De Rham cohomology (original) (raw)

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Die De-Rham-Kohomologie (nach Georges de Rham) ist eine mathematische Konstruktion aus der Algebraischen Topologie, welche die Kohomologie für glatte Mannigfaltigkeiten entwickelt, also für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die aus der Sicht der Analysis lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Diese Kohomologie benutzt den Satz von Stokes in seiner verallgemeinerten Form, der den Fundamentalsatz der Analysis erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur Algebraischen Topologie eröffnet. Das Analogon der De-Rham-Kohomologie für komplexe Mannigfaltigkeiten ist die Dolbeault-Kohomologie.

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dbo:abstract A l'entorn de la geometria diferencial, les formes diferencials a la varietat diferenciable que són derivades exteriors es diuen exactes, i les formes tals que les seves derivades exteriors són 0 es diuen tancades (vegeu formes diferencials tancades i exactes). Les formes exactes són tancades, així que els espais vectorials de k-formes juntament amb la derivada exterior són un complex de cocadenas. Els espais vectorials de les formes tancades mòdul les formes exactes es diuen els grups de cohomologia de de Rham'. El producte falca dota la suma directa d'aquests grups amb una estructura d'anell. El teorema de de Rham, provat per Georges de Rham el 1931, estableix que per a una varietat diferenciable M, aquests grups són isomorfs com espais vectorials reals amb els H p (M; R). A més, els dos anells de cohomologia són isomorfs (com ). El teorema de Stokes generalitzat és una expressió de la dualitat entre la cohomologia de de Rham i l'homologia de cadenes complexes. (ca) Die De-Rham-Kohomologie (nach Georges de Rham) ist eine mathematische Konstruktion aus der Algebraischen Topologie, welche die Kohomologie für glatte Mannigfaltigkeiten entwickelt, also für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die aus der Sicht der Analysis lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Diese Kohomologie benutzt den Satz von Stokes in seiner verallgemeinerten Form, der den Fundamentalsatz der Analysis erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur Algebraischen Topologie eröffnet. Das Analogon der De-Rham-Kohomologie für komplexe Mannigfaltigkeiten ist die Dolbeault-Kohomologie. (de) In mathematics, de Rham cohomology (named after Georges de Rham) is a tool belonging both to algebraic topology and to differential topology, capable of expressing basic topological information about smooth manifolds in a form particularly adapted to computation and the concrete representation of cohomology classes. It is a cohomology theory based on the existence of differential forms with prescribed properties. On any smooth manifold, every exact form is closed, but the converse may fail to hold. Roughly speaking, this failure is related to the possible existence of "holes" in the manifold, and the de Rham cohomology groups comprise a set of topological invariants of smooth manifolds that precisely quantify this relationship. The integration on forms concept is of fundamental importance in differential topology, geometry, and physics, and also yields one of the most important examples of cohomology, namely de Rham cohomology, which (roughly speaking) measures precisely the extent to which the fundamental theorem of calculus fails in higher dimensions and on general manifolds. — Terence Tao, Differential Forms and Integration (en) En geometría diferencial, las formas diferenciales en la variedad diferenciable que son derivadas exteriores se llaman exactas; y las formas tales que sus derivadas exteriores son 0 se llaman cerradas (véase formas diferenciales cerradas y exactas). Las formas exactas son cerradas, así que los espacios vectoriales de k-formas junto con la derivada exterior son un complejo de cocadenas. Los espacios vectoriales de las formas cerradas módulo las formas exactas se llaman los grupos de cohomología de De Rham. El producto cuña dota a la suma directa de estos grupos con una estructura de anillo. El teorema de De Rham, probado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad diferenciable compacta M, estos grupos son isomorfos como espacios vectoriales reales con los Hp(M; R). Además, los dos anillos de cohomología son isomorfos (como ). El teorema de Stokes generalizado es una expresión de la dualidad entre la cohomología de de Rham y la homología de cadenas complejas. (es) En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le (en) affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif. (fr) In de wiskunde, is een De Rham-cohomologie (vernoemd naar de Zwitserse wiskundige Georges de Rham) een hulpmiddel dat zowel in de algebraïsche topologie als de differentiaaltopologie wordt gebruikt. Een De Rham-cohomologie maakt het mogelijk elementaire topologische informatie over gladde variëteiten uit te drukken in een vorm die in het bijzonder geschikt is voor berekeningen en de concrete weergave van . Het is een cohomologietheorie gebaseerd op het bestaan van differentiaalvormen met voorgeschreven eigenschappen. Een De Rham-cohomologie is in verschillende, opzichten duaal, zowel met betrekking tot de als met betrekking tot de . (nl) ド・ラームコホモロジー（英: de Rham cohomology）とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。 (ja) In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham. Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali". (it) 대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다. (ko) Kompleksem de Rhama w przestrzeni nazywamy kompleks łańcuchowy gdzie: * jest -modułem q-form różniczkowych dla każdego * jest operatorem różniczkowania form różniczkowych. Elementy jądra operatora nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w zamknięte formy postaci należy rozwiązać równanie różniczkowe Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja. Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa: gdzie jest obszarem w a – jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero. W podobny sposób, jak w można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni można rozważać przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych (pl) Inom matematiken är de Rhamkohomologi (efter ) ett koncept inom algebraisk topologi och som kan användas till att uttrycka grundläggande topologisk information om i en form som är lätt att använda i beräkningar och konkreta representationer av kohomologiklasser. Den är en kohomologteori som baserar sig på existensen av differentialformer med vissa speciella egenskaper. (sv) Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах,и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий. Названы в честь швейцарского математика де Рама.-мерная группа когомологий де Рама многообразия обычно обозначается . (ru) 数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的。它以不同的确定的意义对偶于，以及。 (zh) Когомології де Рама — теорія когомологій, визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах. Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології, а також диференціальній геометрії і математичному аналізі. Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям, які визначаються лише з урахуванням топологічної структури. (uk)
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Le (en) affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif. (fr) In de wiskunde, is een De Rham-cohomologie (vernoemd naar de Zwitserse wiskundige Georges de Rham) een hulpmiddel dat zowel in de algebraïsche topologie als de differentiaaltopologie wordt gebruikt. Een De Rham-cohomologie maakt het mogelijk elementaire topologische informatie over gladde variëteiten uit te drukken in een vorm die in het bijzonder geschikt is voor berekeningen en de concrete weergave van . Het is een cohomologietheorie gebaseerd op het bestaan van differentiaalvormen met voorgeschreven eigenschappen. Een De Rham-cohomologie is in verschillende, opzichten duaal, zowel met betrekking tot de als met betrekking tot de . (nl) ド・ラームコホモロジー（英: de Rham cohomology）とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。 (ja) In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham. Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali". (it) 대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다. (ko) Inom matematiken är de Rhamkohomologi (efter ) ett koncept inom algebraisk topologi och som kan användas till att uttrycka grundläggande topologisk information om i en form som är lätt att använda i beräkningar och konkreta representationer av kohomologiklasser. Den är en kohomologteori som baserar sig på existensen av differentialformer med vissa speciella egenskaper. (sv) Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах,и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий. Названы в честь швейцарского математика де Рама.-мерная группа когомологий де Рама многообразия обычно обозначается . (ru) 数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的。它以不同的确定的意义对偶于，以及。 (zh) Когомології де Рама — теорія когомологій, визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах. Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології, а також диференціальній геометрії і математичному аналізі. Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям, які визначаються лише з урахуванням топологічної структури. (uk) A l'entorn de la geometria diferencial, les formes diferencials a la varietat diferenciable que són derivades exteriors es diuen exactes, i les formes tals que les seves derivades exteriors són 0 es diuen tancades (vegeu formes diferencials tancades i exactes). (ca) In mathematics, de Rham cohomology (named after Georges de Rham) is a tool belonging both to algebraic topology and to differential topology, capable of expressing basic topological information about smooth manifolds in a form particularly adapted to computation and the concrete representation of cohomology classes. It is a cohomology theory based on the existence of differential forms with prescribed properties. (en) En geometría diferencial, las formas diferenciales en la variedad diferenciable que son derivadas exteriores se llaman exactas; y las formas tales que sus derivadas exteriores son 0 se llaman cerradas (véase formas diferenciales cerradas y exactas). Las formas exactas son cerradas, así que los espacios vectoriales de k-formas junto con la derivada exterior son un complejo de cocadenas. Los espacios vectoriales de las formas cerradas módulo las formas exactas se llaman los grupos de cohomología de De Rham. El producto cuña dota a la suma directa de estos grupos con una estructura de anillo. (es) Kompleksem de Rhama w przestrzeni nazywamy kompleks łańcuchowy gdzie: * jest -modułem q-form różniczkowych dla każdego * jest operatorem różniczkowania form różniczkowych. Elementy jądra operatora nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w zamknięte formy postaci należy rozwiązać równanie różniczkowe Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja. (pl)
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