais_lemma dbr:Morse–Smale_system dbr:Picard–Lefschetz_theory dbr:Nonlinear_functional_analysis dbr:Topological_quantum_field_theory dbr:Morse-Bott dbr:Morse-Bott_function dbr:Morse-Bott_theory dbr:Morse_Theory dbr:Morse_function dbr:Morse_inequality dbr:Morse_lemma |
| is dbp:knownFor of | dbr:Marston_Morse dbr:Raoul_Bott |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Morse_theory |
