Geometric group theory (original) (raw)

dbo:abstract

نظرية الزمر الهندسية (بالإنجليزية: Geometric group theory)‏، الزمرة الهندسية أو زمرة تناضرات الأشكال الهندسية، نظام رياضي مكون من مجموعة وعملية ثنائية. أما المجموعات فتكون عناصرها هي كل تدوير من تدويرات المثلث أو المربع أو المستطيل أو أحد الأشكال الهندسية المنتظمة حول أقطاره الرئيسية والثانوية، أما العمليات الثنائية المعرفة على هذه المجموعات فهي عملية التدوير بزاوية معينة أو التدوير حول القطر. (ar)
Die geometrische Gruppentheorie ist derjenige Teil der Gruppentheorie, der besonderes Augenmerk auf das Zusammenspiel zwischen geometrischen Objekten und den auf ihnen operierenden Gruppen legt. Dabei geht es insbesondere um Gruppenoperationen auf Graphen und metrischen Räumen, letztlich werden die Gruppen selbst zu solchen geometrischen Objekten. (de)
Η Γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι περιοχή των μαθηματικών αφιερωμένη στη μελέτη των πεπερασμένα παραγομένων ομάδων μέσω διερεύνησης των συνδέσεων μεταξύ αλγεβρικών ιδιοτήτων των ομάδων αυτών και τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων στις οποίες δρουν οι ομάδες αυτές (δηλαδή όταν οι εν λόγω ομάδες αναγνωρίζονται ως γεωμετρικές συμμετρίες ή συνεχείς μεταμορφώσεις κάποιων χώρων). Μια άλλη σημαντική ιδέα στη γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι να εξετάσει πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες αναγνωρίζοντας τες ως γεωμετρικά αντικείμενα. Αυτό γίνεται συνήθως με τη μελέτη των γραφημάτων Cayley των ομάδων, η οποία, εκτός από το γράφημα δομή, είναι προικισμένη με την δομή του μετρικού χώρου, δόθηκε από το λεγόμενο word μετρική. Η γεωμετρική θεωρία ομάδων ως ξεχωριστή περιοχή είναι σχετικά νέα, και έγινε αναγνωρίσιμος κλάδος των μαθηματικών στα τέλη του 1980 και αρχές της δεκαετίας του 1990. Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αλληλεπιδρά στενά με χαμηλή διαστάσεων τοπολογία, υπερβολική γεωμετρία, αλγεβρική τοπολογία, και διαφορική γεωμετρία. Υπάρχουν, επίσης, σημαντικές συνδέσεις με την θεωρία πολυπλοκότητας, την μαθηματική λογική, την μελέτη των Ομάδων Lie και τις διακριτές υποομάδες αυτών, τα , τη θεωρία πιθανοτήτων, τη Κ-θεωρία, και άλλες περιοχές των μαθηματικών. Στην εισαγωγή του βιβλίου του, Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων, ο έγραψε: «Μία από τις προσωπικές μου πεποιθήσεις είναι ότι γοητεία με συμμετρίες και οι ομάδες είναι ένας τρόπος αντιμετώπισης των απογοητεύσεων των περιορισμών της ζωής: θα θέλαμε να αναγνωρίσουμε συμμετρίες που μας επιτρέπουν να αναγνωρίσουμε περισσότερα από αυτά που μπορούμε να δούμε. με αυτή την έννοια η μελέτη της θεωρίας της γεωμετρικής ομάδας είναι ένα μέρος του πολιτισμού, και μου θυμίζει πολλά πράγματα που εφάρμοσε σε πολλές περιπτώσεις, όπως η διδασκαλία των μαθηματικών, να εκθέσει Στεφάν Μαλαρμέ (Stéphane Mallarmé), ή χαιρετισμό μια φίλο." (σελίδα 3 ). (el)
Geometric group theory is an area in mathematics devoted to the study of finitely generated groups via exploring the connections between algebraic properties of such groups and topological and geometric properties of spaces on which these groups act (that is, when the groups in question are realized as geometric symmetries or continuous transformations of some spaces). Another important idea in geometric group theory is to consider finitely generated groups themselves as geometric objects. This is usually done by studying the Cayley graphs of groups, which, in addition to the graph structure, are endowed with the structure of a metric space, given by the so-called word metric. Geometric group theory, as a distinct area, is relatively new, and became a clearly identifiable branch of mathematics in the late 1980s and early 1990s. Geometric group theory closely interacts with low-dimensional topology, hyperbolic geometry, algebraic topology, computational group theory and differential geometry. There are also substantial connections with complexity theory, mathematical logic, the study of Lie groups and their discrete subgroups, dynamical systems, probability theory, K-theory, and other areas of mathematics. In the introduction to his book Topics in Geometric Group Theory, wrote: "One of my personal beliefs is that fascination with symmetries and groups is one way of coping with frustrations of life's limitations: we like to recognize symmetries which allow us to recognize more than what we can see. In this sense the study of geometric group theory is a part of culture, and reminds me of several things that Georges de Rham practiced on many occasions, such as teaching mathematics, reciting Mallarmé, or greeting a friend". (en)
La teoría geométrica de grupos es un área de las matemáticas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topológicas o geométricas de los espacios donde estos grupos actúan. (esto es, cuando los grupos en cuestión son realizados como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios). Otra importante idea en la teoría geométrica de los grupos es considerar los mismos grupos finitamente generados como objetos geométricos. Esto es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de Cayley del grupo, en el cual, además de la estructura de grafo, están adosadas con una de espacio métrico, dada por la llamada longitud de palabra. La teoría geométrica de los grupos, como una rama distinta de las matemáticas, es relativamente nueva, y ha devenido claramente identificable como una parte de las matemáticas desde finales de los 1980's. La teoría geométrica de los grupos interactúa cercanamente con la topología de dimensiones bajas, la geometría hiperbólica, la topología algebraica, la y el . Hay substanciosas conexiones con la y la lógica matemática, el estudio de los grupos de Lie y sus subgrupos discretos, los sistemas dinámicos , la teoría de la probabilidad y la K-teoría, entre otras. (es)
La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié. (fr)
幾何学的群論（英: Geometric group theory, GGT）は、有限生成群を研究する数学の一分野であり、群の代数的性質と、その群が作用する（つまり、幾何的な対称性、あるいは連続的な変換群として実現される）ような空間のトポロジー的および幾何学的性質との間の関係を調べるものである。幾何学的群論におけるもう一つの重要な考え方は、有限生成群自体を幾何学的対象として考えることである。これは通常、群のケイリーグラフを調べることによって行われる。これには、グラフ構造に加えて、いわゆるによって与えられる距離空間の構造が備わっている。幾何学的群論は、分野としては比較的新しいものであり、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、明確に識別できる数学の分野となった。幾何学的群論は、低次元トポロジー、双曲幾何学、代数トポロジー、、微分幾何学と密接に相互作用する。計算複雑性理論、数理論理学、リー群とその離散部分群の研究、力学系、確率論、K理論、その他の数学の分野とも密接に関連している。ピエール・デ・ラ・ハープは彼の著書『Topics in Geometric Group Theory』の冒頭で次のように書いている。「私の個人的な信念の一つは、対称性と群に魅了されることは、人間の限界への不満に対処する一つの方法であるということです。我々は、対称性を認識することを好みます。対称性は我々が見ることのできることよりも多くを認識させてくれます。この意味で、幾何学的群論の研究は文化の一部であり、ジョルジュ・ド・ラームが数学の指導、マラルメの朗読、友人への挨拶など、多くの場面で実践したいくつかのことを思い出します。」 (ja)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de meetkundige groepentheorie gewijd aan de studie van eindig voortgebrachte groepen. Dit door de verbindingen tussen de algebraïsche eigenschappen van zulke groepen en de topologische en meetkundige eigenschappen van ruimten, waarop deze groepen inwerken te onderzoeken (dat wil zeggen, wanneer de groepen in kwestie als meetkundige symmetrieën of continue transformaties van enige ruimten worden gerealiseerd).Een ander belangrijk idee uit de meetkundige groepentheorie is om eindig gegenereerde groepen zelf als meetkundige objecten te beschouwen. Dit gebeurt meestal door de bestudering van Cayley-grafen van groepen, die, in aanvulling op de graafstructuur, zijn uitgerust met destructuur van een metrische ruimte, die wordt gegeven door de zogenaamde . Meetkundige groepentheorie is als een afzonderlijke onderwerp relatief nieuw. Pas in de late jaren 1980 en vroege jaren 1990 is zij uitgegroeid tot een duidelijk herkenbare tak van de wiskunde. Meetkundige groepentheorie staat in nauwe wisselwerking met de laag-dimensionale topologie, de hyperbolische meetkunde, de algebraïsche topologie, de computationele groepentheorie en de . Ook zijn er belangrijke verbindingen met de complexiteitstheorie, de wiskundige logica, de studie van Lie-groepen en hun discrete deelgroepen, dynamische systemen, kansrekening, K-theorie en andere deelgebieden van de wiskunde. (nl)
A teoria geométrica de grupos é uma área da matemática dedicada ao estudo dos grupos finitamente gerados por meio da exploração das conexões entre as propriedades algébricas de tais grupos e as propriedades topológicas e geométricas de espaços nos quais estes grupos agem (isto é, quando os grupos em questão são realizados como simetrias geométricas ou transformações contínuas de certos espaços). (pt)
Геометрическая теория групп — область математики, изучающая конечно-порождённые группы с помощью связей между их алгебраическими свойствами и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых такие группы действуют, либо самих групп, рассматриваемых как геометрические объекты (что обычно делается рассмотрением графа Кэли и соответствующей словарной метрики). Геометрическая теория групп, как отдельная ветвь математики, появилась сравнительно недавно, и стала чётко выделяться в конце 1980-х-начале 1990-х. Геометрическая теория групп взаимодействует с , гиперболической геометрией, алгебраической топологией, вычислительной теорией групп. Также она связана с теорией сложности, математической логикой, исследованием групп Ли и их дискретных подгрупп, динамическими системами, теорией вероятностей, K-теорией, и другими областями математики. (ru)
Геометрична теорія груп — галузь математики, що вивчає скінченно-породжені групи за допомогою зв'язків між їхніми алгебричними властивостями та топологічними й геометричними властивостями просторів, на яких такі групи діють, або самих груп, які розглядаються як геометричні об'єкти (що зазвичай полягає в розгляді графа Келі та відповідної словникової метрики). Геометрична теорія груп, як окрема галузь математики, з'явилася порівняно недавно, і стала чітко виділятися наприкінці 1980-х — початку 1990-х. Геометрична теорія груп взаємодіє з , гіперболічною геометрією, алгебричною топологією, обчислювальною теорією груп. Також вона пов'язана з теорією складності, математичною логікою, дослідженням груп Лі та їх дискретних підгруп, динамічними системами, теорією ймовірностей, та іншими галузями математики. (uk)

dbo:wikiPageExternalLink

dbo:wikiPageWikiLink

rdfs:comment

نظرية الزمر الهندسية (بالإنجليزية: Geometric group theory)‏، الزمرة الهندسية أو زمرة تناضرات الأشكال الهندسية، نظام رياضي مكون من مجموعة وعملية ثنائية. أما المجموعات فتكون عناصرها هي كل تدوير من تدويرات المثلث أو المربع أو المستطيل أو أحد الأشكال الهندسية المنتظمة حول أقطاره الرئيسية والثانوية، أما العمليات الثنائية المعرفة على هذه المجموعات فهي عملية التدوير بزاوية معينة أو التدوير حول القطر. (ar)
Die geometrische Gruppentheorie ist derjenige Teil der Gruppentheorie, der besonderes Augenmerk auf das Zusammenspiel zwischen geometrischen Objekten und den auf ihnen operierenden Gruppen legt. Dabei geht es insbesondere um Gruppenoperationen auf Graphen und metrischen Räumen, letztlich werden die Gruppen selbst zu solchen geometrischen Objekten. (de)
La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié. (fr)
A teoria geométrica de grupos é uma área da matemática dedicada ao estudo dos grupos finitamente gerados por meio da exploração das conexões entre as propriedades algébricas de tais grupos e as propriedades topológicas e geométricas de espaços nos quais estes grupos agem (isto é, quando os grupos em questão são realizados como simetrias geométricas ou transformações contínuas de certos espaços). (pt)
Η Γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι περιοχή των μαθηματικών αφιερωμένη στη μελέτη των πεπερασμένα παραγομένων ομάδων μέσω διερεύνησης των συνδέσεων μεταξύ αλγεβρικών ιδιοτήτων των ομάδων αυτών και τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων στις οποίες δρουν οι ομάδες αυτές (δηλαδή όταν οι εν λόγω ομάδες αναγνωρίζονται ως γεωμετρικές συμμετρίες ή συνεχείς μεταμορφώσεις κάποιων χώρων). (el)
Geometric group theory is an area in mathematics devoted to the study of finitely generated groups via exploring the connections between algebraic properties of such groups and topological and geometric properties of spaces on which these groups act (that is, when the groups in question are realized as geometric symmetries or continuous transformations of some spaces). (en)
La teoría geométrica de grupos es un área de las matemáticas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topológicas o geométricas de los espacios donde estos grupos actúan. (esto es, cuando los grupos en cuestión son realizados como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios). Otra importante idea en la teoría geométrica de los grupos es considerar los mismos grupos finitamente generados como objetos geométricos. (es)
幾何学的群論（英: Geometric group theory, GGT）は、有限生成群を研究する数学の一分野であり、群の代数的性質と、その群が作用する（つまり、幾何的な対称性、あるいは連続的な変換群として実現される）ような空間のトポロジー的および幾何学的性質との間の関係を調べるものである。幾何学的群論におけるもう一つの重要な考え方は、有限生成群自体を幾何学的対象として考えることである。これは通常、群のケイリーグラフを調べることによって行われる。これには、グラフ構造に加えて、いわゆるによって与えられる距離空間の構造が備わっている。幾何学的群論は、分野としては比較的新しいものであり、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、明確に識別できる数学の分野となった。幾何学的群論は、低次元トポロジー、双曲幾何学、代数トポロジー、、微分幾何学と密接に相互作用する。計算複雑性理論、数理論理学、リー群とその離散部分群の研究、力学系、確率論、K理論、その他の数学の分野とも密接に関連している。ピエール・デ・ラ・ハープは彼の著書『Topics in Geometric Group Theory』の冒頭で次のように書いている。 (ja)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de meetkundige groepentheorie gewijd aan de studie van eindig voortgebrachte groepen. Dit door de verbindingen tussen de algebraïsche eigenschappen van zulke groepen en de topologische en meetkundige eigenschappen van ruimten, waarop deze groepen inwerken te onderzoeken (dat wil zeggen, wanneer de groepen in kwestie als meetkundige symmetrieën of continue transformaties van enige ruimten worden gerealiseerd).Een ander belangrijk idee uit de meetkundige groepentheorie is om eindig gegenereerde groepen zelf als meetkundige objecten te beschouwen. Dit gebeurt meestal door de bestudering van Cayley-grafen van groepen, die, in aanvulling op de graafstructuur, zijn uitgerust met destructuur van een metrische ruimte, die wordt gegeven door (nl)
Геометрическая теория групп — область математики, изучающая конечно-порождённые группы с помощью связей между их алгебраическими свойствами и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых такие группы действуют, либо самих групп, рассматриваемых как геометрические объекты (что обычно делается рассмотрением графа Кэли и соответствующей словарной метрики). (ru)
Геометрична теорія груп — галузь математики, що вивчає скінченно-породжені групи за допомогою зв'язків між їхніми алгебричними властивостями та топологічними й геометричними властивостями просторів, на яких такі групи діють, або самих груп, які розглядаються як геометричні об'єкти (що зазвичай полягає в розгляді графа Келі та відповідної словникової метрики). (uk)

rdfs:label

Geometric group theory (en)
نظرية الزمر الهندسية (ar)
Geometrische Gruppentheorie (de)
Γεωμετρική θεωρία ομάδων (el)
Teoría geométrica de grupos (es)
Théorie géométrique des groupes (fr)
幾何学的群論 (ja)
Meetkundige groepentheorie (nl)
Геометрическая теория групп (ru)
Teoria geométrica de grupos (pt)
Геометрична теорія груп (uk)

is dbo:wikiPageWikiLink of