Maxima and minima (original) (raw)
في الرياضيات، النقاط الحدية (بالإنجليزية: maxima and minima) وتعني حرفياً: العظمى والصغرى، تعرف عمومًا هي تلك النقاط التي تكون عندها قيمة الدالة أعلى ما يمكن أو أدنى ما يمكن ضمن جوار معرف (منحنى حرج) أو على بشكل عام، تعرف النقاط العظمى والصغرى من نظرية المجموعات بأنها أعلى وأقل قيم في المجموعة. يعد إيجاد النقاط العظمى والصغرى (الحرجة) نواة الإستمثال الرياضي.
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| dbo:abstract | في الرياضيات، النقاط الحدية (بالإنجليزية: maxima and minima) وتعني حرفياً: العظمى والصغرى، تعرف عمومًا هي تلك النقاط التي تكون عندها قيمة الدالة أعلى ما يمكن أو أدنى ما يمكن ضمن جوار معرف (منحنى حرج) أو على بشكل عام، تعرف النقاط العظمى والصغرى من نظرية المجموعات بأنها أعلى وأقل قيم في المجموعة. يعد إيجاد النقاط العظمى والصغرى (الحرجة) نواة الإستمثال الرياضي. (ar) Extrém funkce je takový bod funkce, který ve svém okolí nabývá největší hodnoty (maximum) nebo nejmenší hodnoty (minimum). Největší hodnota z maxim se nazývá globální, nebo také absolutní, maximum, nejnižší hodnota z minim se nazývá globální (absolutní) minimum. Pokud je bod extrémem, ale není to globální extrém (tzn. funkce v nějakém bodě nabývá vyšší hodnoty), pak se tento bod nazývá lokální extrém. Nalezení extrému funkce je důležité při vyšetřování průběhu funkce. Zvláštním typem úloh je hledání extrému při splnění dalších omezujících podmínek, které musejí splňovat argumenty funkce (tzv. vázaný extrém a absolutní extrém). (cs) En matemàtiques, dels màxims i dels mínims, se'n diu de forma general extrems. Són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el domini (extrem global). (ca) En matematiko, maksimumo estas la plej granda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita (loka maksimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka maksimumo). La punkto de maksimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la maksimumo. Minimumo estas la plej malgranda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (loka minimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka minimumo). La punkto de minimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la minimumo. Ambaŭ maksimumo kaj minimumo estas nomataj kiel ekstremumo. Tiel, ĉiu loka maksimumo kaj ĉiu loka minimumo estas loka ekstremumo, ĉiu malloka maksimumo kaj ĉiu malloka minimumo estas malloka ekstremumo. La valoroj de malloka maksimumo kaj malloka minimumo estas skribataj kiel max kaj min respektive. Punkto de malloka maksimumo kaj punkto de malloka minimumo estas skribataj kiel argmax kaj argmin respektive. La terminoj loka kaj malloka estas sinonimoj al relativa kaj absoluta respektive. Sur grafikaĵo de funkcio ĝia loka maksimumo aspektas kiel supro de monteto kaj loka minimumo aspektas kiel fundo de kavo. (eo) In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle , wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle wird lokaler Maximierer bzw. lokaler Minimierer, Maximalstelle bzw. Minimalstelle oder zusammenfassend auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt. Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert. Die Lösung einer Extremwertaufgabe, für eine einfache Darstellung siehe Kurvendiskussion, nennt man die extremale Lösung. (de) En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática. (es) Funtzio baten muturrak, matematikan, kurba bateko gune zehatz batean funtzio batek dituen goreneko eta gutxieneko baloreak dira. Orokorrean, multzo bateko goreneko eta gutxieneko baloreak (multzo-teorian definitzen den bezala) elementu maximo eta minimoak dira, existitzen badira. Matematikaren optimizazioaren helburu nagusia muturreko baloreak topatzea da. (eu) In mathematical analysis, the maxima and minima (the respective plurals of maximum and minimum) of a function, known collectively as extrema (the plural of extremum), are the largest and smallest value of the function, either within a given range (the local or relative extrema), or on the entire domain (the global or absolute extrema). Pierre de Fermat was one of the first mathematicians to propose a general technique, adequality, for finding the maxima and minima of functions. As defined in set theory, the maximum and minimum of a set are the greatest and least elements in the set, respectively. Unbounded infinite sets, such as the set of real numbers, have no minimum or maximum. (en) Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré. (fr) Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba. Contoh ini menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum lokal suatu fungsi belum tentu menjadi maksimum dan minimum global. Bila interval definisi fungsi ada, kita harus memeriksa pula nilai-nilai fungsi di ujung interval. (in) 数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。 (ja) ( 극점은 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 극점 (동음이의) 문서를 참고하십시오.) 해석학에서, 함수의 극대점(極大點, 영어: local maximum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, 영어: local maximum (value))은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, 영어: local minimum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, 영어: local minimum (value))은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, 영어: local extremum point)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(영어: local extremum (value))이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다. 함수의 최대점(最大點, 영어: global maximum point)과 최소점(最小點, 영어: global minimum point)은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, 영어: global maximum (value))과 최솟값(最小값, 영어: global minimum (value))은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다. 즉, 최댓값은 항상 극댓값이며, 최솟값은 항상 극솟값이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다. (ko) In de analyse zijn extreme waarden van een functie de maxima en minima van die functie, dus functiewaarden waar, althans plaatselijk, geen andere functiewaarde boven- dan wel onderuitkomt. We onderscheiden hierin lokale (of relatieve) extrema en globale (of absolute) extrema. De extremumstelling stelt dat een continue functie op een gesloten interval altijd een minimum en een maximum bereikt. (nl) In matematica, con massimo e minimo di una funzione (noti collettivamente come estremi) sì intendono rispettivamente il valore massimo e il valore minimo che la funzione assume nel suo dominio. I punti cui corrispondono questi valori sono detti rispettivamente punto di massimo e punto di minimo e collettivamente sono punti estremanti. (it) Extremum eller extremvärde är ett samlingsuttryck för de matematiska begreppen maximum och minimum. Elementet i definitionsmängden där funktionen antar ett extremum kallas extrempunkt. I en funktions extremumpunkt gäller att samtliga punkter i funktionens definitionsmängd ger mindre extremt (det vill säga antingen genomgående högre eller genomgående lägre) funktionsvärde. Extremum är ett specialfall av lokalt extremum där funktionsvärdet i den lokala extrempunkten måste vara mer extremt än det i alla de omedelbart omkringliggande punkterna i definitionsmängden. För att uttrycka det hela mer stringent gäller då att det för varje punkt x3, sådan att f(x3) är mer extrem än f(x), måste finnas en punkt x2, uttryckbar som en konvexkombination av x och x3, sådan att f(x2) är mindre extrem. (sv) Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д. (ru) Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji. * Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych). * Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe. * Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi. * Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi. Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne wysokości nad poziomem morza występuje na szczycie Mount Everestu, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach), nie będzie to maksimum lokalne właściwe. Istnieją funkcje nieposiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w technice i statystyce. Wiele zagadnień optymalizacyjnych sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia. Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie zarówno w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny. (pl) Екстремум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.Розрізняють: * локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки * глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо. (uk) Em matemática, em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que e valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio e tais que: , para todo no domínio. Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo. Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local, que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio. (pt) 在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 (zh) |
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Zvláštním typem úloh je hledání extrému při splnění dalších omezujících podmínek, které musejí splňovat argumenty funkce (tzv. vázaný extrém a absolutní extrém). (cs) En matemàtiques, dels màxims i dels mínims, se'n diu de forma general extrems. Són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el domini (extrem global). (ca) En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática. (es) Funtzio baten muturrak, matematikan, kurba bateko gune zehatz batean funtzio batek dituen goreneko eta gutxieneko baloreak dira. Orokorrean, multzo bateko goreneko eta gutxieneko baloreak (multzo-teorian definitzen den bezala) elementu maximo eta minimoak dira, existitzen badira. Matematikaren optimizazioaren helburu nagusia muturreko baloreak topatzea da. (eu) Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré. (fr) 数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。 (ja) In de analyse zijn extreme waarden van een functie de maxima en minima van die functie, dus functiewaarden waar, althans plaatselijk, geen andere functiewaarde boven- dan wel onderuitkomt. We onderscheiden hierin lokale (of relatieve) extrema en globale (of absolute) extrema. De extremumstelling stelt dat een continue functie op een gesloten interval altijd een minimum en een maximum bereikt. (nl) In matematica, con massimo e minimo di una funzione (noti collettivamente come estremi) sì intendono rispettivamente il valore massimo e il valore minimo che la funzione assume nel suo dominio. I punti cui corrispondono questi valori sono detti rispettivamente punto di massimo e punto di minimo e collettivamente sono punti estremanti. (it) Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д. (ru) Екстремум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.Розрізняють: * локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки * глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо. (uk) 在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 (zh) En matematiko, maksimumo estas la plej granda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita (loka maksimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka maksimumo). La punkto de maksimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la maksimumo. Minimumo estas la plej malgranda valoro kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (loka minimumo) aŭ de argumentaro de la funkcio (malloka minimumo). La punkto de minimumo estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la minimumo. (eo) In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle , wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle wird lokaler Maximierer bzw. lokaler Minimierer, Maximalstelle bzw. Minimalstelle oder zusammenfassend auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt. (de) In mathematical analysis, the maxima and minima (the respective plurals of maximum and minimum) of a function, known collectively as extrema (the plural of extremum), are the largest and smallest value of the function, either within a given range (the local or relative extrema), or on the entire domain (the global or absolute extrema). Pierre de Fermat was one of the first mathematicians to propose a general technique, adequality, for finding the maxima and minima of functions. (en) Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba. (in) ( 극점은 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 극점 (동음이의) 문서를 참고하십시오.) 해석학에서, 함수의 극대점(極大點, 영어: local maximum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, 영어: local maximum (value))은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, 영어: local minimum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, 영어: local minimum (value))은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, 영어: local extremum point)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(영어: local extremum (value))이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다. 극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다. (ko) Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji. * Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych). * Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe. * Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi. * Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi. (pl) Extremum eller extremvärde är ett samlingsuttryck för de matematiska begreppen maximum och minimum. Elementet i definitionsmängden där funktionen antar ett extremum kallas extrempunkt. I en funktions extremumpunkt gäller att samtliga punkter i funktionens definitionsmängd ger mindre extremt (det vill säga antingen genomgående högre eller genomgående lägre) funktionsvärde. (sv) Em matemática, em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que e valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio e tais que: , para todo no domínio. Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo. (pt) |
| rdfs:label | النقاط الحدية (ar) Màxims i mínims (ca) Extrém funkce (cs) Extremwert (de) Maksimumo kaj minimumo (eo) Extremos de una función (es) Funtzio baten muturrak (eu) Maksimum dan minimum (in) Extremum (fr) Massimo e minimo di una funzione (it) 극값 (ko) Maxima and minima (en) 極値 (ja) Extreme waarde (nl) Ekstremum funkcji (pl) Экстремум (ru) Pontos extremos de uma função (pt) Extremum (sv) Екстремум (uk) 极值 (zh) |
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